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1、1 例 1. 如图,椭圆E: x 2 a 2 y 2 b 21(ab0) 的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e1 2,过 F1的直线交椭 圆于A、B两点,且ABF2的周长为 8. ()求椭圆E的方程; (II )设动直线l:ykxm与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x4 相交于点Q. 试探究:在 坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说 明理由 【答案】 解: ()|AB| |AF 2| |BF2| 8,|AF1| |F1B| |AF2| |BF2| 8。 又|AF1| |AF2| |BF1| |BF2| 2a,4a8,a2。 又e 1
2、 2,即 c a 1 2,以 c1。ba 2 c 2 3。 椭圆E的方程是 x 2 4 y 2 3 1。 (II )由 22 =+ +1 43 y kx m xy 得(4k 23) x 28kmx 4m 2 120。 动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0) ,m0且 0, 64k 2m24(4 k 23)(4 m 212)0,化简得 4k2m230, 此时x0 4km 4k 23 4k m, y0kx0m3 m 。P4k m, 3 m 。 由 =4 =+ x y kx m 得Q(4,4km) 。 假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M必在x轴上。 设M(x1,0) ,则
3、MP MQ 0 对满足式的 m、k恒成立。 MP 4k m x1,3 m ,MQ (4 x1,4km) , 由MP MQ 0,得 16k m 4kx1 m 4x1x 2 1 12k m 30, 整理,得 (4x14) k m x 2 14x130。 式对满足式的m,k恒成立, 1 2 11 44=0 4+3=0 x xx ,解得x11。 存在定点M(1,0) ,使得以PQ为直径的圆恒过点M。 2 例 2. 如图所示,等边三角形OAB的边长为 83,且其三个顶点均在抛物线E:x 22py( p0)上 (I )求抛物线E的方程; (II )设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y 1 相交于点Q,
4、证明以PQ 为直径的圆恒过y轴上某定点 【答案】 解: (I )依题意, |OB| 83,BOy30。 设B(x,y) ,则x|OB|sin30 43,y|OB|cos30 12。 因为点B(43,12) 在x 22py 上,所以 (43) 22p12,解得 p2。 故抛物线E的方程为x 24y。 (II )由( I )知y 1 4x 2, y 1 2x 。 设P(x0,y0),则x00,且l的方程为yy0 1 2x 0(xx0) ,即y 1 2x 0x1 4x 2 0。 由 2 00 11 24 1 yx xx y 得 2 0 0 4 2 1 x x x y 。 所以Q x 2 04 2x0
5、 , 1 。 假设以PQ为直径的圆恒过定点M,由图形的对称性知M必在y轴上,设M(0,y1),令 MP MQ 0 对满足 y0 1 4x 2 0(x00)的x0,y0恒成立。 由MP (x0,y0y1) ,MQ x 2 04 2x0 ,1y1, 由于MP MQ 0,得x 2 04 2 y0y0y1y1y 2 10,即(y 2 1y12)(1y1)y00(*) 。 由于 (*) 式对满足y01 4x 2 0(x00)的y0恒成立,所以 1 2 11 10 2+20 y yy ,解得y11。 故以PQ为直径的圆 恒过y轴上的定点M(0,1) 。 3. 已知抛物线C的方程为 y 2=2px(p0)
6、,直线: x+y=m与 x 轴的交点在抛物线 C准线的右侧 ()求证:直线与抛物线C恒有两个不同交点; ()已知定点A(1,0) ,若直线与抛物线C的交点为 Q ,R ,满足,是否存在实数m ,使得 原点 O到直线的距离不大于,若存在,求出正实数p 的取值范围;若不存在,请说明理由 考点 :直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的简单性质. 专题 :综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程 3 分析: ()联立x+y=m与 y 2=2px,证明 0,即可得到直线 l 与抛物线 C恒有两个不同交点; ()根据,结合韦达定理,求出p 的表达式,利用原点O到直线 l 的距离不大于, 确定 m的范围,由此可得正实
