广义逆函数值padé逼近的理论与解决方法及在fredholm积分方程中的应用.pdf
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1、上海大学 博士学位论文 广义逆函数值Pad逼近的理论与方法及在Fredholm积分方程中 的应用 姓名:李春景 申请学位级别:博士 专业:计算数学 指导教师:顾传青 20030601 摘要 P a d 6 逼近是从幂级数出发获得有理函数逼近式的一个十分简便,而且非常有效的办法 它的基本思想是对于一个给定的形式幂级数,构造一个被称为P a d 4 逼近式的有理函数,使 其T a y l o r 展开式尽可能多的项与原幂级数相吻合 由积分方程的理论可得,对具有连续核和L 2 核的第二种l h e d h o l m 积分方程的在小参 数情形下的特征值可由如下形式的幂级数给出: I ( z ,A )
2、 = 。( 。) + c I ( 。) A + ( z ) r + t + 如) A “+ t 一, 此处c ;( z ) L 2 ( a ,6 ) ,i = 0 ,1 ,2 ,( 。,A ) 作为 的函数在 = 0 处解析 在G r a v e s M o r r i s 工作的基础上,本文给出如下结果: 1 把实广义逆函数值P a d 6 逼近拓展到复函数值的情况,给出了复广义逆函数值P a d 4 逼近( C G F P A ) 的新的定义 2 建立了完整的C G F P A 的行列式计算公式,推导出P f a f f i a n 的行列式简化公式 证明了C G F P A 的存在性和唯
3、一性 3 , 基于工2 ( 冗) 的范数公式,构造出一个新的复广义逆: 箕:盟坐出型婴立些垒毕生业丝:塑竺;, 9 ( z ) f I g l ( = ) l l 。+ IJ 9 2 ( = ) 1 1 2l I g ( z ) l l 在此基础上建立了C G F P A 的三个有效的递推算法,并给出C G F P A 的W y n n 恒等式 4 , 在H e r m i t e 公式的基础上证明了C G F P A 前D eM o n t e s s u s D eB a l l o r e 收敛隆定 理揭示了它的行收敛条件及收敛速率并给出了C G F P A 的一系列代数性质 5 通过具
4、体的积分方程算例演示T 所建立的行列式公式和递推算法的有效性 关键词:广义逆,函数值P a d 6 逼近,积分方程,行列式公式,递推算法收敛定理,代 数性质 A B S T R A C T O n t h e b a s i s o f t h e w o r k s o f G r o v e s - M o r r i s ,t h i s p a p e r o b t a i n t h e f o l l o w i n g p r i m a r y r e s u l t s : 1 G e n e r a l i z e di n v e r s er e a lf u n c
5、 t i o n - v a l u e dP a d da p p r o x i m a t i o n ( G F P A ) i se x t e n d e dt o t h ec a s eo fc o m p l “f u n c t i o n - v a l u e ,a n dt h e nan e wd e f i n i t o no fg e n e r a l i z e di n v e r s ec o m p l e x f u n c t i o n - v a l u e dP a d 6 a p p r c D d r n a t i o n ( C G
6、 F P A ) i 8 d e f i n e d 2 A ni n t a c td e t e r m i n a n t a lf o n m f l ao fC G F P Ai sc o n s t r u c t 酣a n di t sP 蛐a l lr e d u c e d f o r m u l ai sg i v e n Z x i s 七e n c ea n d u n i q u e n e s so fC G F P A a f ep r o v e db ym e a n so ft h ed e t e r m i n a n t f o r m 3 An e
7、wc o m p l e x g e n e r a l i z e di n v e r s e i sd e f i n e db yp ( 置) n o r m a lf o r m u l a : 丽2 a n dt h e nt h r e ee f f i c i e n tr e c u r s i v ea l g o r i t h m st oc o m p u t eC G F P Aa n d W y n ni d e n t i t ya r ee s t a b - 1 i s h e d 4 A c c o r d i n gt oH e r m i t ef o
8、 r m u l ao fC G F P A ,w e U - k n o w nD eM o n t e s s u s D eB a l l o r e c o n v e r g e n c e t h e o r e mi sp r o v e d S o m ea l g e b r a i c p r o p e r t i e so fC G F P A a x ep r e s e n t e d 5 S o m ei n t e g r a le q u a t i o n sa r eg i v e nt os h o wt h ed e t e r m i n a n t
