高中数学第一讲一2基本不等式同步配套教学案新人教A版选修93.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2基本不等式 对应学生用书P4 1基本不等式的理解 重要不等式a 2 b22ab和基本不等式 ab 2 ab,成立的条件是不同的前者成立的 条件是a与b都为实数,并且a与b都为实数是不等式成立的充要条件;而后者成立的条 件是a与b都为正实数,并且a与b都为正实数是不等式成立的充分不必要条件,如a0, b0 仍然能使 ab 2 ab成立 两个不等式中等号成立的充要条件都是ab. 2由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式 (1)a 2b2 ab 2 2 ; (2)ab a 2 b2 2 ; (3)ab(a b 2 )2; (4)( ab 2 )2 a2
2、b2 2 ; (5)(ab)24ab. 对应学生用书P5 利用基本不等式证明不等式 例 1 已知a,b,cR,且abc1. 求证: 1 a 1 b 1 c9. 思路点拨 解答本题可先利用1 进行代换,再用基本不等式来证明 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 证明 法一:a,b,cR,且abc1, 1 a 1 b 1 c abc a abc b abc c 3 b a c a a b c b a c b c 3 b a a b c a a c c b b c 32229.当且仅当abc时,等号成立 即 1 a 1 b 1 c9. 法二:a,b,cR,且abc1, 1 a 1 b 1 c(a
3、 bc)( 1 a 1 b 1 c) 1 b a c a a b 1 c b a c b c1 3 b a a b c a a c c b b c 32229.当且仅当abc时,等号成立 1 a 1 b 1 c9. 用基本不等式证明不等式时,应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使 之具备基本不等式的结构和条件,然后合理地选择基本不等式进行证明 1已知a,b,c,d都是正数,求证:(abcd)(acbd)4abcd. 证明:因为a,b,c,d都是正数, 所以 abcd 2 abcd0, acbd 2 acbd0, 所以 abcdacbd 4 abcd, 即(abcd)(acbd)4a
4、bcd. 当且仅当abcd,acbd,即ad,bc时,等号成立 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2已知a,b,c0,求证: a 2 b b2 c c2 a abc. 证明:a,b,c,a 2 b, b2 c ,c 2 a均大于 0, 又 a 2 b b2 a 2 b b2a, b2 c c2 b2 c c2b. c2 a a2 c2 a a2c. (a 2 b b)(b 2 c c)(c 2 a a) 2(abc) 即 a 2 b b2 c c2 a abc. 当且仅当 a2 b b, b2 c c, c2 a a, 即abc时取等号 . 利用基本不等式求最值 例 2 (1)求当x0
5、 时,f(x) 2x x21的值域; (2)设 00,y0,且 1 x 9 y1,求 xy的最小值 思路点拨 根据题设条件,合理变形,创造能用基本不等式的条件,求最值 解 (1)x0,f(x) 2x x21 2 x 1 x . x 1 x2, 00. y4x(32x)22x(32x) 2 2x32x 2 29 2. 当且仅当 2x32x,即x 3 4 时,等号成立 y4x(32x)的最大值为 9 2. (3)x0,y0, 1 x 9 y1, xy 1 x 9 y (xy) y x 9x y 1061016. 当且仅当 y x 9x y ,又 1 x 9 y1, 即x4,y12 时,上式取等号
6、故当x4,y12 时, 有(xy)min16. 在应用基本不等式求最值时,分以下三步进行: (1)首先看式子能否出现和(或积 )的定值,若不具备,需对式子变形,凑出需要的定值; (2)其次,看所用的两项是否同正,若不满足,通过分类解决,同负时,可提取( 1)变 为同正; (3)利用已知条件对取等号的情况进行验证若满足,则可取最值,若不满足,则可通 过函数单调性或导数解决 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3已知x 0,则 2x 8 x的最小值和取得最小值时的 x值分别是 ( ) A 8,2 B8,4 C16,2 D16,4 解析: 2x 8 x2 2x 8 x8,当且仅当 2x 8 x
7、,即 x2 时,取“”号,故选A. 答案: A 4设x,yR,且满足x4y40,则 lgxlgy的最大值是 ( ) A 40 B10 C4 D2 解析:x,yR,4xy x 4y 2 . xy x 4y 4 10.xy100. lg xlg ylg(xy)lg 100 2. 答案: D 5(浙江高考 )若正数x,y满足x3y5xy,则 3x4y的最小值是 ( ) A. 24 5 B 28 5 C5 D6 解析:x3y5xy, 1 y 3 x5, x0,y0, (3x4y) 1 y 3 x 3x y 12y x 942 3x y 12y x 1325, 5(3x4y) 25, 3x4y5,当且仅
8、当x2y时取等号 3x4y的最小值是5. 答案: C 利用基本不等式解决实际问题 例 3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2014 年巴西世界杯期间 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间 满足 3x与t1 成反比例的关系,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1 万件,已 知 2014年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3 万元,每生产1 万件化妆品需要投 入 32 万元的生产费用, 若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的 一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完 (
9、1)将 2014年的利润y(万元 )表示为促销费t(万元 )的函数 (2)该企业 2014年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大? 思路点拨 (1)两个基本关系式是解答关键,即利润销售收入生产成本促销费; 生产成本固定费用生产费用; (2)表示出题中的所有已知量和未知量,利用它们之间的关系式列出函数表达式 解 (1)由题意可设 3x k t1, 将t0,x1 代入,得k2. x3 2 t1. 当年生产x万件时, 年生产成本年生产费用固定费用, 年生产成本为32x 332 3 2 t1 3. 当销售x万件时, 年销售收入为150% 32 3 2 t 1 3 1 2t . 由题意,生产x万件化
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