215-函数模型及应用.doc.pdf
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1、高中数学精品学案 (2.15)函数的模型及应用(1) 【自学目标】 1.能根据实际问题的情景建立函数模型,结合对函数性质的研究给出问题的解答; 2.能利用所学的数学知识分析、研究身边的问题,启发引导学生数学地观察世界、感受 世界; 3.培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力. 【知识要点】 解函数应用题常川函数与方程思想、转化与化归等思想方法, 建立恰当的数学模型;能力方 而要求注意屮逻辑推理嫩里、计算能力、阅读理解能力,在具体的解题过程中主要抓住以下步 骤: 第一步:阅读理解、认真审题; 笫二步:引进数学符号,建立数学模型; 第三步 : 利用数学方法将得到的常规数学问题(即数学模型
2、)了以解答,求得结果; 第四步:再转化成具体问题作出规范解答. 【预习自测】 例 1.某计算机集团公司生产某种型号的计算机的固定成本为200万元,生产每台计算机可变成 本为 3000元, 每台计算机的售价为5000元。分别写出总成本C (万元)、单位成本P (万元)、销售收入R (万元)、以及利润厶(万元)关于总产量兀(台)的函数关系式. 例 2. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律來描述:设物体的初始温度是7;),经过 z 一淀时间 / 后的温度是 T,则T-T 严- T)-, 其屮 7;表示环境温度,力称为半12丿 衰期. 现在一杯用 88 C热水冲的速溶咖啡,放在24 C 的房间里
3、,如果咖啡降温到40 C 需要 20min,那么降温到 35 C 时,需要多长时间 ? 例 3. 在经济学中 , 函数于(兀)的边际函数Mf(x)定义为 (x)=/(x + l)-/(x)o某公司 每 月最多牛产 100台报警系统装置,生产x 台(兀 ?矿)的收入函数为/? (% ) = 3OOOx-20x2 (单位:元),其成木函数C(x) = 500x + 4000 (单位:元),利润是收入与成木之差. (1) 求利润函数丹兀)及边际利润函数MP (x); (2) 利润函数 P(x)与边际利润函数MPx )是否具有相同的最大值? 例 4.如图所示,冇一块半径为R的半圆形钢板,计划裁成等腰梯
4、形ABCD的形状,它的下底 AB 是 Oo的直径,上底 CD 的端点在圆周上,写出这个梯形的周长y 与腰长兀之间的函数式,并写 岀它的定义域 . 【课内练习】 1. 某物体一天屮的温度T 是时间 t 的函数 T(t)=t 3-3t+60,时间单位是小时,温度单位是 C, 当 t 二 0时表示中午 12: 00,其后 t 值去为正,则上午8 时的温度是() A. 8 C B. 112 C C. 58 C D. 18 C 2. 某商店卖 A、B 两种不同的价格的商品,由于A 连续两次提价 20%,同时 B 连续两次降价 20%,结果都以每件 23. 04元伟出这两种商品各一件,则与价格不提不降的情
5、况相比较, 商店盈 利的情况是() A.多赚 5. 92元B.少赚 5.92元C.多赚 28. 92% D.盈利相同 3. 某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路,该产品的广告效应应该是产品的销伟额与广 告费 Z 间的差。如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据对市场进行抽样调查显示, 每付 出 100元的广告费, 所得销伟额是 1000元,问该企业应投入广告费,才能获得最大的广告效应。 4. 牛产某商品 x 吨的费用是 1000+5% +2,元,出售这种商品x 吨的价格是每吨Q +壬元, 10 b 其中 a、b是常数,若生产的产品都被卖掉,并且当生产量是150吨时利润最大,这时每吨价格
6、是 40元,则 a、b 的值分别是。 【归纳反思】 1.审好题,审题注意取准自变量与函数值,不要盲目取变量,另外,审题时,切不可在一些 规定的专用名词上纠缠。 2 . 列出函数解析式吋,注意实际问题对自变量収值范围的限制。 3. 建立函数模型后,需解答函数模型,解答主要是方程求解,函数性质的讨论,冇时用到不等 式,因此,对计算能力要求较高,另外,在涉及近似计算时,要注意问题的实际意义, 切不可采 取简单处理的方法,是用四舍五入法,还是用进位法或収整法,都应视实际情况而定。 【巩固提高】 1. 某种菌种在培养过程中每20分钟分裂一次(一个分裂为2个),经过 3 小时,一个菌种可繁 殖为() A.
