【优质文档】常微分方程试题库试卷库2.pdf

精品资料欢迎下载 常微分方程期终考试试卷(1) 一、填空题（ 30% ） 1、方程 ( , )( , )0M x y dxN x y dy 有只含x的积分因子的充要条件是（） 。 有只含 y 的积分因子的充要条件是_。 、 _称为黎卡提方程，它有积分因子_。 、 _称为伯努利方程，它有积分因子_。 、若 12 ( ),( ),( ) n XtXtXt 为n阶齐线性方程的n个解， 则它们线性无关的充要条件 是_ 。 、形如 _的方程称为欧拉方程。 、 若 ( ) t 和 ( ) t 都 是 ' ( )xA t x 的 基 解 矩 阵 ， 则 ( ) t 和 ( ) t 具 有 的 关 系 是 _ 。 、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_时，零解是稳定的，对应 的奇点称为 _。 二、计算题（） 1、 3 ()0ydxxydy 、sincos2xxtt 、若 21 14 A 试求方程组xAx的解 1 2 ( ), (0)t 并求 expAt 、 32 ()480 dydy xyy dxdx 、求方程 2 dy xy dx 经过（ 0，0）的第三次近 似解 精品资料欢迎下载 6. 求 1,5 dxdy xyxy dtdt的奇点 , 并判断奇点的类型及稳定性. 三、证明题（） 、n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解。 常微分方程期终试卷(2) 一、填空题 30% 1、 形如 _的方程，称为变量分离方程，这里. )().(yxf 分别为x.y的连 续函数。 2、 形 如 _ 的 方 程 ， 称 为 伯 努 利 方 程 ， 这 里 xxQxP为)().( 的 连 续 函 数.n ，可化为线性方程。是常数。引入变量变换1.0 3、 如果存在常数 使得不等式,0L _对于所有 称为利普希兹常数。都成立，（LRyxyx),(), 21 函数 ),(yxf 称为在 R上关于 y 满足利普希兹条件。 4、 形如 _- 的方程，称为欧拉方程，这里 是常数。, 21 aa 5、 设 是的基解矩阵，是)()(tAxxt)()(tfxtAx 的某一解，则它的任一 解 可表为)(t _- 。 一、计算题40% 1. 求方程 的通解。 2 6xy x y dx dy 2. 求程 xy e x y dx dy 的通解。 精品资料欢迎下载 3. 求方程 t exxx 2 5'6' ' 的隐式解。 4. 求方程 ）的第三次近似解。、通过点（00 2 yx dx dy 二、证明题30% 1. 试验证 t = 12 2 t tt 是方程组x ' = tt 22 10 2 x,x= 2 1 x x ，在任何不包含原点的区间 a bt 上的基解矩阵。 2. 设 t 为方程x ' =Ax（A 为 nn 常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E） ，证明 : t 1 (t 0)= (t- t 0) 其中 t0为某一值 . 精品资料欢迎下载 常微分方程期终试卷(3) 一 . 解下列方程 (10%*8=80%) 2. dx dy =6x y -x 2 y 3. ' y =2 2 ) 1 2 ( yx y 4. x ' y = 22 yx +y 6. y-x( 2 x + 2 y )dx-xdy=0 8. 已知 f(x) x dttf 0 )( =1,x0, 试求函数 f(x)的一般表达式。 二证明题 (10%*2=20%) 9. 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果 M 、N试同齐次函数， 且 xM+yN0, 则 )( 1 yNxM 是该方程的一个积分因子。 常微分方程期终试卷（4） 一、填空题 1、 （）称为变量分离方程, 它有积分因子 ( )。 、当（）时，方程 0),(),(dyyxNdxyxM 称为恰当方程，或称全 微分方程。 精品资料欢迎下载 、函数 ),(yxf 称为在矩形域上关于 y 满足利普希兹条件，如果（） 。 、对毕卡逼近序列， ()()( 1 xx kk 。 、解线性方程的常用方法有（） 。 、若 ), 2, 1)(nitXi 为齐线性方程的 n个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可 表为（） 。 、方程组 xtAx)( （） 。 、若 )(t 和 )(t 都是 xtAx)( 的基解矩阵， 则 )(t 和 )(t 具有关系： （） 。 