9、 a lf o r m u l aa n dr e c u T s i v e a l g o r i t h m so fC G F P A K E Y W O R D S :G e n e r a l i z e d i n v 目s e ,f u n c t i o n - v a l u e dP a d da p p r c c d m a t i o n ,i n t e g r a le q u a - t i o n ,d e t e r m i n a n t a lf o r m u l a ,r e c u m i v e a l g o r i t h m ,c o n
10、 v e r g e n c et h e o r e m ,a l g e b r m cp r o p e r t i t 黼 第一章积分方程 1 1 积分方程的概况 积分方程是近代数学的个重要分支数学,自然科学和工程技术领域中的许多问题 都可以归结为积分方程问题 积分方程理论的发展与数学物理问题有着紧密的联系1 8 2 3 年,A b e l 在研究质点力 学同题时导出了A b e l 方程 10 】 如) = 上器砒( m 0 ,u 稚为权函数 在 a ,川上取n 个不同的点,J = 1 ,2 ,n ,满足 a “ r l 也 0 。则称( P ,口) 为遣化 由式( 2 1 1 )
11、,( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 可得 ( k + h 。+ - + 6 n z 4 ) ( c o + C 1 Z + ) = B o + B l = + + 口m = m + O ( g m + “+ 1 ) ( 2 1 6 ) 比较式( 2 1 6 ) 两边1 ,= ,= “”的系数,可推导出系数m ,i = 1 ,2 ,m ,6 i ,= 1 ,2 ,n ,满足如下方程 如 B l C m + l C m + 2 C m + n c o00 c l句 O 0 O C , a - tc m 一2 一C m _ n c n n + I C m - , + 2 k 6 1 : k 对
12、方程( 2 1 7 ) ,( 2 1 8 ) ,规定c = 00 o , a 口) s2 k 一2 口J 锄口( ) IC I p C Z ,划2 如, 饿) 口( = q - ( A ) ,此处矿( 对为口( 的共辊函数, “ )q ( 0 ) 0 , v )p ( 2 ,柚一9 0 ) ,臼, ) = D ( 4 + 1 ) 如果P 扛, ) ,g ( ) 满足( ) 一扣) ,则由式( 2 2 1 6 ) 给出的r ( x , ) 为唯一的 分母口( ) 可由下式给出【2 J g ( A ) ;如t 此处 0 一胁1 M o l 0 M 0 2 一M o 2 一12 尬2 M x 2 I
13、 一1尬,2 t : : 一M o 2 k 一1 一M l ,2 一l M 2 ,2 I 一1 0 肘j 一1 2 A 2 2 一1 2 一2 A1 ( 2 2 17 ) J - I - l 6 均= e l + i + n 一+ z 扛) b 一件。 d z , ( 2 2 1 8 ) k 0 。d i = 0 ,l ,2 ,一,2 k ,= i 十1 ,i + 2 ,t 一,孙, 且定义,当J 2 k 记7 ( z ,A ) = a ( z ) A + 2 。借助于系数 c 二一2 k + 。I i = 0 ,1 ,2 ) ,构造口( A ) 由 ( 3 2 1 8 ) 表示, 2 k 2
14、 k l 中的p 【2 2 q ( z , ) 由( 3 2 1 9 ) 表示,则分子多项式P ( z , ) 由下式给 出: P ( z ,A ) 此时, 错就是所求帅2 k , 3 3 基于P f a t t l a n 公式的C G F P A 的简化计算公式 3 3 1C G F P A 的P f a f f i a n 公式 由文献 3 得知,设耳。是有n = 2 m 偶个顶点的图的集合,则n 的每个排列口S ( n ) 确定一个关于边 a ( 2 i 一1 ) ,a ( 2 i ) ) 墨l 的完全匹配( 一) 因为( 一) 不依赖这些边的方向和 顺序,所以对同一个( 们,有2 “
15、m ! 种不同的排列口。 现令A 为任意一个反对称矩阵,A C 2 “,I I 为任意一个完全匹配,则I I 的权u ( ) 定义为: m u ( n ) = s i g n a 1 Io 。一,) ,( 蚓) , ( 333 2 ) ;= t 此处a 为生成的所有排列,可知由式( 3 3 3 2 ) 定义的权u ( 玎) 不依赖于口的2 m m ! 选择 所以此时4 的P f a f f i a n 式为: e l ( A ) = ( ) ( 33 3 3 ) n 上式中”E ”表示对j 岛。中所有不同的完全匹配求和 Z m +o p 亡甚选鱼熬焦鲤量重敏垄盈皇左洼区垄壁! 垫! 堑塞壁左焦
