有关投篮命中率的理论与应用模型.docx
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1、第九届北京师范大学数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是:我们的参赛报名号为:所属学校:参赛队员:1.2.3.指导教师或指导教师组负责人 (打
2、印并签名): 日期:年月日赛区评阅编号:第九届北京师范大学数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号:赛区评阅记录:评阅人评分备注全国统一编号:全国评阅编号:有关投篮命中率的理论与应用模型摘要本模型为分析三种投篮方式命中率的提高方式,从最简单的罚篮模型出发,且先在理想情况下进行讨论,将变量控制为出射角度、水平距离、出手高度三的个因素。考虑到其中较容易训练的是出射角度,球员的出手高度由身体情况也可基本确定,出手力度却在不同状态下变化较大,模型要考虑的便具体为根据球员情况寻找一最佳出射角度,使出手速度可变范围较大。再将投球位置推广至平面任意一点寻找该点最佳出射角,并分析直接瞄准篮筐与打板的胜算,找出最佳投
3、篮角度范围,并与实际比赛统计数据比较加以验证。最后根据模型中投篮方案,考虑场地变化对队员得分的影响,并由比赛数据找到其他能够影响比赛观赏性与球员表现力的因素。关键词 投篮命中率 多因素规划 场地规则改变一、问题重述投篮作为篮球运动中的一项关键性技术,是比赛中得分的重要手段。投篮的方式主要分为三种,即“罚篮”、“两分球”和“三分球”,为了能够提高投篮的命中率,我们必须对各种投篮方式的相关因素进行分析,以便为投篮训练及竞赛策略提出科学的建议。题中给出了标准的篮球场地以及最新的篮球规则变更,问题是需要我们通过分析给出提高各种投篮方式下提高投篮命中率的建议,并分析最新篮球规则的更改对竞赛观赏度和球员个
4、人表现力的影响。二、构建模型1.罚篮模型对于投篮的三种方式来说,罚篮时运动员处于固定位置、不受防守队员的干扰、投篮过程稳定,而其他两种方式皆可看作是在罚篮基础上的推广和改进,故首先选择罚篮为基本模型进行分析。构建模型之前有以下假设:运动员在投篮时发挥稳定,不受偶然因素的影响;球的飞行过程暂时不计空气阻力,不考虑球的旋转,即将其视为理想的抛体运动;假设球心的轨迹与篮框中心共面。图1符号规定:L1罚球点与篮框左边缘A的水平距离L2罚球点与篮框右边缘B的水平距离d篮框的直径H篮框的竖直高度v0球的初速度v0与水平方向的夹角h球的出手高度r篮球的半径R三分线的半径根据题意及相关数据,如图1所示,可知L
5、与H为常量(均以改变后的规则为标准):L1=4.375m,L2=4.825m,d=0.450m,H=3.050m,r=0.123m,球心轨迹方程由v0、和h确定。以篮球的出手点为原点,设球心为P,如图2所示建立平面直角坐标系。记重力加速度为g,引入参数t,根据抛体运动的规律可得:x=v0costy=v0sint-12gt2图2消去参数t可整理得球心P的轨迹方程:y=xtan-gx22v02cos2根据图2可知,当点P轨迹经过AB上的某一段时,可以视为篮球能被投入。这里我们暂不考虑篮球砸中篮板的情况,即只考虑左端的极限情况。此处我们记H-h=h,当篮球恰好能砸中篮框左边缘A时,即轨迹过点L1,h
6、+r时,有:h+r=L1tan-gL122v0min2cos2此处v0min为临界情况下球的最小初速度整理可得:v0min2=gL122L1tan-h-rcos2在实际情况中,由于球员的身体状态和临场发挥存在较大波动,故球的初速度v0较难控制,但是出射角度可以通过不断地训练较好地把握,因此若能找到一出射角度使得v0的变化范围较大,则能够有效提高运动员投篮的命中率。即求一的值,使得对应的v0min最小即可。根据上式,设h=0.977m,作出v0min的图像如下:图3分析图3可知,在出射角度较小时,不存在与之对应的v0min,即无论以怎样的初速度投篮,均无法投进。之后随着的增大,总能找到对应的临界