7、数p 的取值范围 解答: ()证明:由题知, 联立 x+y=m与 y 2=2px,消去 x 可得 y2+2py2pm=0 ( * ) p 0 且,=4p 2+8pm 0, 所以直线 l 与抛物线 C恒有两个不同交点;4 分 ()解:设Q (x1,y1) ,R(x2,y2) ,由( *)可得 y1+y2=2p,y1?y2=2pm 故 =2y1y2+(1m ) (y1+y2)+(m 1) 2=m2(2+2p)m+1 2p=0 又由原点 O到直线 l 的距离不大于,则有, 由()有,即,结合,化简该不等式得: 5m 2+2m+1 0, 恒成立, ,令 t=m+1,则 而函数在上单调递减, 存在 m且
8、,实数 p 的取值范围为10 分 4. 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于A,B 两点,原点O 到直线 AB 的 距离为 2 5 5 ,该椭圆的离心率为 3 . 2 (1)求椭圆的方程; (2)是否存在过点 5 (0,) 3 P的直线l与椭圆交于M ,N 两个不同的点,且对l外任意一点Q,有 43QMQNQP成立?若存在,求出 l的方程;若不存在,说明理由。 解: ()由题意得,直线AB的方程为0(0).bxayabab( 1 分) 4 由 5 52 22 ba ab 及 2 3 22 a ba ,得.1,2 ba(3 分) 所以椭圆的方程为.
9、1 4 2 2 y x (4分) ()43QMQNQP, 4PMPN (6 分) 当 直 线l的 斜 率 不 存 在 时 ,( 0 ,1)M,(0,1)N, 易 知 符 合 条 件 , 此 时 直 线l的 方 程 为 . 0x(8 分) 当 直 线l的 斜 率 存 在 时 , 设 直 线l的 方 程 为 3 5 kxy, 代 入1 4 2 2 y x 得 .064120)369( 22 kxxk 由 2 2 14 400256(936)0kk,解得 9 4 2 k 设 1122 (,),(,)M x yN xy,则 122 120 936 k xx k , 2 21 369 64 k xx,(
10、10 分) 由得.4 21 xx 由消去 21, x x,得 2 222 16(24 ) 936(936) k kk ,即 2 2 36 1 936 k k ,无解 综上存在符合条件的直线0.lx:(12 分) 5. 已知椭圆的中心是坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个 正方形的顶点过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点 ()求椭圆的方程; ()在线段OF上是否存在点(,0)M m, 使得| |MPMQ?若存在,求出m的取值范围;若不存在, 请说明理由 . 解: ()因为椭圆的短轴长:221bb, 又因为两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点
11、,所以: 222 2bcabc;故椭圆的方程为: 2 2 1 2 x y 4 分 () (1)若l与x轴重合时,显然M与原点重合,0m; (2)若直线l的斜率0k,则可设:(1)lyk x,设 1122 (,),(,)P x yQ xy则: 5 222 22 (1) 2(21)20 220 yk x xkxx xy 所以化简得: 2222 (12)4220kxk xk; 2 12 2 4 12 k xx k PQ的中点横坐标为: 2 2 2 12 k k ,代入:(1)lyk x可得: PQ的中点为N 2 22 2 (,) 1212 kk kk , 由于| |MPMQ得到 12 2 2 k k
12、 m 所以: 2 2 2 11 (0,) 1 122 2 k m k k 综合( 1) (2)得到: 1 0,) 2 m14 分 6. 设椭圆)0(1: 2 2 2 2 ba b y a x C的离心率为 2 2 e, 点A是椭圆上的一点 , 且点A到椭圆C两焦点 的距离之和为4. (1) 求椭圆C的方程; (2) 椭圆C上一动点),( 00 yxP ,关于直线 xy2的对称点为),( 111 yxP, 求 11 43yx的取值范围 . 解:(1)依题意知 ,24,2.aa 2分 2 2 a c e,2,2 22 cabc. 4 分 所求椭圆C的方程为1 24 22 yx . 6 分 (2)点