、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（）时，零解是稳定的，对 应的奇点称为（） 。 、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（）时，零解是渐近 稳定的，对应的奇点称为（） 。当（）时，零解是不稳定的，对应的 奇点称为（） 。 、 若 )(t 是 xtAx)( 的 基 解 矩 阵 ， 则 xtAx)()(tf 满 足 )( 0 tx 的 解 （） 。 二、计算题 求下列方程的通解。 、 1sin4xe dx dy y 。 、 1)(1 22 dx dy y 。 、求方程 2 yx dx dy 通过 )0 ,0( 的第三次近似解。 求解下列常系数线性方程。 、0xxx。 、 t exx 。 试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性： 、 5, !yx dt dy yx dt dx 。 三、证明题。 、设 )(t 为方程Axx（为 nn 常数矩阵）的标准基解矩阵（即 )0(E ， 证明 )(t )()( 00 1 ttt 其中 0 t 为某一值。 常微分方程期终考试试卷（5） 一 填空题（ 30 分） 1 )()(xQyxP dx dy 称 为 一 阶 线 性 方 程 ， 它 有 积 分 因 子 dxxP e )( ， 其 通 解 为 _ 。 2函数 ),(yxf 称为在矩形域R上关于 y 满足利普希兹条件，如果 _ 。 3 若 )(x 为毕卡逼近序列 )(x n 的极限，则有 )()(xx n _ 。 精品资料欢迎下载 4方程 22 yx dx dy 定义在矩形域 22,22:yxR 上，则经过点（0， 0）的解 的存在区间是 _ 。 5函数组 ttt eee 2 , 的伏朗斯基行列式为 _ 。 6若 ), 2, 1)(nitxi 为齐线性方程的一个基本解组， )(tx 为非齐线性方程的一个特解， 则非齐线性方程的所有解可表为 _ 。 7若 )(t 是 xtAx)( ' 的基解矩阵，则向量函数 )(t = _是 )()( ' tfxtAx 的满 足初始条件 0)( 0 t 的解；向量函数 )(t = _ 是 )()( ' tfxtAx 的满足初始条件 )( 0 t 的解。 8若矩阵A具有 n 个线性无关的特征向量 n vvv, 21 ，它们对应的特征值分别为 n , 21 ，那么矩阵 )(t = _ 是常系数线性方程组 Axx ' 的一个基解矩阵。 9满足 _ 的点 ),( * yx ，称为驻定方程组。 二计算题（60 分） 10求方程 0) 1(24 322 dyyxdxyx 的通解。 11求方程 0xe dx dy dx dy 的通解。 12 求初值问题 0)1( 22 y yx dx dy 1, 11:yxR 的解的存在区间， 并求第二次近似解， 给出在解的存在区间的误差估计。 13求方程 ttxx3sin9 ' ' 的通解。 14试求方程组 )( ' tfAxx 的解 ).(t 1 )(, 34 21 , 1 1 )0( t e tfA 15试求线性方程组 52,1972yx dt dy yx dt dx 的奇点， 并判断奇点的类型及稳定 性。 三证明题（10 分） 16如果 )(t 是 Axx ' 满足初始条件 )( 0 t 的解， 那么 )(ex p)( 0 ttAt 常微分方程期终考试试卷(6) 三 填空题（共 30 分， 9 小题， 10 个空格，每格3 分） 。 1、 当_时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全 精品资料欢迎下载 微分方程。 2、_称为齐次方程。 3、求 dx dy =f(x,y)满足 00) (yx 的解等价于求积分方程_的连续解。 4、若函数 f(x,y)在区域 G内连续， 且关于 y 满足利普希兹条件，则方程 ),(yxf dx dy 的解 y= ),( 00 yxx 作为 00, ,yxx 的函数在它的存在范围内是_。 5、若 )(),.(),( 321 txtxtx 为 n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是 _ 。 6、方程组 xtAx)( / 的 _称之为 xtAx)( / 的一个基本解组。 7、若 )(t 是常系数线性方程组 Axx / 的基解矩阵，则expAt =_ 。 8、满足 _的点（ * , yx ） ，称为方程组的奇点。 