景区灭火数学建模模型.docx
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1、西南交通大学2012年大学生数学建模竞赛题目: B题 参赛队员1参赛队员2参赛队员3姓名甘罗谈盼明浩学号201038742010388720103878学院数学学院数学学院数学学院专业数学与应用数学数学与应用数学数学与应用数学电话134028869451878294300813688127427E173026319西南交通大学教务处西南交通大学实验室及设备管理处西南交通大学数学建模创新实践基地题目: 景区灭火的数学模型 摘要本文借助matlab的图像处理功能,运用插值拟合,有限元的思想,建立了消防员救火最佳路线和消防站合理选址的优化模型,再利用lingo软件求得最优解,由最优解确定救火最佳路线
2、和消防站合理选址。附件所给等高线图为像素为512512的二维灰度图.利用matlab的imread函数读出等高线图的灰度矩阵.根据灰度矩阵求得灰度图中黑色点的坐标;补全等高线图转化为一元插值问题;通过对线性插值、三体样条插值、三次多项式插值结果进行分析比较,三次多项式插值效果更为理想。由问题一得出的完整等高线图可求出等高线上对应山体表面上点的三维坐标,利用matlab中的Surface Fitting Tool拟合得到景区的三维地形图和拟合后的曲面函数。用matlab算出山体表面的曲面积分,由像素与比例尺的值可得山体表面面积。从消防站A派遣消防员去B点灭火,最佳的灭火路线应使得消防员到达火灾蔓
3、延区域边界的时间最短。将火势蔓延路线与消防员灭火路线合并为一条曲线,在曲线上均等插入n-1个点,得到的折线可以近似代替该曲线。折线上n-1各点的位置可以由n-1参变量唯一确定,则最短时间可由n-1个参变量唯一确定。求最佳的灭火路线转化为转化为以最短时间为目标函数,n-1个参变量的取值范围为约束条件的优化问题。利用lingo软件可求得最优解。根据实际情形,消防站选址的合理性由多方面因素决定。本文定义消防站的合理选址应使得火灾发生对森林公园造成损失的期望最小。消防员到达着火蔓延区域边界的时间由第三问的模型可得。再由假设4、5,可建立以火灾造成损失的期望最小为目标函数的优化模型。考虑到运算量过大,我
4、们将景区分成了16个片区,取各个片区的中心代表该片区,近似估计最优选址点的位置。关键词:灰度矩阵 一元插值 曲面拟合 有限元法优化模型一问题提出某国家级森林公园由于风景区植被丰富,拥有大量的国家级重点保护动植物,因此旅游管理部门在风景区的A点设置了景区消防站,当景区发生火灾时能及时控制和消灭火情。图1说明:该图水平及竖直方向以10m为单位,山高以50m为单位。根据所给出的风景区地形等高线图形提出了以下问题:1、由于人为原因,图1所示的等高图出现了局部破损的情况,根据所学知识利用适当的方法建立数学模型修补好该等高图;2、在完成第一问的基础上,结合数学模型建立该景区的三维地形图,并估计该景区的地表
5、面积;3、某天图1所示的B点发生了火灾,于是需要从景区消防站派遣消防员去B点灭火,建立模型确定最佳灭火路线;4、 如果需要对景区消防站进行重新选址,请建立模型确定合理的消防站地址。二问题分析2.1问题1的分析:根据所学的数学知识可以采用曲线插值的方法将等高图中缺损的部分补充完全;2.2问题2的分析:要计算景区的地表面积,可以采用曲面积分的方法。这就要知道地表曲面的曲面方程或函数,而曲面的函数z=fx,y可以根据所给出的等高线图上已知的点用matlab拟合出来,那么地表面积就可以用1+zy2+zy2dxdy求出;2.3问题3的分析:要确定最佳的灭火路线即确定火势蔓延到某处与消防员到达这里的最短时
6、间,而最短时间取决于火势蔓延的速度和消防员行走的速度,那么就需要求出A、B两点间的路线,设路线为L,则可以将问题转化为优化问题,再利用有限元的思想就可以求解出最佳路线;2.4问题4的分析:要使景区消防站更合理,义消防站的合理选址应使得火灾发生对森林公园造成损失的期望最小。,那么可以将景区合理划分成各个小片区,再求每个小片区的中心点建消防站对应的损失期望,取该值对应的片区的中心即为最佳选址。三问题假设1.假设消防员前往火灾发生点的速度和火蔓延的速度只与坡度有关2.消防员在山体表面任意一点都可通行3.消防站在着火时马上收到警报,同时消防员赶往火灾地点4.景区山体表面上每一点发生火灾的概率相等5.景
