【优质文档】常微分方程试题库试卷库2.pdf
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1、精品资料欢迎下载 常微分方程期终考试试卷(1) 一、填空题( 30% ) 1、方程 ( , )( , )0M x y dxN x y dy 有只含x的积分因子的充要条件是() 。 有只含 y 的积分因子的充要条件是_。 、 _称为黎卡提方程,它有积分因子_。 、 _称为伯努利方程,它有积分因子_。 、若 12 ( ),( ),( ) n XtXtXt 为n阶齐线性方程的n个解, 则它们线性无关的充要条件 是_ 。 、形如 _的方程称为欧拉方程。 、 若 ( ) t 和 ( ) t 都 是 ( )xA t x 的 基 解 矩 阵 , 则 ( ) t 和 ( ) t 具 有 的 关 系 是 _ 。
2、 、当方程的特征根为两个共轭虚根是,则当其实部为_时,零解是稳定的,对应 的奇点称为 _。 二、计算题() 1、 3 ()0ydxxydy 、sincos2xxtt 、若 21 14 A 试求方程组xAx的解 1 2 ( ), (0)t 并求 expAt 、 32 ()480 dydy xyy dxdx 、求方程 2 dy xy dx 经过( 0,0)的第三次近 似解 精品资料欢迎下载 6. 求 1,5 dxdy xyxy dtdt的奇点 , 并判断奇点的类型及稳定性. 三、证明题() 、n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解。 常微分方程期终试卷(2) 一、填空题 30% 1、 形如 _的方程
3、,称为变量分离方程,这里. )().(yxf 分别为x.y的连 续函数。 2、 形 如 _ 的 方 程 , 称 为 伯 努 利 方 程 , 这 里 xxQxP为)().( 的 连 续 函 数.n ,可化为线性方程。是常数。引入变量变换1.0 3、 如果存在常数 使得不等式,0L _对于所有 称为利普希兹常数。都成立,(LRyxyx),(), 21 函数 ),(yxf 称为在 R上关于 y 满足利普希兹条件。 4、 形如 _- 的方程,称为欧拉方程,这里 是常数。, 21 aa 5、 设 是的基解矩阵,是)()(tAxxt)()(tfxtAx 的某一解,则它的任一 解 可表为)(t _- 。 一
4、、计算题40% 1. 求方程 的通解。 2 6xy x y dx dy 2. 求程 xy e x y dx dy 的通解。 精品资料欢迎下载 3. 求方程 t exxx 2 56 的隐式解。 4. 求方程 )的第三次近似解。、通过点(00 2 yx dx dy 二、证明题30% 1. 试验证 t = 12 2 t tt 是方程组x = tt 22 10 2 x,x= 2 1 x x ,在任何不包含原点的区间 a bt 上的基解矩阵。 2. 设 t 为方程x =Ax(A 为 nn 常数矩阵)的标准基解矩阵(即(0)=E) ,证明 : t 1 (t 0)= (t- t 0) 其中 t0为某一值 .
5、 精品资料欢迎下载 常微分方程期终试卷(3) 一 . 解下列方程 (10%*8=80%) 2. dx dy =6x y -x 2 y 3. y =2 2 ) 1 2 ( yx y 4. x y = 22 yx +y 6. y-x( 2 x + 2 y )dx-xdy=0 8. 已知 f(x) x dttf 0 )( =1,x0, 试求函数 f(x)的一般表达式。 二证明题 (10%*2=20%) 9. 试证:在微分方程Mdx+Ndy=0中,如果 M 、N试同齐次函数, 且 xM+yN0, 则 )( 1 yNxM 是该方程的一个积分因子。 常微分方程期终试卷(4) 一、填空题 1、 ()称为变量
6、分离方程, 它有积分因子 ( )。 、当()时,方程 0),(),(dyyxNdxyxM 称为恰当方程,或称全 微分方程。 精品资料欢迎下载 、函数 ),(yxf 称为在矩形域上关于 y 满足利普希兹条件,如果() 。 、对毕卡逼近序列, ()()( 1 xx kk 。 、解线性方程的常用方法有() 。 、若 ), 2, 1)(nitXi 为齐线性方程的 n个线性无关解,则这一齐线性方程的所有解可 表为() 。 、方程组 xtAx)( () 。 、若 )(t 和 )(t 都是 xtAx)( 的基解矩阵, 则 )(t 和 )(t 具有关系: () 。 、当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实
7、部()时,零解是稳定的,对 应的奇点称为() 。 、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时,则当()时,零解是渐近 稳定的,对应的奇点称为() 。当()时,零解是不稳定的,对应的 奇点称为() 。 、 若 )(t 是 xtAx)( 的 基 解 矩 阵 , 则 xtAx)()(tf 满 足 )( 0 tx 的 解 () 。 二、计算题 求下列方程的通解。 、 1sin4xe dx dy y 。 、 1)(1 22 dx dy y 。 、求方程 2 yx dx dy 通过 )0 ,0( 的第三次近似解。 求解下列常系数线性方程。 、0xxx。 、 t exx 。 试求下列线性方程组的奇点,并通过变