9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部_时，零解是稳定 的，对应的奇点称为_。 二、计算题（共6 小题，每题10 分） 。 1、求解方程： dx dy = 3 1 2 yx yx 2、 2、解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0 3、讨论方程 2 3 dx dy 3 1 y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0， 0）的一切解 4、求解常系数线性方程： texxx t cos32 / 5、试求方程组 Axx / 的一个基解矩阵，并计算 34 21 ,为其中Ae At 6、试讨论方程组 cy dt dy byax dt dx , （1）的奇点类型，其中a,b,c为常数，且 ac0。 三、证明题（共一题，满分10 分） 。 试证：如果 Axxt / ）是（ 满足初始条件 )( 0 t 的解，那么 )(t )( 0 ttA e 常微分方程期终试卷(7) 一、选择题 1n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个 （A）n（B） n -1 （C）n+1 （D）n+2 2李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件 （A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分 精品资料欢迎下载 3. 方程 2 1 d d y x y 过点 )1, 2 ( 共有（）个解 （ A）一（B）无数（C）两（D）三 4方程 xxy x y d d （）奇解 （A）有一个（B）有两个（ C）无（D）有无数个 5方程 y x y d d 的奇解是（） （A） xy （B） 1y （C） 1y （D） 0y 二、计算题 1.x ' y = 22 yx +y 2.tgydx-ctydy=0 3. 0dd)2(yxxyx 4. 1 d d x y x y 5. 0d)ln(d 3 yxyx x y 三、求下列方程的通解或通积分 1. )1( d d2 yx x y y 2. 2 )( d d x y x y x y 3. x y x y 2 e3 d d 四证明 1. 设 )( 1 xy ， )( 2 xy 是方程 0)()(yxqyxpy 的解，且满足 )( 01 xy = )( 02 xy =0， 0)( 1 xy ，这里 )(),(xqxp 在 ),( 上连续， ),( 0 x 试证明：存在常数C使得 )(2xy =C )(1xy 2在方程 0)()(yxqyxpy 中，已知 )(xp ， )(xq 在 ),( 上连续求证：该 方程的任一非零解在 xoy平面上不能与 x 轴相切 常微分方程期终试卷(8) 一、填空（每空3 分） 1、称为一阶线性方程， 它有积分因子， 其通解为。 2、函数 ),(yxf 称为在矩形域R上关于 y 满足利普希兹条件，如果 精品资料欢迎下载 。 3、若 )(,),(),( 21 txtxtx n 为n阶齐线性方程的 n个解，则它们线性无关的充要条件 是。 4、形如的方程称为欧拉方程。 5、 若 )(t 和 )(t 都是 xtAx)(' 的基解矩阵， 则 )(t 和 )(t 具有的关系：。 6、 若 向 量 函 数 );(ytg 在 域R上， 则 方 程 组 0000 ),;(),;(yyttytg dt dy 的解存在且惟一。 7、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部，零解是稳定的， 对应的奇点称为。 二、求下列方程的解 1、 0)4()3( 2 dyxydxxy （6 分） 2、 dxyxxdyydx)( 22 （8 分） 3、 22 ) '2() 1'(yyy （8 分） 4、 xy e x y dx dy （8 分） 5、 t exxx 2 5'6' ' （6 分） 6、 t xx 3 sin 1 ' ' （8 分） 7、'2 1 ' ' x x （8 分） 三、求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性（8 分） 52,1972yx dt dy yx dt dx 常微分期中测试卷(2) 一 . 解下列方程 (10%*8=80%) 1.1. x ' y = 22 yx +y 2. 2. tgydx-ctydy=0 3.3. y-x( 2 x + 2 y )dx-xdy=0 4.4. 