7、速度v0min,且当的值接近于0.8弧度(约为45)时,v0min的确有最小值。要求使得v0min最小的的取值,对上式求导,右边得:-1tan-h+rL1cos2tan-h+rL1cos2要求极值,只需tan-h+rL1cos2=0,整理可得1=2tan-h+rL1sincos,最终可得:=12arctan-L1h+r+图4即为h的函数,其图像如图4所示,球的出手高度h基本由运动员的身高决定,设其变化范围为1.95,2.35,则h在0.7,1.1内变化,带入数据进行计算可得:0.70.8781.10.922即出射角度在约50.3至52.8间变化时,能使初速度临界值v0min较小,此时球员的命中
8、率会较高。图5接下来考虑另一端B端的极限情况,即篮球砸中篮板反弹后再入框的情况。如图5所示,此时我们假设篮球和篮框之间的碰撞为完全弹性碰撞,则能入框的极限条件是篮球砸中篮板后反弹使得篮球恰好砸中篮框的左边缘A。记篮球与篮框的碰撞点为S,在该点的速度为v1,则S点的横坐标已知,为xS=L2,带入P的轨迹方程可知其纵坐标为yS=L2tan-gL222v02cos2,在S点处,沿x和y方向的分速度分别为:v1x=v0cosv1y=v0sin-gt0其中t0=L2v0cos由以上条件可以写出反弹后球心P轨迹的参数方程:x=xS-v0costy=yS-v0sin-gt0t+12gt2t为参数,含义为碰撞
9、之后的飞行时间当此轨迹过点L1,h+r时,经整理有:L2tan-gL222v0max2cos2-h-r=-gd2v0max2cos2+gd22v0max2cos2此处v0max为临界情况下的最大初速度整理可得:v0max2=gL2+d22L2+dtan-h-rcos2使用类似于之前的求极值方式,经过求导和整理后可以得到此临界条件下与h的关系:=12arctan-L2+dh+r+同样代入数据计算可得:0.70.8631.10.899即出射角度约在49.4至51.5之间时,初速度临界值v0max有极值,此时投篮的命中率较高。这个数值与之前一种极限情况的取值十分接近。图6我们容易注意到上式中的L2+
10、d恰好是A点关于篮板所在平面的对称点A点的横坐标。如果我们如图6所示,作出左边缘A关于其的对称点A,那么我们就可以把经反弹篮球恰好砸中A点的情况看作是直接砸中A点的情况,此时我们直接将坐标L2+d,h+r代入P的轨迹方程,可以得到和刚才相同的结论,这验证了我们的猜想,即与S碰撞之后反弹砸中A点等效于直接砸中A点。经过上述对罚篮模型的分析,我们可以发现不管是在篮球初速度v0最小时刚刚砸中A点,还是v0最大时与篮板碰撞反弹后砸中A点,都对应着一定的角度,这个的值只与球的出手高度h有关。因此,在罚篮训练中,为了提高命中率,可针对不同球员习惯的出手高度h来设定最合理的角度的范围。2.三分球模型我们将罚
11、球的模型进行推广,就可以得到三分球的对应模型。我们先假设球员投三分球时正好位于三分线边缘,这样可以保证在三分球模型中球员与篮框的距离始终一定。容易想到,当球员正对篮框时,三分球模型与罚篮模型的区别仅仅在于距离L1、L2以及由于运动员采用跳投而引起的球出手高度h改变。此时的L1=6.525m,L2=6.975m。在投三分球时,运动员一般采用跳投姿势,出手高度h的范围大概为2.4,2.8,则h在0.25,0.65内变化,代入以下两式:1=12arctan-L1h+r+2=12arctan-L2+dh+r+经计算得:10.250.81410.650.84420.250.82120.650.858即1
12、46.6,48.4,247.0,49.1,同样是大致吻合的。对于每一个不同的出手高度h,都能找到一个最适合的投篮角度使得此时投篮的命中率最高。接下来我们考虑球员在三分线上的任意位置投篮的情况。同样,我们先暂时不考虑打中篮板的情况,则此模型同样与罚篮时的第一种极限情况类似,即无论球员位于三分线的何位置,都可以认为球心P轨迹与篮框中心位于同一平面内,即都可以转化为图2所示的模型。此情况下的数据应与正对篮框的三分球模型的1完全相同,在此不再赘述。图7于是我们可以开始讨论砸中篮板的情况。如图7所示,我们记篮球最后入框时轨迹与篮框所在平面的交点为Q,Q点与篮球出手点T的水平距离为l,记篮框中心点为Q0,
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