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精品文档 精品文档 圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析 圆锥曲线中的三角形问题（特别是与焦半径相关的三角形问题）是解析几何中的一个综合 性较强的重点内容。下举例谈谈圆锥曲线焦点三角形问题常见类型。 一、定值问题 例1. 椭 圆 x a y b ab 2 2 2 2 10() 上一 点P ，两 个 焦 点 )0 ,()0,( 21 cFcF， 12 F PF的内切圆记为M，求证：点P 到M的切 线长为定值。 证明： 设M与PF1F2的切点为 A、B、C，如图 1，因M是PF1F2的内切 圆，所以 |F1A|=|F1C|、|F2C|=|F2B| ，|PA|=|PB| ； |F1C|F2C|=2c， |F1A| |F2B|=2c ，由椭圆第一定义知 |PF1| |PF2|=2a ， |PA| |F1A| |PB| |F2B|=2a， 2|PA|=2a 2c 即 |PA|=a c 为定值证毕 点评： 圆锥曲线定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础, 而且也是解题的重要工具. 对于有些解析几何问题, 若从圆锥曲线的定义上去思考，往往会收到避繁就简, 捷足先登的解题 效果。 二、动点轨迹问题 例 2、 已知椭圆 x a y b ab 2 2 2 2 10()上一动点 P， 两个焦点)0,()0,( 21 cFcF， 12 F PF 的内切圆记为 M ，试求圆心M的轨迹方程。 解析：如图 1，设 PF1F2=、PF2F1=，M(x，y) 则在 PF1F2中由正弦定理及椭圆的定 义有 | sin | sin | sin() PFPFF F 1212 180° ，由等比定理有即 1212 |22 sinsinsin()sinsinsin() PFPFF Fac ，又由合分比定理知 tantan 22 ac ac 。由斜率公式知： 12 ,(0), MFMF yy kky xcxc 由前述不难看出，不 论P位于椭圆上（异于长轴两端点）何处，总有 12 tantan,(0). 22 MFMF yyac kky xc xcac 整理得 (a c)x 2(a c)y2=(ac)c2(y 0)证毕 点评： 由上获得的方程不难看出，PF1F2的内切圆圆心M始终在包含于原椭圆内的一小椭 圆上移动如果PF F 12 中出现两个角，可以考虑应用正弦定理。同时从解题过程，不难得到 一 个 重 要 的 结 论 ：已 知 椭 圆 x a y b ab 2 2 2 2 10()上 一 点P 及 两 焦 点FF 12 、， 若 PF F 12 ，PF F 21 ，则椭圆的离心率为 sin() sinsin 。 三、方程问题 例 3.如图 2，已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，FF 12 、 精品文档 精品文档 分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P，F PF 12 3 ，且PF F 12 的面积为2 3， 双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程。 解 析 ： 设 双 曲 线 的 方 程 为 x a y b ab 2 2 2 2 100()，FcFc 12 00()()， P xy() 00 ，。在PF1F2中，由余弦定理，得 |cosF FPFPFPFPF 12 2 1 2 2 2 122 3 ·· (| |)|PFPFPFPF 12 2 12 ·，即 44 22 12 caPFPF|· ， 又 因 为 S PF F 12 2 3 ， 所 以 1 23 23 12 |s i nPFPF· ， 所 以 |PFPF 12 8·，所以448 22 ca即b 2 2，又因为 e c a 2，所以 a 2 2 3 。故所求双 曲线方程为 3 22 1 22 xy 。 点评： 如果在PF F 12中仅知一个角，我们经常要联想到余弦定理解决问题。 四、最值 . 范围问题 例 4、 已知曲线C的方程为 xy 22 43 1，A（ 1，0） ，B（1，0） ，过点 B的直线 l与曲线 C交于 M ，N两点，若 MAN 为钝角，求直线l的倾斜角为的取值范围。 解 ：（ 1 ） 若l x轴 ， 则l的 方 程 为xMN11 3 2 1 3 2 ()()， °MAN2 3 4 90arctan（不合题意） 。 （ 2）若l与 x 轴重合，则 MAN （不合题意） 。 （3）若l与 x 轴、 y 轴不垂直，设lyk xk：()()10，代入曲线C的方程得： 22 2222 11221212 22 8412 (34)84120()() 3434 kk kxk xkM xyN xyxxx x kk 设， 所以 AMAN· 2 12121212 (1)(1)(1)(1)(1)(1)xxy yxxkxx 222 1212 (1)(1)()1kx xkxxk 79 34 2 2 k k 因 为 MAN 为 钝 角 ， 所 以AMAN ·0所 以7900 9 7 22 kk，所以， 所 以 3 7 7 00 3 7 7 kk或。所以倾斜角的范围是： (arctan)(arctan)0 3 7 3 3 7 7 ， 点评 ：有关三角形角的大小问题可用向量形式转化求解。如在F PF 12 中， F1PF2为锐角 cos·F PFPFPF 1212 00；F1PF 2为直角 cos·F PFPFPF 1212 00；F1PF 2 精品文档 精品文档 为钝角cos·F PFPFPF 1212 00。 五、开放性问题 例 5、已知 12 FF，为双曲线 22 22 1(00)ab xy ab ab 且，的两个焦点，P为双曲线右 支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点下面四个命题： 12 PF F的内切圆的圆心必在直 线xa上； 12 PF F的内切圆的圆心必在直线xb上； 12 PF F的内切圆的圆心必在直 线OP上； 12 PF F的内切圆必通过点0a，其中真命题的代号是（写出所有真命 题的代号） 解析：设 12 PF F的内切圆分别与PF1、 PF2切于点 A、B，与 F1F2切于点 M ，则 |PA| |PB| ， |F1A|F1M|，|F2B| |F2M|，又点 P在双曲线右支上，所以|PF1| |PF2| 2a，故 |F1M|F2M| 2a，而 |F1M| |F2M|2c，设 M点坐标为（ x，0） ，则由 |F1M| |F2M|2a可得（xc）（c x）2a解得xa，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x 轴，故、正确。 点评： 本题主要圆锥曲线焦点三角形内切圆问题。其中利用圆锥曲线定义和平面几何性质 是问题求解的关键。