2xylnydx+ 2 x + 2 y 2 1y dy=0 5. dx dy =6x y -x 2 y 精品资料欢迎下载 6. ' y =2 2 ) 1 2 ( yx y 7. 已知 f(x) x dttf 0 )( =1,x0, 试求函数f(x) 的一般表达式。 8 一质量为 m质点作直线运动， 从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比 （比例系数为 1 k ） 的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为 2 k ） 。试求此质点的速度与时间的关系。 二 证明题 (10%*2=20%) 1. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。 2 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果 M 、 N试同齐次函数， 且 xM+yN0, 则 )( 1 yNxM 是该方程的一个积分因子。 2 ()() () yyy xMyNM xNy xMyN NMM 2 ()() () xxx xMyNN xMy xMyN NNM 常 常微分方程期终试卷(9) 一、填空题（每小题5 分，本题共30 分） 1方程 x xy x y esin d d 的任一解的最大存在区间必定是 2方程 04yy 的基本解组是 3向量函数组 )(,),(),( 21 xxx n YYY 在区间I 上线性相关的_条件是在 区间 I 上它们的朗斯基行列式 0)(xW 4李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的条件 5n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间 6 向量函数组 )(,),(),( 21 xxx n YYY 在其定义区间I上线性相关的条件是它们 的朗斯基行列式 0)(xW ， Ix 二、计算题（每小题8 分，本题共40 分） 求下列方程的通解 7. x y x y2 e3 d d 8. 0)d(d)( 3223 yyyxxxyx 9 0exy y 精品资料欢迎下载 10求方程 xyy5sin5 的通解 11求下列方程组的通解 yx t y yx t x 4 d d d d 三、证明题（每小题15 分，本题共30 分） 12设 )( 1 xy 和 )( 2 xy 是方程 0)(yxqy 的任意两个解，求证：它们的朗斯基 行列式 CxW)( ，其中 C为常数 13设 )(x 在区间 ),( 上连续试证明方程 yx x y sin)( d d 的所有解的存在区间必为 ),( 常 常微分方程期终试卷(10) 一、填空（ 30 分） 1、 )( x y g dx dy 称为齐次方程， )()()( 2 xRyxQyxP dx dy 称为黎卡提方程。 2、如果 ),(yxf 在R上连续且关于 y 满足利普希兹条件，则方程 ),(yxf dx dy 存在唯一的 解 )(xy ， 定 义 于 区 间 hxx 0 上 ， 连 续 且 满 足 初 始 条 件 00) (yx ， 其 中 ),m in ( M b ah ， ),(max ),( yxfM Ryx 。 3、若 )(txi i ( 1，2， )n 是齐线性方程的 n 个解， )(tw 为其伏朗斯基行列式，则 )(tw 满足一阶线性方程 0)()()( 1 ' twtatw 。 4、对逼卡逼近序列， k k kk xx k ML xx)( ! )()( 0 1 1 。 5、若 )(t 和 )(t 都是 xtAx)( ' 的基解矩阵，则 )(t 和 )(t 具有关系 Ctt)()( 。 6、 方程 0),(),(dyyxNdxyxM 有只含 x 的积分因子的充要条件是 )(x N x N y M 。 有只含 y 的积分因子的充要条件是 )( y M x N y M 。 7、方程2 1 2 y dx dy 经过 )0,0( 点的解在存在区间是 ),( 。 二、计算（ 60 分） 精品资料欢迎下载 1、 求解方程 0)( 42 dxyxyxdy 。 解：所给微分方程可写成 0)( 42 dxyxydxxdy 即有 0)( 42 dxyxxyd 上式两边同除以 4 )(xy ，得 0 1 )( )( 24 dx xxy xyd 由此可得方程的通解为 1 3 1 )(3 1 c xxy 即 3332 31ycxyx)3( 1 cc 2、 求解方程 32 2ppy 解：所给方程是关于 y 可解的，两边对 x 求导，有 dx dp ppp)62( 2 （1）当 0p 时，由所给微分方程得 0y ； （2）当 dppdx)62( 时，得 cppx 2 32 。 