高中数学教学论文解数学题不应是公式.pdf
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1、用心爱心专心1 解数学题不应是公式、规则的演绎游戏 高考题和数学竞赛题,在高中数学教学中有着引领的作用。这些题目的好坏影响很大。 构建一道好的题目也十分不易。显然, 绝大多数的高考题和竞赛题是不错的。有些题目还十 分精彩。 而且从近几年看,题目出的越来越好。但也不可否认确实有个别题目出的不好,对 高中数学教学造成不好的影响。也引起学生和家长的不满。 令人不安的是,目前很少能听到对这些题目的批评意见。对个别不好的题目,没有人 站出来说:“不! ”相反,上级教育主管部门对这些考题的评价都是正面的、肯定的。当然, 批评的意见不一定就是对的。要允许别人反批评。由于这些题的影响较大,在这里, 应该要 对
2、事不对人地开展讨论,才能有利于高中数学教育的发展。 笔者水平有限,但却希望在此,结合几个具体的题目,发表一些意见。欢迎批评指正。 首先讨论两道高中数学联赛的题。这是很多年以前的题目了。所以还拿出来讨论是因 为,目前这类题目仍在高中课堂广泛讲授,被有些老师称为经典题。成为高考复习的题型之 一,其影响还很大。 1 设函数 x x 4 f (x ) 42 ,求 121000 f ()f ()f () 100110011001 的值。 点评 :请问这道题应该让学生如何来思考?我们在高中学过,等差数列和等比数列,知 道如何求它们的前n项和。这是等差数列或等比数列吗?它们不是!那么,我们能用求等差、 等比
3、数列前n项和公式的方法,来处理这道题吗?也不成! 事实上,出题者是利用这道题中的函数的一个特殊性质:f (x )f (1x )1,而编造 出来的。 而这个性质却不是显然的,人们根本无法一眼看出。请问, 用这样的题如何培养学 生分析问题、解决问题的能力? 如果允许这样来编造数学题,我们可以把这题改得更难,例如, 让 x x 4 f (x )33 42 , 此时该函数满足:f (x )f (1x )67。还可以再复杂,让 x x 4 f (x )33x 42 ,此时, 该函数满足:f (x )f (1x )68。若还觉得简单,可以把上述函数表达式进行通分,甚至 分子、分母同乘一个代数式,等等。 我
4、们也可以编造满足f (x )f (ax )1或更复杂的函数关系来出这类型的题。 学生得到的收获只能是:今后看到类似题型,要根据题目中数列的值,如这里的, 121000 , 100110011001 ,反过来猜测给定的函数的特殊性质。这种思维是数学思维吗?我们 用心爱心专心2 在培养学生的什么能力? 这是数学吗?数学作为一门科学,它研究的问题,无论是来自实际还是来自数学本身, 都是有意义的。它的思想方法非常丰富(例如我们熟知的类比、归纳等等),体现着人类思 考问题、分析问题的一般方法。 如果采用这种生编硬造的方法玩花样,(类似地还有:把一些因式乘起来,让人去做因 式分解;从一个明显的不等式出发,
5、例如,35,两边加、乘同样的式子,使其复杂化, 让人去证明这复杂的不等式,等等。)数学将变成定义、规则和演绎法的游戏,它既没有动 力也没有目标。数学将不会吸引任何有理智的人,它也丧失了其生命力。 2 设函数 2 x x f ( x )x l n ( e1 )3 2 定义在区间a, a上,求这个函数的最大值与最小值的和。 点评: 对一个函数来说,我们自然会关心它的最大值和最小值。它们给出了该函数因 变量变化的范围,而且在应用中, 最大、 最小值也十分重要。有时也会关心最大值与最小值 的差, 它反映了因变量变化的幅度。但是, 我们为什么要求最大值与最小值的和?它有何意 义?如果不关心其意义,我们就
6、可以提出一大堆问题,如,求最大值与最小值的乘积、商、 平方和等等。解决这类根本不知道其意义的问题,不是数学!这是没有目标的演绎游戏。 退一步说,如果问题本身没有意义,但我们有一个好的方法,能对一般的函数求出其 最大值与最小值的和,即存在一种通性通法。这也还算可以。但我们却没有这种方法。 于是,按照一般的做法,我们只能分别求出该函数的最大、最小值,然后再对它们求 和。由于该函数最后一项是+3,我们只需求函数 2 x x g(x )x ln(e1) 2 的最大、 最小值。 这个函数的图像很难画出,学生无法利用几何直观来猜想。我们在课堂上 教给学生的是,对这种问题,最一般的方法是,通过求导数,然后解