7、 511 个B. 512 个C. 1023 个D. 1024 个 2. 某地区的绿化而积每年平均比上一年增长10.4%,经过 x 年,绿化面积与原绿化面积Z 比 D.丄/ 16 4. 已知镭经过 100年剩留质量是原來质量的0.9567,设质量为 1的镭经过 x 年后剩留量为 y, 则 y 关于 x 的两数关系是 () X C. y 二0.9567 ,00x D. y = l - 0.0424 100 5._ 某工厂的产值月平均增长率 为 p,则年平均增长率是_ 则可以围成的场地的最大 X A. 丁二 0.95671 B.) =( 0.9567 100 )r 3. 用活动拉门(总长为a)靠墙围
8、成一矩形场地( - ?边利川墙), 而积为() 6?某厂生产某种产品的固定成木为200万元 并且生产最每增加一?单位产品,成本增加 1 万元, 乂知总收入 R 是单位产量 Q 的函数:W) = 4Q-!-2 2,则总利润 L(Q)的最大 值是万元,这时产品的生产数虽为( 总利润二总收入 - 成木). 7. 从盛满乩 Q 是常数 ) 纯酒精的容器屮倒出1L,然后用水填满,再倒出1L 混合液后又用水填满, 这样继续卞去,如果倒第 n 次(nl)时共倒出纯酒MXL,设倒笫 ( n+1)次时共 倒出 f (x) L,则函数 f (x) 的表达式为 . 8. 某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金
9、为3000元时,可全部租出,当每辆车的月租 金每增加 50元时,未出租的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元, 未租出的 车每辆没月需耍维护费50元。 (1)当每辆车的 J1租金定为 3600元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最人?最人月收益是多少? 9. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下而有关销售的统计规律:每生产产品x ( 百 台) ,其成木为 G (x)万元,其屮固定成木为2力?元,并且每生产100台的生产成木为1万元( 总 成本二固定成本 +生产成本 ) ,销售收入 R (x)满足 R (x)= 0.4 无 + 4.2
10、兀一 0. 超过 3 分钟,每增加 1 分钟收费 0. 1元,不足 1 分钟按 1分钟计算,则通话费S (元)与通 (A) (B) 5. 某种菌类生长很快,长度每天增长1 倍,在 20天长成 4 米,那么长成 0.25米要() A1.25 天B5 天C16 天D12 天 6. 有一批材料可以建成长200米的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地, 中 间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图),则围成矩形的最大面积是. 7. 十六大提出全而建设小康社会,国际上常用恩格尔系数(记作n)來衡量一个国家和地区 如下表所示 : 家庭类贫困温饱小康富裕最富裕 nn6050 % 5 60%
11、40 % W 50 30%5W40%n W 30 根据某地区家庭抽样调查统计预测1998年至 2005年间每户家庭支出总额每年平均增加1000元, 其中食品消费支出总额每年平均增加300元。 (1)若 1998年该地区家庭刚达到温饱,该年度消费支出总额为10000元,问 2003年能 否达到 小康?请说明理由。 (2)若 2003年比 1998年的消费支出总额增加40%,而其中食品消费支出总额增加20%,问 2005年 (D) 人民生活水平的状况,它的计算公式是: 食品消费水平总额 消费支出总额 X1OO%,各种家庭的 n 能否达到小康?请说明理山。 8. 某城市 |来水厂向全市供应生产与生活
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