因此，所给微分方程的通解为 cppx 2 32 ， 32 2ppy （ p 为参数） 而 0y 是奇解。 3、 求解方程 144 2'' 'tt eexxx 解：特征方程 044 2 ， 2 2, 1 ， 故有基本解组 t e 2 ， t te 2 ， 对于方程 t exxx44 '' ' ，因为1不是特征根，故有形如 t Aetx)( 1 的特解， 将其代入 t exxx 2'' ' 44 ，得 t eAe t 2 2 2 ，解之得 2 1 A ， 对于方程 144 '' ' xxx ，因为0不是特征根，故有形如 Atx)( 3 的特解， 将其代入 144 '' ' xxx ，得4 1 A ，所以原方程的通解为 4 1 2 1 )()( 22 21 2ttt etetccetx 4、 试求方程组 Axx ' 的一个基解矩阵，并计算 Atexp ，其中 21 12 A 解： 0)det()(AEp ， 3 1 ， 3 2 ，均为单根， 设 1对应的特征向量为1 v ，则由 0)( 11 vAE ，得 )32( 1 v , 0 取 32 1 1 v ，同理可得 1对应的特征向量为 32 1 2 v ， 精品资料欢迎下载 则 1 3 1 )(vet t ， 2 3 2 )(vet t ，均为方程组的解，令 )(),()( 21 ttt ， 又 03 3232 11 )0(det)0(w ， 所以 )(t 即为所求基解矩阵 tt tt re ee 33 33 )32()32( 。 5、 求解方程组 5 1 yx dt dy yx dt dx 的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。 解：令 05 01 yx yx ，得 3 2 y x ，即奇点为（ 2，-3 ） 令 3 2 yY xX ，代入原方程组得 YX dt dY YX dt dX ， 因为 02 11 11 ，又由 02 11 11 2 ， 解得 2 1 ， 2 2 为两个相异的实根， 所以奇点为不稳定鞍点，零解不稳定。 6、 求方程 2 yx dx dy 经过（ 0，0）的第二次近似解。 解： 0)( 0 x ， 2 0 1 2 1 )0 ,(0)(xdxxfx x ， 52 0 2 2 20 1 2 1 ) 2 1 ,(0)(xxdxxxfx x 。 三、证明（ 10 分） 假设 m不是矩阵 A的特征值，试证非齐线性方程组 mt ceAxx ' 有一解形如 mt pet)( 其中 c，p是常数向量。 证：设方程有形如 mt pet)( 的解，则 p 是可以确定出来的。 事实上，将 mt pe 代入方程得 mtmtmt ceApempe ， 因为 0 mt e ，所以 cApemp ， cPAmE)( （1） 又m不是矩阵A的特征值， 0)det(AmE 精品资料欢迎下载 所以 1 )(AmE 存在，于是由（1）得 cAmEp 1 )( 存在。 故方程有一解 mtmt peceAmEt 1 )()( 常微分方程期终试卷(11) 一填空 1称为一阶线性方程，它有积分因子， 其通解为。 2称为黎卡提方程，若它有一个特解 y(x),则 经过变换，可化为伯努利方程。 3若（ x）为毕卡逼近序列 )(x n 的极限，则有（x） )(x n 。 4若 )(txi （i=1,2,n）是齐线形方程的n 个解， w(t) 为其伏朗斯基行列式，则w(t) 满足一阶线性方程。 5若 )(txi （i=1,2, ,n）是齐线形方程的一个基本解组，x(t) 为非齐线形方程的一个特 解，则非齐线形方程的所有解可表为。 6如果 A(t) 是 n×n 矩阵， f(t)是 n 维列向量，则它们在 atb 上满足 时，方程组x = A(t) x+ f(t)满足初始条件x（t 0）= 的解在 atb上存在唯一。 7若（ t）和（t ）都是 x= A(t) x的 基解矩阵，则（t）与（t ）具有关系： 。 8 若（t ） 是常系数线性方程组xAx的 基解矩阵 , 则该方程满足初始条件 0 ()t 的解 ( ) t =_ 9. 满足 _ 的点（ * ,xy ） ，称为方程组的奇点。 10当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部_ 时，零解是稳定的，对应的奇点称为 _ 。 