7、一个方程,来求极大、 极小值点。但是,这个函数求导后,得到的三项中,分别包含,指数、对数和多项式。无法 求出其零点。 那么,这题如何做呢?这题目的标准答案说,g(x )是一个奇函数,从而在对称区间 a, a上,最大、最小值的和为0。 怎么就会想到g(x )是奇函数?从函数表达式根本看不出来,g(x )的图像又不易画出。 我们想通过这道题教给学生什么思考问题、分析问题的方法呢?这里又是编造一个特殊的函 数来为难学生,却没有任何意义。 学生得到的收获只能是:今后如果出现求最大、最小值的和的题,要看它是否是 奇函数。这种收获 ,在分析问题、解决问题上没有任何意义,不是在学数学,而是在对 付考试、对付
8、题型。而这种题型不是真正意义上的数学问题。是数学中的垃圾。 用心爱心专心3 下面讨论两道近年的高考题。(这不是新课标实施后的考题) 3 下面是一道选择题,其正确答案是 (B) 。 (2008 年重庆卷理科10) 函数 f(x) = sin1 32 cos2 sin x xx (02x) 的值域是 (B ) (A)- 2 ,0 2 (B)-1,0 (C)-2 ,0 D)-3, 0 命题者给出该题的标准答案如下: 方法 1:特殊值法, sinx=0,cosx=1 则 f(x)= 01 1 32 12 0 淘汰 A, 令 sin1 2 32cos2 sin x xx 得 2 26(sin1) sin
9、164 cos4sincos, 4 x xxxx 当时 sinx= 1 时, 3 cos, 2 x所以矛盾 .( )fx2 淘汰 C,D. 方法 2: 22 sin1sin1 32 cos2 sin 1cos1sin xx fx xx xx 22 2 2 2 11 1cos 1 1 1 1sin 1 1 2 1 1 x t x t t t 用心爱心专心4 24 2 2 11 1 2 41 1 1 12 t t t tt 其中tan. 2 x txf(x) 1,0. 当 x= 时, 1 1,0 5 fx 方法 3: 22 sin1sin1 32 cos2 sin 1cos1sin xx fx x
10、x xx 2 1 1cos 1 1sin x x 令 1cos , 1sin x k x k 表示圆 x 2+y2=1 上的点与点 (1,1)连线的斜率,0,k 2 21cos 111, 1sin x k x 2 1 1,0 . 1cos 1 1sin x x 点评: 求一个连续函数在闭区间的值域,只需求出该函数在这区间的最大、最小值。其关键 的步骤是求出该函数在这区间的极值,再和函数在区间端点的值进行比较。这是高中熟知的 内容。 而求函数极值的一般方法是,首先对函数求导,然后解一个导数为零的方程。这个方 法也是学生熟知的。它是微积分中的一个基本的方法,是通性通法。 但是, 本题却没有考核 学
11、生对这个基本方法掌握的程度。相反,如果学生用这个方法,将面临解一个有关sin x(或 cos x )的四次方程。这个方程有一对共轭的复根和两个实数根。学生不掌握解四次方程的 办法。从而无法用求导数的办法来解决这道题。 那么命题者打算让学生如何来解决这个问题呢? 命题者在他们给出的答案中,给出了三种方法。方法1 是所谓的排除法。它说,经过 验证, 在所给出的四个选项中有三个是错误的,可以排除在外。 因此, 剩下的一个选项就是 对的。这是学习数学吗?这是考试学!是考试的方法,而不是研究数学的方法。把这种 A(1,1) x O y 用心爱心专心5 方法作为标准答案,实不可取。 方法 2 和方法 3
12、都是把该函数的表示式,用三角恒等表换公式,变成 22 1sin x f (x ) (1sin x )(1cos x) , 然后,再讨论它的值域。 它们的解法却过分复杂(甚至出现了斜率) 。事实上,人们很容易看到 22 01sin x(1sin x )(1cos x ) 从而连续函数 22 1sin x y (1sin x )(1cos x) 取值在 0 和 1 之间。 当x在所给的定义域区间 0, 2时,该式可以取到 0 和 1。因此, 该函 数的值域是0,1。而我们要求的函数和它只相差一个负号,从而它的定义域是1, 0。方 法 2 和方法 3 显得过于繁琐了。 不过,这道题的问题不在于答案给
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