13、P 00, yx关于直线xy2的对称点为 111 , yxP, . 2 2 2 , 12 1010 10 10 xxyy xx yy 8 分 解得: 00 1 43 5 yx x, 00 1 34 5 yx y. 10 分 011 543xyx. 12 点 P 00, yx在椭圆C:1 24 22 yx 上, 22 0 x, 则10510 0 x. 11 43yx的取值范围为10,10. 13 分 6 7. 已知抛物线 2 1: 2(0)Cypx p的焦点F以及椭圆 22 2 22 :1(0) yx Cab ab 的上、下焦点及左、 右 顶点均在圆 22 :1O xy上 (1)求抛物线 1 C
14、和椭圆 2 C的标准方程; (2)过点F的直线交抛物线 1 C于 ,A B两不同点,交y轴于点N,已知 12 ,NAAF NBBF,则 12 是否为定值?若是,求出其值;若不是,说明理由 解: (1) 解: (1) 由抛物线 2 1: 2(0)Cypx p的焦点(,0) 2 p F在圆 22 :1O xy上得: 2 1 4 p ,2p, 抛物线 2 1: 4Cyx3 分 同理由椭圆 22 222 :1(0) yx Cab ab 的上、下焦点(0, ),(0,)cc及左、右顶点(,0),(,0)bb均在圆 22 :1O xy上可解得:1,2bca得椭圆 2 2 2 :1 2 y Cx6 分 (2
15、) 12是定值,且定值为 1 设直线AB的方程为 1122 (1), (,),(,)yk xA x yB xy,则(0,)Nk 联立方程组 2 4 (1) yx yk x ,消去y得: 2222 (24)0,k xkxk 2 16160,k且 2 12 2 12 24 1 k xx k x x 9 分 由 12 ,NAAF NBBF得: 111222 (1),(1),xxxx 整理得: 12 12 12 , 11 xx xx 2 2 1212 122 1212 2 24 2 2 1 241() 11 k xxx x k kxxxx k 14 分 7 8.已知椭圆 22 22 :1(0) xy
16、Cab ab 的离心率为 2 2 ,且椭圆C上一点与两个焦点构成的三角形 的周长为222. (I)求椭圆C的方程; (II )设过椭圆C右焦点F的动直线l与椭圆C交于AB、两点,试问:在x轴上是否存在定点M, 使 7 16 MA MB成立?若存在,求出点 M的坐标;若不存在,请说明理由 (I)由题意知: 2 2 c a ,且222 22ac 2 解得:2,1ac 进而 222 1bac 4 椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y 5 (II)易求得右焦点(1,0)F, 假设在x轴上存在点( ,0)M t(t为常数),使 7 16 MA MB 6 当直线l的斜率不存在时,则:1lx,此时 22
17、(1,),(1,) 22 AB, 2 2217 (1,) (1,)(1) 22216 MA MBttt 解得 5 4 t或 3 4 . 8 当直线l的斜率存在时,设:(1)lyk x, 联立方程组 2 2 (1) 1 2 yk x x y ,消去y整理得 2222 (21)4220kxk xk 9 设 1122 (,), (,)A x yB xy,则 22 121222 422 , 2121 kk xxx x kk 1122 (, (1) (, (1)MA MBxt k xxt k x 2222 1212 (1)() ()kx xtkxxkt 8 22 2222 22 224 (1)() 21
18、21 kk ktkkt kk 2 2 2 (41)2 21 tk t k 当 412 21 t 即 5 4 t时,MA MB为定值: 2 7 2 16 t 由可知,在x轴上存在定点 5 (,0) 4 M,使 7 16 MA MB 成立 12 9. 设椭圆 C:+=1(ab0)过点 M (1,1) ,离心率 e=,O为坐标原点 (I )求椭圆 C的方程 ()若直线l 是圆 O :x 2+y2=1 的任意一条切线,且直线 l 与椭圆 C相交于 A,B两点,求证:?为 定值 解: ()由题意可得,解得, 椭圆 C的方程为 ()当圆O的切线 l 的斜率存在时,设直线l 的方程为 y=kx+m , 则圆