二计算题（ 60 分） 1 3 ()0ydxxydy 2 32 ()480 dydy xyy dxdx 3求方程 2 dy xy dx 经过（ 0，0）的第三次近似解 4sincos2xxtt 5若 21 14 A 试求方程组xAx的解 1 2 ( ),(0)t 并求 expAt 精品资料欢迎下载 6. 求 1,5 dxdy xyxy dtdt的奇点 , 并判断奇点的类型及稳定性. 三. 证明题 (10 分 ) 设 ( , )f x y 及 f y 连续 , 试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x 的积分因子 . 常微分方程期终测试卷(12) 一、填空题（30% ） 1若y=y1(x) ，y=y2(x) 是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通 解表示为 2方程 22 d d yx x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 3 ),(yxfy 连续是保证方程 ),( d d yxf x y 初值唯一的条件 一条积分曲线 . 4. 线性齐次微分方程组 YA Y )( d d x x的一个基本解组的个数不能多于 个，其中Rx， n RY 5二阶线性齐次微分方程的两个解 )( 1 xy , )( 2 xy 成为其基本解组的充要条件 是 6方程 yx x y cossin d d 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 7方程 yx x y tan d d 2 的所有常数解是 8方程 0dcosdsinyxyxyx 所有常数解是 9线性齐次微分方程组的解组 )(,),(),( 21 xxx n YYY 为基本解组的条 件是它们的朗斯基行列式 0)(xW 精品资料欢迎下载 10 n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个 二、计算题（ 40% ） 求下列方程的通解或通积分： 1. x y x y x y tan d d 2 yyxy x y sinsincoscos d d 2 3 0)d1(d)cos2( 2 yxxxxy 4 yx t y y t x 2 d d d d 5 yx t y yx t x 32 d d d d 三、证明题（30% ） 1试证明：对任意 0 x 及满足条件 10 0 y 的 0 y ，方程 22 1 )1( d d yx yy x y 的满足条件 00) (yxy 的解 )(xyy 在 ),( 上存在 2设 )(xf 在 ),0 上连续，且 0)(limxf x ，求证：方程 )( d d xfy x y 的任意 解 )(xyy 均有 0)(limxy x 3 设方程 )( d d2 yfx x y 中， )( yf 在 ),( 上连续可微， 且 0)(yyf ， )0(y 求 证：该方程的任一满足初值条件 00) (yxy 的解 )(xy 必在区间 ), 0 x 上存在 精品资料欢迎下载 常微分方程期终试卷(13) 一、填空题（ 30 分） 1、方 程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有 只 含x的 积 分 因 子 的 充 要 条 件 是 （ )(xN x N y M ）， 有 只 含y的 积 分 因 子 的 充 要 条 件 是 （ )(yM x N y M ） 。 2、求dx dy =f(x,y)满足 00) (yx 的解等价于求积分方程（y=y 0 + x x dxyxf 0 ),( ） 。 3、方程 22 yx dx dy 定义在矩形域R:-2 22,2yx 上，则经过点（0，0）的 即位存在区间是（4 1 4 1 x ） 。 4、若 X i (t)(I=1,2,n) 是齐线性方程的 n 个解， W(t) 为伏朗斯基行列式，则W(t) 满足一阶线性方程（ W (t)+a 1(t)W(t)=0 ） 。 5、若 X1(t), X 2(t) , Xn(t) 为 n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要 条件是（ WX1(t), X 2(t) , Xn(t)0） 。 6、在用皮卡逐步逼近法求方程组'X=A（ t ） X+f(x),X(t 0 )=的近似解时，则 dssfssAt t t kk )()()()( 0 1 ） 。 7、当方程的特征根为两个共扼虚根时，则当其实部（为零）时，零解是稳定的，对应 的奇点称为（稳定中心）。 