圆锥恒过定点问题.(教师).pdf

1 例 1. 如图，椭圆E： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0) 的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e1 2，过 F1的直线交椭 圆于A、B两点，且ABF2的周长为 8. （）求椭圆E的方程； （II ）设动直线l：ykxm与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x4 相交于点Q. 试探究：在 坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说 明理由 【答案】 解： （）|AB| |AF 2| |BF2| 8，|AF1| |F1B| |AF2| |BF2| 8。 又|AF1| |AF2| |BF1| |BF2| 2a，4a8，a2。 又e 1 2，即 c a 1 2，以 c1。ba 2 c 2 3。 椭圆E的方程是 x 2 4 y 2 3 1。 （II ）由 22 =+ +1 43 y kx m xy 得(4k 23) x 28kmx 4m 2 120。 动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0) ，m0且 0， 64k 2m24(4 k 23)(4 m 212)0，化简得 4k2m230， 此时x0 4km 4k 23 4k m， y0kx0m3 m 。P4k m， 3 m 。 由 =4 =+ x y kx m 得Q(4,4km) 。 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上。 设M(x1,0) ，则MP · MQ 0 对满足式的 m、k恒成立。 MP 4k m x1，3 m ，MQ (4 x1,4km) ， 由MP ·MQ 0，得 16k m 4kx1 m 4x1x 2 1 12k m 30， 整理，得 (4x14) k m x 2 14x130。 式对满足式的m，k恒成立， 1 2 11 44=0 4+3=0 x xx ，解得x11。 存在定点M(1,0) ，使得以PQ为直径的圆恒过点M。 2 例 2. 如图所示，等边三角形OAB的边长为 83，且其三个顶点均在抛物线E：x 22py( p0)上 （I ）求抛物线E的方程； （II ）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y 1 相交于点Q，证明以PQ 为直径的圆恒过y轴上某定点 【答案】 解： （I ）依题意， |OB| 83，BOy30°。 设B(x，y) ，则x|OB|sin30 ° 43，y|OB|cos30 ° 12。 因为点B(43，12) 在x 22py 上，所以 (43) 22p×12，解得 p2。 故抛物线E的方程为x 24y。 （II ）由（ I ）知y 1 4x 2， y 1 2x 。 设P(x0，y0)，则x00，且l的方程为yy0 1 2x 0(xx0) ，即y 1 2x 0x1 4x 2 0。 由 2 00 11 24 1 yx xx y 得 2 0 0 4 2 1 x x x y 。 所以Q x 2 04 2x0 ， 1 。 假设以PQ为直径的圆恒过定点M，由图形的对称性知M必在y轴上，设M(0，y1)，令 MP ·MQ 0 对满足 y0 1 4x 2 0(x00)的x0，y0恒成立。 由MP (x0，y0y1) ，MQ x 2 04 2x0 ，1y1， 由于MP ·MQ 0，得x 2 04 2 y0y0y1y1y 2 10，即(y 2 1y12)(1y1)y00(*) 。 由于 (*) 式对满足y01 4x 2 0(x00)的y0恒成立，所以 1 2 11 10 2+20 y yy ，解得y11。 故以PQ为直径的圆 恒过y轴上的定点M(0,1) 。 3. 已知抛物线C的方程为 y 2=2px（p0） ，直线： x+y=m与 x 轴的交点在抛物线 C准线的右侧 （）求证：直线与抛物线C恒有两个不同交点； （）已知定点A（1，0） ，若直线与抛物线C的交点为 Q ，R ，满足，是否存在实数m ，使得 原点 O到直线的距离不大于，若存在，求出正实数p 的取值范围；若不存在，请说明理由 考点 ：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质. 专题 ：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程 3 分析： （）联立x+y=m与 y 2=2px，证明 0，即可得到直线 l 与抛物线 C恒有两个不同交点； （）根据，结合韦达定理，求出p 的表达式，利用原点O到直线 l 的距离不大于， 确定 m的范围，由此可得正实数p 的取值范围 解答： （）证明：由题知， 联立 x+y=m与 y 2=2px，消去 x 可得 y2+2py2pm=0 （ * ） p 0 且，=4p 2+8pm 0， 所以直线 l 与抛物线 C恒有两个不同交点；4 分 （）解：设Q （x1，y1） ，R（x2，y2） ，由（ *）可得 y1+y2=2p，y1?y2=2pm 故 =2y1y2+（1m ） （y1+y2）+（m 1） 2=m2（2+2p）m+1 2p=0 又由原点 O到直线 l 的距离不大于，则有， 由（）有，即，结合，化简该不等式得： 5m 2+2m+1 0， 恒成立， ，令 t=m+1，则 而函数在上单调递减， 存在 m且，实数 p 的取值范围为10 分 4. 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于A，B 两点，原点O 到直线 AB 的 距离为 2 5 5 ，该椭圆的离心率为 3 . 2 （1）求椭圆的方程； （2）是否存在过点 5 (0,) 3 P的直线l与椭圆交于M ，N 两个不同的点，且对l外任意一点Q，有 43QMQNQP成立？若存在，求出 l的方程；若不存在，说明理由。 解： （）由题意得，直线AB的方程为0(0).bxayabab（ 1 分） 4 由 5 52 22 ba ab 及 2 3 22 a ba ，得.1,2 ba（3 分） 所以椭圆的方程为.1 4 2 2 y x （4分） （）43QMQNQP， 4PMPN （6 分） 当 直 线l的 斜 率 不 存 在 时 ，( 0 ,1)M，(0,1)N， 易 知 符 合 条 件 ， 此 时 直 线l的 方 程 为 . 