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高中数学精品学案 （2.15）函数的模型及应用（1） 【自学目标】 1.能根据实际问题的情景建立函数模型，结合对函数性质的研究给出问题的解答； 2.能利用所学的数学知识分析、研究身边的问题，启发引导学生数学地观察世界、感受 世界； 3.培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力. 【知识要点】 解函数应用题常川函数与方程思想、转化与化归等思想方法, 建立恰当的数学模型；能力方 而要求注意屮逻辑推理嫩里、计算能力、阅读理解能力，在具体的解题过程中主要抓住以下步 骤： 第一步：阅读理解、认真审题； 笫二步：引进数学符号，建立数学模型； 第三步 : 利用数学方法将得到的常规数学问题（即数学模型）了以解答，求得结果； 第四步：再转化成具体问题作出规范解答. 【预习自测】 例 1.某计算机集团公司生产某种型号的计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机可变成 本为 3000元, 每台计算机的售价为5000元。分别写出总成本C （万元）、单位成本P （万元）、销售收入R （万元）、以及利润厶（万元）关于总产量兀（台）的函数关系式. 例 2. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律來描述：设物体的初始温度是7；）,经过 z 一淀时间 / 后的温度是 T,则T-T 严- T）-, 其屮 7；表示环境温度，力称为半12丿 衰期. 现在一杯用 88° C热水冲的速溶咖啡，放在24° C 的房间里，如果咖啡降温到40° C 需要 20min,那么降温到 35° C 时，需要多长时间 ? 例 3. 在经济学中 , 函数于（兀）的边际函数Mf（x）定义为 （x）=/（x + l）-/（x）o某公司 每 月最多牛产 100台报警系统装置，生产x 台（兀 ?矿）的收入函数为/? （% ） = 3OOOx-20x2 （单位：元），其成木函数C（x） = 500x + 4000 （单位：元），利润是收入与成木之差. （1） 求利润函数丹兀）及边际利润函数MP （x）； （2） 利润函数 P（x）与边际利润函数MPx ）是否具有相同的最大值？ 例 4.如图所示，冇一块半径为R的半圆形钢板，计划裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底 AB 是 Oo的直径，上底 CD 的端点在圆周上，写出这个梯形的周长y 与腰长兀之间的函数式，并写 岀它的定义域 . 【课内练习】 1. 某物体一天屮的温度T 是时间 t 的函数 T（t）=t 3-3t+60,时间单位是小时，温度单位是 ° C, 当 t 二 0时表示中午 12： 00,其后 t 值去为正，则上午8 时的温度是（） A. 8 °C B. 112 °C C. 58 °C D. 18 °C 2. 某商店卖 A、B 两种不同的价格的商品，由于A 连续两次提价 20%,同时 B 连续两次降价 20%,结果都以每件 23. 04元伟出这两种商品各一件，则与价格不提不降的情况相比较, 商店盈 利的情况是（） A.多赚 5. 92元B.少赚 5.92元C.多赚 28. 92% D.盈利相同 3. 某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路，该产品的广告效应应该是产品的销伟额与广 告费 Z 间的差。如果销售额与广告费的算术平方根成正比，根据对市场进行抽样调查显示, 每付 出 100元的广告费， 所得销伟额是 1000元，问该企业应投入广告费，才能获得最大的广告效应。 4. 牛产某商品 x 吨的费用是 1000+5% +2,元，出售这种商品x 吨的价格是每吨Q +壬元, 10 b 其中 a、b是常数，若生产的产品都被卖掉，并且当生产量是150吨时利润最大，这时每吨价格 是 40元，则 a、b 的值分别是。 【归纳反思】 1.审好题，审题注意取准自变量与函数值，不要盲目取变量，另外，审题时，切不可在一些 规定的专用名词上纠缠。 2 . 列出函数解析式吋，注意实际问题对自变量収值范围的限制。 3. 建立函数模型后，需解答函数模型，解答主要是方程求解，函数性质的讨论，冇时用到不等 式，因此，对计算能力要求较高，另外，在涉及近似计算时，要注意问题的实际意义, 切不可采 取简单处理的方法，是用四舍五入法，还是用进位法或収整法，都应视实际情况而定。 