7、区山体表面每一点发生火灾造成的损失只消防员到达火灾区的时间正相关四符号说明s:山的表面积A: 消防站B:火灾发生点A0: A在水平面上的投影B0: B在水平面上的投影t:消防员到达火势蔓延区域边界的时间Pi:以A、B为端点的折线的n-1个折点(i=1,2,3n-1,P0、Pn分别表示B、A)P0i:Pi在水平面上的投影Mi: 线段A0 B0的第i个等分点(i=1,2,3n-1,M0、Mn分别表示B0、A0):过B0和P0i的线段与x轴的夹角 :PiPi+1与z轴的夹角v1:消防员速度v2:火势蔓延的速度E(Y):以Y点为消防站时火灾发生造成损失的期望五模型建立与求解5.1 问题一的模型建立与求
8、解附件所给等高线图为像素为512512的二维灰度图.利用matlab的imread函数可以读出灰度图灰度矩阵.根据灰度矩阵可以求得灰度图中黑色点的坐标.那么等高线图的补全就转化为一元插值问题;对所给等高线图进行处理,得到只包含缺失部分附近黑色点的18张图片;将灰度矩阵的行与列分别对应坐标系中的纵坐标与横坐标.当同一横坐标上有多个数据点时,只保留其中一个.观察可知,第1-16张图片等高线缺失部分可直接由灰度矩阵得到的坐标点数据直接插值得到.对线性插值,三次抽样插值,三次多项式插值结果比较,发现三次多项式插值更为合理。通过程序1.1将第1-16张图片插值得到后的图形显示在同一窗口中,如图1.1所示
9、图1.2第17-18张图片等高线缺失部分与水平方向垂直;可先对灰度矩阵转置对应的灰度图插值拟合,程序1.2运行结果结果如图1.2:图1.2将原等高线,图1.1,图1.2对应灰度矩阵的转置的灰度图在同一图像窗口中显示,并将其存为bmp、单色格式。即得补全的等高线图。如图1.3图1.35.2 问题二的模型建立与求解利用5.1的模型得到的等高线图结果,首先将图片中完整的等高线分离,如图2.1,图2.1说明:左边为等高线1,右边为等高线3再用matlab软件中的imread函数将上述8张分离的等高线图读出灰度矩阵,然后将8个矩阵中的等高线上的点的位置取出并合成一个矩阵C,再取得等高线上的点的横坐标x、
10、纵坐标y,同时计算出各个等高线上点的竖坐标z,具体matlab程序如附件中程序2.1所示,得到x,y,z后,利用matlab中的Surface Fitting Tool将景区的三维空间曲面函数拟合出来,则可以得到景区的空间曲面图,如图2.2所示,图2.2同时Surface Fitting Tool得到拟合的多项式函数为p00=-553 ;p10 =7.007;p01 = -0.2078 ;p20 = -0.03322 ;p11 = 0.02264;p02 = 0.03541;p30 = 8.848e-005 ;p21 = -0.0002331 ;p12 = -0.0001663 ;p03 =
11、-0.0001483 ;p40 = -8.863e-008 ;p31 = 5.859e-007 ;p22 = 3.941e-007 ;p13 = 4.976e-007 ;p04 = 1.904e-007;p50 = -8.63e-011 ;p41 = -6.388e-011 ;p32 = -9.059e-010 ;p23 = -1.191e-010 ;p14 = -4.111e-010 ;p05 = -8.165e-011 ;z = p00 + p10*x + p01*y + p20*x2 + p11*x*y + p02*y2 + p30*x3 + p21*x2*y+ p12*x*y2 + p
12、03*y3 + p40*x4 + p31*x3*y + p22*x2*y2 + p13*x*y3 + p04*y4 + p50*x5 + p41*x4*y + p32*x3*y2 + p23*x2*y3 + p14*x*y4 + p05*y5;利用曲面积分公式建立表面积模型s=100*1+zy2+zy2dxdy用matlab编程即可将上式面积求出,程序如附件中程序2.2,算得结果为s=26112100。5.3 问题三的模型建立与求解从景区消防站A派遣消防员去B点灭火,最佳的灭火路线应使得消防员到达火灾蔓延区域的时间最短。如果消防员灭火路线与火势蔓延经过的某条路线相交所需的时间最短,那么该路线即
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