16、主数重旦一丝 引理3 3 1 1 5 4 】设A 是一个偶数价方阵。A 一是A 的一个去掉第r 行,第r 列 后得到的反对称子阵,冠,C 分别是A 的仅更换第r 行,第r 列所得到的反对称矩阵,则有 例 则 如令 是一个反对称矩阵 此时,可取R ,C 为 月= D e t A = P ,( 鳓P I ( c , l A = 0 口bc 一口0de 一8 6 u I p c e 一,0 4 、3 :3 = 0口bo a0de - b d0 , 一c e 一,0 O口c o0e ce0 G = 0B口 c 一口0 de 一声- 6 0 驴 一c e 一0 ( 3 3 3 4 ) 则由式( 3 3
17、3 4 ) 得 d e t A = ( B ,+ c d 一6 e ) ( 口P + 西一印) 引理3 3 1 2 设r ( z , ) = 雩静是式( 3 1 1 2 ) 的一个【n 2 卅,此处p ( A ) 和口( ) 由式( 3 2 1 9 ) 和武( 3 2 1 8 ) 蛤出则 q ( 柚= q ( ) 一v ( o ) ( 3 3 3 5 ) 证明;对式( 3 2 2 0 ) 中c j ,可令c J = 0 ,当j 1 ,J = 0 ,1 ,2 ,的情形,运用数学归纳法,首先假设对指标k ,下列各式成立 i ) 当 - + o o 时,数l = D a 一卜1 ) ,5 磐= o
18、( ) ,( 4 1 1 1 ) 哪e 姐。= 絮掣,此处咖 啦。) 蚴- 2 ,( 4 1 1 2 ) i i ) 裂= 口+ 2 k 2 k ,( 4 1 1 3 ) 下证式( 4 1 1 1 ) 一( 4 1 1 3 ) 对女+ 1 成立 当式( 4 1 1 1 ) 成立,由( 4 1 3 ) 得 g l ,= D 忙:( j 。- 1 ) + 【o ( 蠢r 1 ) 一s 磐】_ t = O ( 一u + 1 ) 一1 ) + O ( 一J 一1 ) = 0 ( 一卜2 ) + O ( 一卜1 ) = 0 ( r 1 ) ( ) ,( 4 1 1 4 ) e 敬:= D ( 蠢r 1
19、) + 【0 ( 以窘一故,) r 1 = O ( p + 1 ) 4 - D 【( 一u + 1 ) 一1 一1 1 - J 一1 ) 一1 = 0 ( + 1 ) 4 - O 【( 一卜2 一1 1 - J “) 】一1 = o ( 1 1 J + 1 ) + D ( + 1 ) n _ + ) ( 4 , 1 1 5 ) 由式( 4 1 7 ) 的证明,可知上式中l 憾二个多项式中的关于 J + 1 的系数函数式相同符号相 反所以 s 船2 = o ( ) ,( - + o o ) ( 4 1 1 8 ) 所以可得,式( 4 1 1 1 ) 对 + i 成立现令 甜”= 帮,趔= 锵 (
20、 4 ) 定义函数值多项式F ( z , ) 如下 F 如, ) = S 扛, ) y ( ) 一t y ( z , ) T ( ) = A j + 2 + 1F c 扛,A ) ,( 4 1 i s ) 可以证明( 参见f 5 】) y ( A ) T ( ) 疋( z , ) 限 又因为 d e g s ) 墨,- I - 2 k 4 - I ,d e g T ) = 2 七,d e g u ) S ,+ 2 k ,d e g 矿) = 2 七 ( 4 1 1 9 ) 由式( 4 1 i s ) ,( 4 1 1 9 ) 可得到 如9 疋) 2 k ,咖 y 研= 4 k , 亡墨垫鱼塾垡
21、! i 韭量重盟堡造生直造区垄旦! i ! ! ! 里塑壁直焦主盟廛旦 盟 所以 脚,- ,= 锹群 = ! 盟H F 三d 幽x , 笠A ) l f l ! :! 型( 4 1 2 0 ) 是一个函数值多项式,且d e 9 M 2 k 于是下式成立 ( e 材“一s 接) _ 1 将式( 4 11 2 ) ,( 4 1 2 1 ) 代入式( 4 1 3 ) ,得 1 S ( 石,A )c t ( z , ) T ( A )y ( ) y ( A ) T ( ) E ( z , ) A J + 2 + 1 丝f ! :坚 ( 4 1 2 1 M + 2 k + 1 L , = ;- ( J
22、+ l ) 。2 k _ I + ( E 材”一s 摇) 。1 一生芷! 生:型丝i 业 一 M + 2 k - 一l。A + 2 k + l :垡2 生:型 A J + 2 + I 此处如9 趟窖) 2 k 由上述证明得知,式( 4 i 1 2 ) 对自+ 1 成立 又由式( 4 12 2 ) 和( 4 13 ) ,得 ( 4 1 2 2 ) = s 弦+ ( 。垃爿一s 。) 。1 一( J - t - i ) :2 k _ _ 可嵩瓷丽 = :- ( J - - t ) :2 k + 猫, ( 4 s ) 此处 G ( z ,A ) = 碰 “( z , ) 一A 趣i ( z ,A )
23、 , 则可知 d e g G S2 k + 1 ( 4 l2 4 ) 设 = f 是T ( ) 忙翳”= 号芋) 的2 k 个零点中的任意一个,由 鬻= s 翳吣) = E 蚴( z ,f ) + ( s 卿( z ,f ) 一s 删( z 舻1 , 亡墨童鱼垫堕旦! 韭逗重煎堡熊皇查造丛垄旦1 4 1 1 1 堡塑佥壅墼主盟重旦 ! ! 可得 E g 爿( z ,f ) = = 垃三( 。,f ) ( 4 1 2 5 ) 同理可得 s ,( z , ) = s 茫? ( z ,f ) , s 垃嚣( z ,f ) = s 鬟鼍( 。,f ) 又由式( 41 1 7 ) ,( 41 2 3 )
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