【巩固提高】 1. 某种菌种在培养过程中每20分钟分裂一次（一个分裂为2个），经过 3 小时，一个菌种可繁 殖为（） A. 511 个B. 512 个C. 1023 个D. 1024 个 2. 某地区的绿化而积每年平均比上一年增长10.4%,经过 x 年，绿化面积与原绿化面积Z 比 D.丄/ 16 4. 已知镭经过 100年剩留质量是原來质量的0.9567,设质量为 1的镭经过 x 年后剩留量为 y, 则 y 关于 x 的两数关系是 （） X C. y 二0.9567 ,00x D. y = l - 0.0424 100 5._ 某工厂的产值月平均增长率 为 p,则年平均增长率是_ 则可以围成的场地的最大 X A. 丁二 0.95671 °°B.)' =( 0.9567 100 )r 3. 用活动拉门（总长为a）靠墙围成一矩形场地（ - ?边利川墙）, 而积为（） 6?某厂生产某种产品的固定成木为200万元 并且生产最每增加一?单位产品，成本增加 1 万元， 乂知总收入 R 是单位产量 Q 的函数：W) = 4Q-!-2 2,则总利润 L(Q)的最大 值是万元，这时产品的生产数虽为( 总利润二总收入 - 成木). 7. 从盛满乩 Q 是常数 ) 纯酒精的容器屮倒出1L,然后用水填满，再倒出1L 混合液后又用水填满， 这样继续卞去，如果倒第 n 次(nl)时共倒出纯酒MXL,设倒笫 ( n+1)次时共 倒出 f (x) L,则函数 f (x) 的表达式为 . 8. 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租 金每增加 50元时，未出租的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元， 未租出的 车每辆没月需耍维护费50元。 (1)当每辆车的 J1租金定为 3600元时，能租出多少辆车？ (2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最人？最人月收益是多少? 9. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下而有关销售的统计规律：每生产产品x ( 百 台) ，其成木为 G (x)万元，其屮固定成木为2力?元，并且每生产100台的生产成木为1万元( 总 成本二固定成本 +生产成本 ) ，销售收入 R (x)满足 R (x)= 0.4 无 + 4.2 兀一 0. 超过 3 分钟，每增加 1 分钟收费 0. 1元，不足 1 分钟按 1分钟计算，则通话费S （元）与通 (A) (B) 5. 某种菌类生长很快，长度每天增长1 倍，在 20天长成 4 米，那么长成 0.25米要（） A1.25 天B5 天C16 天D12 天 6. 有一批材料可以建成长200米的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地, 中 间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图），则围成矩形的最大面积是. 7. 十六大提出全而建设小康社会，国际上常用恩格尔系数（记作n）來衡量一个国家和地区 如下表所示 : 家庭类贫困温饱小康富裕最富裕 nn6050 % 5 60% 40 % W 50 30%5W40%n W 30 根据某地区家庭抽样调查统计预测1998年至 2005年间每户家庭支出总额每年平均增加1000元， 其中食品消费支出总额每年平均增加300元。 （1）若 1998年该地区家庭刚达到温饱，该年度消费支出总额为10000元，问 2003年能 否达到 小康？请说明理由。 (2)若 2003年比 1998年的消费支出总额增加40%,而其中食品消费支出总额增加20%,问 2005年 (D) 人民生活水平的状况，它的计算公式是: 食品消费水平总额 消费支出总额 X1OO%，各种家庭的 n 能否达到小康？请说明理山。 8. 某城市 |'|来水厂向全市供应生产与生活用水，蓄水池现有水9前吨，水厂每小时向池屮注入 2 T?吨水，同时向全市供水，X 小时内供水总量为8 仮，问： (1)多少小时吋池内水量最少？ (2)当蓄水池水量少于3 吨时，供水就会出现紧张现彖， 那么出现这种紧张情况冇多长时间？ (3)为了保证牛 ?产，牛 . 活的需要，决定扩大生产每小吋向池内注水3 千吨，能否消除供水紧 张现象？为什么？ 