高中数学第一讲一2基本不等式同步配套教学案新人教A版选修93.pdf

积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2基本不等式 对应学生用书P4 1基本不等式的理解 重要不等式a 2 b22ab和基本不等式 ab 2 ab，成立的条件是不同的前者成立的 条件是a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的充要条件；而后者成立的条 件是a与b都为正实数，并且a与b都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a0， b0 仍然能使 ab 2 ab成立 两个不等式中等号成立的充要条件都是ab. 2由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式 (1)a 2b2 ab 2 2 ； (2)ab a 2 b2 2 ； (3)ab(a b 2 )2； (4)( ab 2 )2 a2b2 2 ； (5)(ab)24ab. 对应学生用书P5 利用基本不等式证明不等式 例 1 已知a，b，cR，且abc1. 求证： 1 a 1 b 1 c9. 思路点拨 解答本题可先利用1 进行代换，再用基本不等式来证明 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 证明 法一：a，b，cR，且abc1， 1 a 1 b 1 c abc a abc b abc c 3 b a c a a b c b a c b c 3 b a a b c a a c c b b c 32229.当且仅当abc时，等号成立 即 1 a 1 b 1 c9. 法二：a，b，cR，且abc1， 1 a 1 b 1 c(a bc)( 1 a 1 b 1 c) 1 b a c a a b 1 c b a c b c1 3 b a a b c a a c c b b c 32229.当且仅当abc时，等号成立 1 a 1 b 1 c9. 用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使 之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明 1已知a，b，c，d都是正数，求证：(abcd)(acbd)4abcd. 证明：因为a，b，c，d都是正数， 所以 abcd 2 ab·cd0， acbd 2 ac·bd0， 所以 abcdacbd 4 abcd， 即(abcd)(acbd)4abcd. 当且仅当abcd，acbd，即ad，bc时，等号成立 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2已知a，b，c0，求证： a 2 b b2 c c2 a abc. 证明：a，b，c，a 2 b， b2 c ，c 2 a均大于 0， 又 a 2 b b2 a 2 b· b2a， b2 c c2 b2 c ·c2b. c2 a a2 c2 a· a2c. (a 2 b b)(b 2 c c)(c 2 a a) 2(abc) 即 a 2 b b2 c c2 a abc. 当且仅当 a2 b b， b2 c c， c2 a a， 即abc时取等号 . 利用基本不等式求最值 例 2 (1)求当x0 时，f(x) 2x x21的值域； (2)设 00，y0，且 1 x 9 y1，求 xy的最小值 思路点拨 根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件，求最值 解 (1)x0，f(x) 2x x21 2 x 1 x . x 1 x2， 00. y4x(32x)22x(32x) 2 2x32x 2 29 2. 当且仅当 2x32x，即x 3 4 时，等号成立 y4x(32x)的最大值为 9 2. (3)x0，y0， 1 x 9 y1， xy 1 x 9 y (xy) y x 9x y 1061016. 当且仅当 y x 9x y ，又 1 x 9 y1， 即x4，y12 时，上式取等号 故当x4，y12 时， 有(xy)min16. 在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行： (1)首先看式子能否出现和(或积 )的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值； (2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取( 1)变 为同正； (3)利用已知条件对取等号的情况进行验证若满足，则可取最值，若不满足，则可通 过函数单调性或导数解决 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3已知x 0，则 2x 8 x的最小值和取得最小值时的 x值分别是 ( ) A 8,2 B8,4 C16,2 D16,4 解析： 2x 8 x2 2x· 8 x8，当且仅当 2x 8 x，即 x2 时，取“”号，故选A. 答案： A 4设x，yR，且满足x4y40，则 lgxlgy的最大值是 ( ) A 40 B10 C4 D2 解析：x，yR，4xy x 4y 2 . xy x 4y 4 10.xy100. lg xlg ylg(xy)lg 100 2. 答案： D 5(浙江高考 )若正数x，y满足x3y5xy，则 3x4y的最小值是 ( ) A. 24 5 B 28 5 C5 D6 解析：x3y5xy， 1 y 3 x5， x0，y0， (3x4y) 1 y 3 x 3x y 12y x 942 3x y · 12y x 1325， 5(3x4y) 25， 3x4y5，当且仅当x2y时取等号 3x4y的最小值是5. 答案： C 利用基本不等式解决实际问题 例 3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2014 年巴西世界杯期间 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间 满足 3x与t1 成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1 万件，已 知 2014年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3 万元，每生产1 万件化妆品需要投 入 32 万元的生产费用， 若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的 一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完 (1)将 2014年的利润y(万元 )表示为促销费t(万元 )的函数 (2)该企业 2014年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ 思路点拨 (1)两个基本关系式是解答关键，即利润销售收入生产成本促销费； 生产成本固定费用生产费用； (2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式 解 (1)由题意可设 3x k t1， 将t0，x1 代入，得k2. x3 2 t1. 当年生产x万件时， 年生产成本年生产费用固定费用， 年生产成本为32x 332 3 2 t1 3. 当销售x万件时， 年销售收入为150% 32 3 2 t 1 3 1 2t . 