19、心 O到直线 l 的距离, 1+k 2=m2 将直线 l 的方程和椭圆C的方程联立,得到( 1+3k 2)x2+6kmx+3m24=0 设直线 l 与椭圆 C相交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点, 则, =x1x2+(kx1+m ) (kx2+m ) = = 9 = =0, 当圆的切线l 的斜率不存在时,验证得 综合上述可得,为定值 0 10. 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab的离心率为 1 2 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线 60xy相切 ()求椭圆C的方程; ()设(4,0)P,A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点,连结PB交椭圆C
20、于另一点E, 证明直线AE与x轴相交于定点Q; 解: ()由题意知 1 2 c e a , 所以 222 2 22 1 4 cab e aa 即 224 3 ab 又因为 6 3 11 b, 所以 2 4a, 2 3b 故椭圆C的方程为 22 1 43 xy 4 分 ()由题意知直线PB的斜率存在,设直线PB的方程为(4)yk x 由 22 (4), 1. 43 yk x xy 得 2222 (43)3264120kxk xk6分 设点 11 (,)B xy, 22 (,)E xy,则 11 (,)A xy 直线AE的方程为 21 22 21 () yy yyxx xx 令0y,得 221 2
21、 21 ()yxx xx yy 将 11 (4)yk x, 22 (4)yk x代入, 整理,得 1212 12 24() 8 x xxx x xx 由得 2 12 2 32 43 k xx k , 2 12 2 6412 43 k x x k 代入 整理,得 1x 10 所以直线 AE与x轴相交于定点 (1,0)Q 11. 已知椭圆:C 22 22 1 (0) xy ab ab 的离心率为 5 3 ,定点(2,0)M,椭圆短轴的端点是 1 B, 2 B, 且 12 MBMB. (1)求椭圆C的方程; (2)设过点M且斜率不为0的任意直线交椭圆C于A,B两点 . 试问x轴上是否存在定点P, 使
22、PM平 分APB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由. (1)解:由 222 2 22 5 1 9 abb e aa ,得 2 3 b a . 依题意 12 MB B是等腰直角三角形,从而2b,故3a. 所 以椭圆C的方程是 22 1 94 xy . 5 分 (2)解:设 11 (,)A x y, 22 (,)B xy,直线AB的方程为2xmy. 将直线AB的方程与椭圆C的方程联立,消去x得 22 (49)16200mymy. 所以 122 16 49 m yy m , 122 20 49 y y m . 若PM平分APB,则直线PA,PB的倾斜角互补,所以0 PBPA kk. 设(
23、,0)P a,则有 12 12 0 yy xaxa . 将 11 2xmy, 22 2xmy代入上式, 整理得 1212 12 2(2)() 0 (2)(2) my yayy myamya ,所以 1212 2(2)()0my yayy. 将 12 2 16 49 m yy m , 12 2 20 49 y y m 代入上式,整理得( 29)0am. 由于上式对任意实数m都成立,所以 9 2 a. 综上,存在定点 9 (,0) 2 P,使PM平分APB. 12 分 12.已知椭圆 C 的方程为 22 2 22 1(0), xy ab ab 左、右焦点分别为F1、F2,焦距为 4,点 M 是椭圆 C 上 一点,满足 1 12 4 3 60 ,. 3 F MF F MFS且 ()求椭圆C 的方程; ()过点P(0,2)分别作直线PA,PB 交椭圆 C 于 A,B 两点,设直线PA,PB 的斜率分别为 11 k1,k2, 12 4kk且,求证:直线AB 过定点,并求出直线AB 的斜率 k 的取值范围。 ()在中,设,由余弦定理得, 即,即, 得. 2分又因为, 又所以,所以所求椭圆的方程为. 6 分 ()显然直线的斜率存在,设直线方程为, 由得,即, , ,8分 由得,又, 则, ,10 分 那么, 则直线直线过定点. 12 分
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