8、换将奇点变为原点,进一步判断奇点的类型及稳定性: 、 5, !yx dt dy yx dt dx 。 三、证明题。 、设 )(t 为方程Axx(为 nn 常数矩阵)的标准基解矩阵(即 )0(E , 证明 )(t )()( 00 1 ttt 其中 0 t 为某一值。 常微分方程期终考试试卷(5) 一 填空题( 30 分) 1 )()(xQyxP dx dy 称 为 一 阶 线 性 方 程 , 它 有 积 分 因 子 dxxP e )( , 其 通 解 为 _ 。 2函数 ),(yxf 称为在矩形域R上关于 y 满足利普希兹条件,如果 _ 。 3 若 )(x 为毕卡逼近序列 )(x n 的极限,则
9、有 )()(xx n _ 。 精品资料欢迎下载 4方程 22 yx dx dy 定义在矩形域 22,22:yxR 上,则经过点(0, 0)的解 的存在区间是 _ 。 5函数组 ttt eee 2 , 的伏朗斯基行列式为 _ 。 6若 ), 2, 1)(nitxi 为齐线性方程的一个基本解组, )(tx 为非齐线性方程的一个特解, 则非齐线性方程的所有解可表为 _ 。 7若 )(t 是 xtAx)( 的基解矩阵,则向量函数 )(t = _是 )()( tfxtAx 的满 足初始条件 0)( 0 t 的解;向量函数 )(t = _ 是 )()( tfxtAx 的满足初始条件 )( 0 t 的解。
10、8若矩阵A具有 n 个线性无关的特征向量 n vvv, 21 ,它们对应的特征值分别为 n , 21 ,那么矩阵 )(t = _ 是常系数线性方程组 Axx 的一个基解矩阵。 9满足 _ 的点 ),( * yx ,称为驻定方程组。 二计算题(60 分) 10求方程 0) 1(24 322 dyyxdxyx 的通解。 11求方程 0xe dx dy dx dy 的通解。 12 求初值问题 0)1( 22 y yx dx dy 1, 11:yxR 的解的存在区间, 并求第二次近似解, 给出在解的存在区间的误差估计。 13求方程 ttxx3sin9 的通解。 14试求方程组 )( tfAxx 的解
11、).(t 1 )(, 34 21 , 1 1 )0( t e tfA 15试求线性方程组 52,1972yx dt dy yx dt dx 的奇点, 并判断奇点的类型及稳定 性。 三证明题(10 分) 16如果 )(t 是 Axx 满足初始条件 )( 0 t 的解, 那么 )(ex p)( 0 ttAt 常微分方程期终考试试卷(6) 三 填空题(共 30 分, 9 小题, 10 个空格,每格3 分) 。 1、 当_时,方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程,或称全 精品资料欢迎下载 微分方程。 2、_称为齐次方程。 3、求 dx dy =f(x,y)满足 00) (yx 的解等
12、价于求积分方程_的连续解。 4、若函数 f(x,y)在区域 G内连续, 且关于 y 满足利普希兹条件,则方程 ),(yxf dx dy 的解 y= ),( 00 yxx 作为 00, ,yxx 的函数在它的存在范围内是_。 5、若 )(),.(),( 321 txtxtx 为 n 阶齐线性方程的n 个解,则它们线性无关的充要条件是 _ 。 6、方程组 xtAx)( / 的 _称之为 xtAx)( / 的一个基本解组。 7、若 )(t 是常系数线性方程组 Axx / 的基解矩阵,则expAt =_ 。 8、满足 _的点( * , yx ) ,称为方程组的奇点。 9、当方程组的特征根为两个共轭虚根
13、时,则当其实部_时,零解是稳定 的,对应的奇点称为_。 二、计算题(共6 小题,每题10 分) 。 1、求解方程: dx dy = 3 1 2 yx yx 2、 2、解方程: (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0 3、讨论方程 2 3 dx dy 3 1 y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,并求通过点(0, 0)的一切解 4、求解常系数线性方程: texxx t cos32 / 5、试求方程组 Axx / 的一个基解矩阵,并计算 34 21 ,为其中Ae At 6、试讨论方程组 cy dt dy byax dt dx , (1)的奇点类型,其中a,b,c为常数,且 ac0
14、。 三、证明题(共一题,满分10 分) 。 试证:如果 Axxt / )是( 满足初始条件 )( 0 t 的解,那么 )(t )( 0 ttA e 常微分方程期终试卷(7) 一、选择题 1n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是()个 (A)n(B) n -1 (C)n+1 (D)n+2 2李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的()条件 (A)充分(B)必要(C)充分必要(D)必要非充分 精品资料欢迎下载 3. 方程 2 1 d d y x y 过点 )1, 2 ( 共有()个解 ( A)一(B)无数(C)两(D)三 4方程 xxy x y d d ()奇解 (A)有一个(B)有两