由题意，生产x万件化妆品正好销完， 由年利润年销售收入年生产成本促销费， 得年利润y t 298t 35 2t1 (t 0) (2)y t298t35 2t 1 50 t1 2 32 t 1 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 502 t1 2 × 32 t1 50 2 1642， 当且仅当 t1 2 32 t1，即 t7 时，等号成立，ymax42， 当促销费定在7 万元时，年利润最大 利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定 是求什么量的最值；其次， 分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式yf(x)(x一般为题 目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题求解过程中要注意实际问题对 变量x的范围制约 6一商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件，分若干次等量进货(设每 次进货x件)，每进一次货运费50 元，且在销售完该货物时，立即进货，现以年平均 x 2件货 储存在仓库里，库存费以每件20 元计算，要使一年的运费和库存费最省，每次进货量x应 是多少？ 解：设一年的运费和库存费共y元， 由题意知：y 50 000 x ×50x 2×20 25×10 5 x 10x2 25×10 6104， 当且仅当 25×10 5 x 10x即x500时，ymin10 000， 即每次进货500件时，一年的运费和库存费最省 7.围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用 旧墙 (利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙 上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价 为 180元/m ，设利用的旧墙的长度为x(单位：元 ) (1)将y表示为x的函数； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解： (1)如题图所示，设矩形的另一边长为a m. 则y 45x180(x2)180×2a225x360a360. 由已知xa360，得a 360 x ， 所以y225x 3602 x 360(x0) (2)x0， 225x 360 2 x 2225×360 2 10 800. y225x 360 2 x 360 10 440， 当且仅当 225 x 360 2 x 时，等号成立 即当x24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元 对应学生用书P7 1下列不等式中，正确的个数是( ) 若a，bR，则 ab 2 ab 若xR，则x22 1 x22 2 若xR，则x21 1 x21 2 若a，b为正实数，则 ab 2 ab A 0 B1 C2 D3 解析：显然不正确；正确；对虽然x2 2 1 x22无解，但 x2 2 1 x222 成立， 故正确； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 不正确，如a1，b4. 答案： C 2已知a0，b0，a，b的等差中项是 1 2，且 a 1 a， b 1 b，则 的最小值是 ( ) A 3 B4 C5 D6 解析：ab 2× 1 21， a0，b0， a 1 a b 1 b 1 1 ab 1 1 ab 2 2 5， 当且仅当ab 1 2 时取“”号 答案： C 3. “a1”是“对任意正数x,2x a x1”的 ( ) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分又不必要条件 解析：当a1 时，2x a x 2 x 1 x2 2(当且仅当x 2 2 时取等号 )，所以a1? 2x a x 1(x0)，反过来，对任意正数x，如当a 2 时， 2x a x1 恒成立，所以 2x a x 1? / a 1. 答案： A 4某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货 物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 千米处建仓库，这两项费用y1 和y2分别为 2 万元和 8 万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A 5千米处B4 千米处 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 C3 千米处D2 千米处 解析：由已知：y1 20 x ， y2 0.8x(x为仓库到车站的距离) 费用之和yy1y20.8x 20 x 2 0.8x· 20 x 8. 当且仅当 0.8x 20 x ， 即x5 时等号成立 答案： A 5若x0，则f(x)23x2 12 x2 的最大值是 _，取得最值时x的值是 _ 解析：f(x)23(x2 4 x2)23×4 10， 当且仅当x2 4 x2即 x±2时取等号 答案： 10 ±2 6当x 1 2时，函数 yx 8 2x1的最小值为 _ 解析：因为x 1 2，所以 x 1 20， 所以yx 8 2x1 x 1 2 4 x 1 2 1 24 1 2 9 2， 当且仅当x 1 2 4 x 1 2 ，即x 5 2时，取“” 答案： 9 2 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 7y 3xx2 x1 (x0)的最小值是 _ 解析：x0，y 3xx2 x 1 3 x1 x11231. 当且仅当x13时取等号 答案： 231 8已知a0，b0，ab1，求证： (1) 1 a 1 b 1 ab 8； (2) 1 1 a 1 1 b 9. 证明： (1)ab1，a0，b0， 1 a 1 b 1 ab 1 a 1 b ab ab 2 1 a 1 b 2 ab a ab b 2 b a a b 4 4 b a × a b48(当且仅当 ab 1 2时，等号成立 )， 1 a 1 b 1 ab 8. (2) 1 1 a 1 1 b 1 a 1 b 1 ab 1， 由(1)知 1 a 1 b 1 ab 8. 1 1 a 1 1 b 9. 9设x0，y0 且xy4，要使不等式 1 x 4 ym 恒成立，求实数m的取值范围 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解：由x0，y0 且xy4. 得 xy 4 1， 1 x 4 y xy 4 · 1 x 4 y 1 4 1y x 4x y 4 1 4 5 y x 4x y 1 4 52 y x· 4x y 9 4. 当且仅当 y x 4x y 时等号成立 即y 2x(x0，y0，y 2x舍去 ) 此时，结合xy4， 解得x 4 3， y 8 3. 1 x 4 y的最小值为 9 4. m 9 4 . m的取值范围为， 9 4 . 10某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形 A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分 )组成已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 平 方米，人行道的宽分别为4 米和 10米(如图所示 ) (1)若设休闲区的长和宽的比 A1B1 B1C1 x，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 析式； (2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽应如何设计？ 解： (1)设休闲区的宽为a米，则其长为ax米，由a 2x4 000，得 a 20 10 x . 则S(x)(a8)(ax20)a 2x(8x20)a 160 4 000(8x20)· 20 10 x 160 8010(2 x 5 x )4 160(x1) (2)S8010×22x· 5 x 4 1601 6004 160 5 760.当且仅当2 x 5 x 即x 2.5 时取等号，此时a40，ax100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为 长 100米，宽 40 米