最新圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析.pdf
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1、精品文档 精品文档 圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析 圆锥曲线中的三角形问题(特别是与焦半径相关的三角形问题)是解析几何中的一个综合 性较强的重点内容。下举例谈谈圆锥曲线焦点三角形问题常见类型。 一、定值问题 例1. 椭 圆 x a y b ab 2 2 2 2 10() 上一 点P ,两 个 焦 点 )0 ,()0,( 21 cFcF, 12 F PF的内切圆记为M,求证:点P 到M的切 线长为定值。 证明: 设M与PF1F2的切点为 A、B、C,如图 1,因M是PF1F2的内切 圆,所以 |F1A|=|F1C|、|F2C|=|F2B| ,|PA|=|PB| ; |F1C|F2C|=2c,
2、 |F1A| |F2B|=2c ,由椭圆第一定义知 |PF1| |PF2|=2a , |PA| |F1A| |PB| |F2B|=2a, 2|PA|=2a 2c 即 |PA|=a c 为定值证毕 点评: 圆锥曲线定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础, 而且也是解题的重要工具. 对于有些解析几何问题, 若从圆锥曲线的定义上去思考,往往会收到避繁就简, 捷足先登的解题 效果。 二、动点轨迹问题 例 2、 已知椭圆 x a y b ab 2 2 2 2 10()上一动点 P, 两个焦点)0,()0,( 21 cFcF, 12 F PF 的内切圆记为 M ,试求圆心M的轨迹方程。 解析:如图 1,设
3、 PF1F2=、PF2F1=,M(x,y) 则在 PF1F2中由正弦定理及椭圆的定 义有 | sin | sin | sin() PFPFF F 1212 180 ,由等比定理有即 1212 |22 sinsinsin()sinsinsin() PFPFF Fac ,又由合分比定理知 tantan 22 ac ac 。由斜率公式知: 12 ,(0), MFMF yy kky xcxc 由前述不难看出,不 论P位于椭圆上(异于长轴两端点)何处,总有 12 tantan,(0). 22 MFMF yyac kky xc xcac 整理得 (a c)x 2(a c)y2=(ac)c2(y 0)证毕
4、点评: 由上获得的方程不难看出,PF1F2的内切圆圆心M始终在包含于原椭圆内的一小椭 圆上移动如果PF F 12 中出现两个角,可以考虑应用正弦定理。同时从解题过程,不难得到 一 个 重 要 的 结 论 :已 知 椭 圆 x a y b ab 2 2 2 2 10()上 一 点P 及 两 焦 点FF 12 、, 若 PF F 12 ,PF F 21 ,则椭圆的离心率为 sin() sinsin 。 三、方程问题 例 3.如图 2,已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,FF 12 、 精品文档 精品文档 分别为左、右焦点,双曲线的右支上有一点P,F PF 12 3 ,且PF F 12 的面
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