15、个( C)无(D)有无数个 5方程 y x y d d 的奇解是() (A) xy (B) 1y (C) 1y (D) 0y 二、计算题 1.x y = 22 yx +y 2.tgydx-ctydy=0 3. 0dd)2(yxxyx 4. 1 d d x y x y 5. 0d)ln(d 3 yxyx x y 三、求下列方程的通解或通积分 1. )1( d d2 yx x y y 2. 2 )( d d x y x y x y 3. x y x y 2 e3 d d 四证明 1. 设 )( 1 xy , )( 2 xy 是方程 0)()(yxqyxpy 的解,且满足 )( 01 xy = )(
16、 02 xy =0, 0)( 1 xy ,这里 )(),(xqxp 在 ),( 上连续, ),( 0 x 试证明:存在常数C使得 )(2xy =C )(1xy 2在方程 0)()(yxqyxpy 中,已知 )(xp , )(xq 在 ),( 上连续求证:该 方程的任一非零解在 xoy平面上不能与 x 轴相切 常微分方程期终试卷(8) 一、填空(每空3 分) 1、称为一阶线性方程, 它有积分因子, 其通解为。 2、函数 ),(yxf 称为在矩形域R上关于 y 满足利普希兹条件,如果 精品资料欢迎下载 。 3、若 )(,),(),( 21 txtxtx n 为n阶齐线性方程的 n个解,则它们线性无
17、关的充要条件 是。 4、形如的方程称为欧拉方程。 5、 若 )(t 和 )(t 都是 xtAx)( 的基解矩阵, 则 )(t 和 )(t 具有的关系:。 6、 若 向 量 函 数 );(ytg 在 域R上, 则 方 程 组 0000 ),;(),;(yyttytg dt dy 的解存在且惟一。 7、当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部,零解是稳定的, 对应的奇点称为。 二、求下列方程的解 1、 0)4()3( 2 dyxydxxy (6 分) 2、 dxyxxdyydx)( 22 (8 分) 3、 22 ) 2() 1(yyy (8 分) 4、 xy e x y dx dy (8 分)
18、 5、 t exxx 2 56 (6 分) 6、 t xx 3 sin 1 (8 分) 7、2 1 x x (8 分) 三、求方程组的奇点,并判断奇点的类型和稳定性(8 分) 52,1972yx dt dy yx dt dx 常微分期中测试卷(2) 一 . 解下列方程 (10%*8=80%) 1.1. x y = 22 yx +y 2. 2. tgydx-ctydy=0 3.3. y-x( 2 x + 2 y )dx-xdy=0 4.4. 2xylnydx+ 2 x + 2 y 2 1y dy=0 5. dx dy =6x y -x 2 y 精品资料欢迎下载 6. y =2 2 ) 1 2 (
19、 yx y 7. 已知 f(x) x dttf 0 )( =1,x0, 试求函数f(x) 的一般表达式。 8 一质量为 m质点作直线运动, 从速度为零的时刻起,有一个和时间成正比 (比例系数为 1 k ) 的力作用在它上面,此外质点又受到介质的阻力,这阻力和速度成正比(比例系数为 2 k ) 。试求此质点的速度与时间的关系。 二 证明题 (10%*2=20%) 1. 证明:如果已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等方法求得它的通解。 2 试证:在微分方程Mdx+Ndy=0中,如果 M 、 N试同齐次函数, 且 xM+yN0, 则 )( 1 yNxM 是该方程的一个积分因子。 2 ()() ()
20、yyy xMyNM xNy xMyN NMM 2 ()() () xxx xMyNN xMy xMyN NNM 常 常微分方程期终试卷(9) 一、填空题(每小题5 分,本题共30 分) 1方程 x xy x y esin d d 的任一解的最大存在区间必定是 2方程 04yy 的基本解组是 3向量函数组 )(,),(),( 21 xxx n YYY 在区间I 上线性相关的_条件是在 区间 I 上它们的朗斯基行列式 0)(xW 4李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的条件 5n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间 6 向量函数组 )(,),(),( 21 xxx n YYY 在其
21、定义区间I上线性相关的条件是它们 的朗斯基行列式 0)(xW , Ix 二、计算题(每小题8 分,本题共40 分) 求下列方程的通解 7. x y x y2 e3 d d 8. 0)d(d)( 3223 yyyxxxyx 9 0exy y 精品资料欢迎下载 10求方程 xyy5sin5 的通解 11求下列方程组的通解 yx t y yx t x 4 d d d d 三、证明题(每小题15 分,本题共30 分) 12设 )( 1 xy 和 )( 2 xy 是方程 0)(yxqy 的任意两个解,求证:它们的朗斯基 行列式 CxW)( ,其中 C为常数 13设 )(x 在区间 ),( 上连续试证明方
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