0x（8 分） 当 直 线l的 斜 率 存 在 时 ， 设 直 线l的 方 程 为 3 5 kxy， 代 入1 4 2 2 y x 得 .064120)369( 22 kxxk 由 2 2 14 400256(936)0kk，解得 9 4 2 k 设 1122 (,),(,)M x yN xy，则 122 120 936 k xx k ， 2 21 369 64 k xx，（10 分） 由得.4 21 xx 由消去 21, x x，得 2 222 16(24 ) 936(936) k kk ，即 2 2 36 1 936 k k ，无解 综上存在符合条件的直线0.lx：（12 分） 5. 已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个 正方形的顶点过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点 （）求椭圆的方程； （）在线段OF上是否存在点(,0)M m, 使得| |MPMQ？若存在，求出m的取值范围；若不存在， 请说明理由 . 解： （）因为椭圆的短轴长：221bb， 又因为两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，所以： 222 2bcabc；故椭圆的方程为： 2 2 1 2 x y 4 分 （） （1）若l与x轴重合时，显然M与原点重合，0m； （2）若直线l的斜率0k，则可设:(1)lyk x，设 1122 (,),(,)P x yQ xy则： 5 222 22 (1) 2(21)20 220 yk x xkxx xy 所以化简得： 2222 (12)4220kxk xk； 2 12 2 4 12 k xx k PQ的中点横坐标为： 2 2 2 12 k k ，代入:(1)lyk x可得： PQ的中点为N 2 22 2 (,) 1212 kk kk ， 由于| |MPMQ得到 12 2 2 k k m 所以： 2 2 2 11 (0,) 1 122 2 k m k k 综合（ 1） （2）得到： 1 0,) 2 m14 分 6. 设椭圆)0(1: 2 2 2 2 ba b y a x C的离心率为 2 2 e, 点A是椭圆上的一点 , 且点A到椭圆C两焦点 的距离之和为4. (1) 求椭圆C的方程； (2) 椭圆C上一动点),( 00 yxP ，关于直线 xy2的对称点为),( 111 yxP, 求 11 43yx的取值范围 . 解:(1)依题意知 ,24,2.aa 2分 2 2 a c e,2,2 22 cabc. 4 分 所求椭圆C的方程为1 24 22 yx . 6 分 （2）点P 00, yx关于直线xy2的对称点为 111 , yxP， . 2 2 2 , 12 1010 10 10 xxyy xx yy 8 分 解得： 00 1 43 5 yx x， 00 1 34 5 yx y. 10 分 011 543xyx. 12 点 P 00, yx在椭圆C:1 24 22 yx 上, 22 0 x, 则10510 0 x. 11 43yx的取值范围为10,10. 13 分 6 7. 已知抛物线 2 1: 2(0)Cypx p的焦点F以及椭圆 22 2 22 :1(0) yx Cab ab 的上、下焦点及左、 右 顶点均在圆 22 :1O xy上 （1）求抛物线 1 C和椭圆 2 C的标准方程； （2）过点F的直线交抛物线 1 C于 ,A B两不同点，交y轴于点N，已知 12 ,NAAF NBBF，则 12 是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由 解： （1） 解： （1） 由抛物线 2 1: 2(0)Cypx p的焦点(,0) 2 p F在圆 22 :1O xy上得： 2 1 4 p ，2p， 抛物线 2 1: 4Cyx3 分 同理由椭圆 22 222 :1(0) yx Cab ab 的上、下焦点(0, ),(0,)cc及左、右顶点(,0),(,0)bb均在圆 22 :1O xy上可解得：1,2bca得椭圆 2 2 2 :1 2 y Cx6 分 （2） 12是定值，且定值为 1 设直线AB的方程为 1122 (1), (,),(,)yk xA x yB xy，则(0,)Nk 联立方程组 2 4 (1) yx yk x ，消去y得： 2222 (24)0,k xkxk 2 16160,k且 2 12 2 12 24 1 k xx k x x 9 分 由 12 ,NAAF NBBF得： 111222 (1),(1),xxxx 整理得： 12 12 12 , 11 xx xx 2 2 1212 122 1212 2 24 2 2 1 241() 11 k xxx x k kxxxx k 14 分 7 8.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，且椭圆C上一点与两个焦点构成的三角形 的周长为222. （I）求椭圆C的方程； （II ）设过椭圆C右焦点F的动直线l与椭圆C交于AB、两点，试问：在x轴上是否存在定点M， 使 7 16 MA MB成立？