8、满足（ X(x,y)=0,Y(x,y)=0）的点（ x * , y ）, 称为方程组的奇点。 9、若 )()(tt 和 都 是'X=A(t)X的 基 解 矩 阵 ， 则 )()(tt 和 具 有 关 系 ： （ 为非奇异矩阵）CCtt()()( ） 。 10、 形如（ x n n n dx yd +a1x 1 1 1 n n n dx yd + )0yan 的方程称为欧拉方程。 二、计算题 求下列方程的通解（） 、 （ xy+ 3 222 )()0 3 y x ydxxydy 精品资料欢迎下载 解：因为 22 2,2 MN xxyx yx 又因为 MN N yx 所以方程有积分因子：u(x)= x e 方程两边同乘以 x e得： x e 2 (2xyx y 3 22 )()0 3 xy dxexydy 3 222 (2)0 3 xxxx y exyx y dxe x dyedxe y dy 也即方程的解为 3 2 3 xxy e x yec 、 33 30() dy xyxyy dx 解：令， dy yptx dx ，则 3332 30xt xtx即 3 3 1 t x t 从而 2 3 3 1 t ptx t 又 2 33 33 () () 11 tt ydtc tt 3 3 2 3 14 2 (1) t c t 故原方程的通解为 3 3 3 2 3 1 3 14 2 (1) t x t t yc t t 为参数 、求方程 2dy xy dx经过（，）的第三次近似解 解： 00 0y 精品资料欢迎下载 2 1 0 2 x x x d x 425 2 0 () 4220 x xxx xdx 41 07 3 0 () 440020 x xxx xdx 25118 2204400160 xxxx 、求 2 2 2321 d xdx xt dtdt 的通解 解：齐线性方程 2 2 230 d xdx x dtdt 的特征方程为 2 230 故齐线性方程的一个基本解组为 3t e ， t e， 因为0不是特征方程的特征根 所以原方有形如 ( )x t 01 B tB 的特解 将 ( )x t 01 B tB 代入原方程，比较t 的同次幂系数得： 001 3(23)21B tBBt 故有 0 01 32 231 B BB 解之得： 0 3 2 B ， 1 1 9 B 所以原方程的解为： 3 12 31 ( )() 29 tt x tc ec et 、试求： 211 121 112 的基解矩阵 解：记 A= 211 121 112 , 又 ( )det()(1)(2)(3)0pEA 得 1 1， 23 2,3 均为单根 设1对应的特征向量为1 v ，则由 11 ()0EA V 得 精品资料欢迎下载 1 0 ,0v 取 1 0 1 1 v 同理可得 23 , 对应的特征向量为： 23 11 1 ,0 11 vv 则 23 112233 ( ),( ),( ) ttt te vte vte v 均为方程组的解 令 123 ( )( ),( ),( )tttt 又 011 (0)det(0)1100 111 w 所以 123 ( )( ),( ),( )tttt 即为所求。 、试求 2 2 320 d xdx x dtdt 的奇点类型及稳定性 解：令 dx y dt，则： 32 dy yx dt 因为 01 0 23 ，又由 1 0 23 得 2 320解之得12 1,2 为两相异实根，且均为负 故奇点为稳定结点，对应的零解是渐近稳定的。 7. 一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比 例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系 数为k2） 。试求此质点的速度与时间的关系。 解：由物理知识得： )F(为质点受到的合外力为质点的加速度，其中 合 合 a m F a 根据题意： vktkF 21合 故： )0( 221 kvktk dt dv m 即： (*)( 12 t m k v m k dt dv (*) 式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有 )( 22 1 cdtet m k eV dt m k dt m k 精品资料欢迎下载 )( 222 2 2 1 2 1 ce k mk et k k e t m k t m k t m k 又当t=0 时，V=0，故c= 2 2 1 k mk 因此，此质点的速度与时间的关系为： )( 22 1 2 2 1 2 k m t k k e k mk V t m k