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由 （I）由题意知： 2 2 c a ，且222 22ac ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 解得：2,1ac 进而 222 1bac· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 （II）易求得右焦点(1,0)F, 假设在x轴上存在点( ,0)M t（t为常数），使 7 16 MA MB· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 当直线l的斜率不存在时，则:1lx，此时 22 (1,),(1,) 22 AB, 2 2217 (1,) (1,)(1) 22216 MA MBttt 解得 5 4 t或 3 4 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 当直线l的斜率存在时，设:(1)lyk x， 联立方程组 2 2 (1) 1 2 yk x x y ，消去y整理得 2222 (21)4220kxk xk ·· · · · · · · · · · · · · · · ·9 设 1122 (,), (,)A x yB xy，则 22 121222 422 , 2121 kk xxx x kk 1122 (, (1) (, (1)MA MBxt k xxt k x 2222 1212 (1)() ()kx xtkxxkt 8 22 2222 22 224 (1)() 2121 kk ktkkt kk 2 2 2 (41)2 21 tk t k 当 412 21 t 即 5 4 t时，MA MB为定值： 2 7 2 16 t 由可知，在x轴上存在定点 5 (,0) 4 M，使 7 16 MA MB 成立· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 9. 设椭圆 C：+=1（ab0）过点 M （1，1） ，离心率 e=，O为坐标原点 （I ）求椭圆 C的方程 （）若直线l 是圆 O ：x 2+y2=1 的任意一条切线，且直线 l 与椭圆 C相交于 A，B两点，求证：?为 定值 解： （）由题意可得，解得， 椭圆 C的方程为 （）当圆O的切线 l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y=kx+m ， 则圆心 O到直线 l 的距离， 1+k 2=m2 将直线 l 的方程和椭圆C的方程联立，得到（ 1+3k 2）x2+6kmx+3m24=0 设直线 l 与椭圆 C相交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点， 则， =x1x2+（kx1+m ） （kx2+m ） = = 9 = =0， 当圆的切线l 的斜率不存在时，验证得 综合上述可得，为定值 0 10. 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab的离心率为 1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线 60xy相切 （）求椭圆C的方程； （）设(4,0)P，A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E， 证明直线AE与x轴相交于定点Q； 解： （）由题意知 1 2 c e a ， 所以 222 2 22 1 4 cab e aa 即 224 3 ab 又因为 6 3 11 b， 所以 2 4a， 2 3b 故椭圆C的方程为 22 1 43 xy 4 分 （）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为(4)yk x 由 22 (4), 1. 43 yk x xy 得 2222 (43)3264120kxk xk6分 设点 11 (,)B xy， 22 (,)E xy，则 11 (,)A xy 直线AE的方程为 21 22 21 () yy yyxx xx 令0y，得 221 2 21 ()yxx xx yy 将 11 (4)yk x， 22 (4)yk x代入， 整理，得 1212 12 24() 8 x xxx x xx 由得 2 12 2 32 43 k xx k ， 2 12 2 6412 43 k x x k 代入 整理，得 1x 10 所以直线 AE与x轴相交于定点 (1,0)Q 11. 已知椭圆:C 22 22 1 (0) xy ab ab 的离心率为 5 3 ，定点(2,0)M，椭圆短轴的端点是 1 B， 2 B， 且 12 MBMB. （1）求椭圆C的方程； (2）设过点M且斜率不为0的任意直线交椭圆C于A，B两点 . 试问x轴上是否存在定点P， 使PM平 分APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. （1）解：由 222 2 22 5 1 9 abb e aa ，得 2 3 b a . 依题意 12 MB B是等腰直角三角形，从而2b，故3a. 所 以椭圆C的方程是 22 1 94 xy . 5 分 （2）解：设 11 (,)A x y， 22 (,)B xy，直线AB的方程为2xmy. 将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得 22 (49)16200mymy. 所以 122 16 49 m yy m ， 122 20 49 y y m . 若PM平分APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以0 PBPA kk. 设( ,0)P a，则有 12 12 0 yy xaxa . 将 11 2xmy， 22 2xmy代入上式， 整理得 1212 12 2(2)() 0 (2)(2) my yayy myamya ，所以 1212 2(2)()0my yayy. 将 12 2 16 49 m yy m ， 12 2 20 49 y y m 代入上式，整理得( 29)0am. 由于上式对任意实数m都成立，所以 9 2 a. 综上，存在定点 9 (,0) 2 P，使PM平分APB. 12 分 12.已知椭圆 C 的方程为 22 2 22 1(0), xy ab ab 左、右焦点分别为F1、F2，焦距为 4，点 M 是椭圆 C 上 一点，满足 1 12 4 3 60 ,. 3 F MF F MFS且 （）求椭圆C 的方程； （）过点P（0，2）分别作直线PA，PB 交椭圆 C 于 A，B 两点，设直线PA，PB 的斜率分别为 11 k1，k2， 12 4kk且，求证：直线AB 过定点，并求出直线AB 的斜率 k 的取值范围。 （）在中,设,由余弦定理得， 即，即， 得. 2分又因为， 又所以，所以所求椭圆的方程为. 6 分 （）显然直线的斜率存在，设直线方程为， 由得，即， ， ，8分 由得，又， 则， ，10 分 那么， 则直线直线过定点. 12 分