9. 假设国家收购某种农产品的价格是120元/ 担，其屮征税标准为每100元征收 8 元( 收税 率为 8 个百分点，即 8%),计划可收购加万担，为减轻农民的负担，决定税率降低兀个百分点，这样收 购量预计可增加2兀个百分点。 (1)写出税收 V ( 万元) 与兀的函数关系式； (2)为 x 不低丁 2个仃分点时，求税率调节后的税收金额比税率调节前的税收金额最少要减少 多少个百分点？ 函数的模型及应用(3) 【自学目标】 1.学会分析问题，思考问题，准确地选择解决问题的方法和模型: 2.学会解决常见的函数应用问题，如图表问题、拟合函数问题； 3.进以步培养分析问题、解决问题的能力. 【知识要点】 1. 拟合模型 2. 离散点问题 【预习自测】 例 1.如右图所示，表示一位骑自行车者和一位骑摩托者在相距 为 80km 的 两城镇间旅行的函数图彖，由图可知: 骑自行 车者用 6小时（含途中休息的 1 小时），骑摩托者用了2 小吋，有人根据这个函数图象，突出了关于这两个旅行者 的如右信息： 骑自行车者比骑摩托者早出发3小时，晚到 1小时; （2）骑自行车者是变速运动，骑摩托者是匀速运动； （3）骑摩托者在出发1? 5 小时后追上了骑口行车者 其屮正确信息的序号是_ 例 2. 中华人民共和 国个人所得税法规定，公民全刀工资、薪金所得不超过800 元的部 分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算: 全月应纳税所得额税率 不超过 800元的部分5% 超过 800元至 2000元的部分10% 超过 2000元至 5000元的部分 15% 某人一月份应交纳此项税款26. 78远，则他的当月工资、薪金得介于（） A. 800900 元 B. 9001200 元 C. 12001500 元 D. 15002800 元 例 3. 现测得（兀 ,）：） 的两组值为 （1,2）,（2,5）,现有两个拟合模型甲： y = /+i, 乙: y = 3x-l , 若又测得（兀 , 刃的一组对应值为 （3,10.2）,则应选用作为拟合模型较好 例 4?某厂1月、2刀、3刀、生产某种产品分别为1万件、 1.2万件、 1.3万件，为了估计 以后每 个刀的产量，以这3 个月的产量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y 与刀 份兀的关系。 模拟函数可选择二次函数或函数y = ab xc （a、b、c为常数），己知四月份该产品的产量为1.37 万件，试问川以上哪个函数作模拟函数较好？ 2 【课内练习】 1. 今冇一组实验数据如下 : t 1.993.04.05. 16. 12 V1.54. 047.5121&01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律，其中最接近的一?个是 () A. V = log21 B. V =og t C. V = - - 2 2 2. 画出以下 4个点： (15, 7), (50, 25), (60, 34), (100, 80), 根据散点图 , 以下四种趋 势，不应该选用 () A.指数B.乘幕C.二次函数D.对数 3. 设本金为 a元，每期利率为r,本利和为为 y,存期为 x,按复利计算利息，则本利和y 随存期 x 变化的函数式为 _ 4. 下图是一份统计图表，根据此图表可以得到的以下说法中，正确的有() 这几年人民生活水平逐年得到提高； 人民生活费收入增长最快的一年是2000年； 牛活价格指数上涨速度最快的一年是2001年； 虽然 2002年生活费收入增长佼缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大 的改善 A. 1 项B. 2 项 C. 3项 D.4 项 【归纳反思】 常见的函数模型的应川实例主要包括两个方面：建立确定性函数模型解决实际问题与建立 拟合函数模型解决实际问题。 (1)确定性函数模型 这类应用题小提供的变量关系是确定的, 求解时按下面的步骤 : 认真审题，通过阅读理解，读懂 题意，关键找出题目中的自变量与函数值所满足的等式；赋于自变量与函数值符号, 常用 x, y 表示，由已分析出的等式列出y 关于 x 的函数关系式，这个函数关系中可能含冇待定的系数，则 D. V = 2r-2 需进一步由已知条件求出待定系数；利用函数知识，如单调性、最值等, 对函数模型了以解答； 转译为具体问题作答，简单的说即市题- 建模- 求模-还原。 (2)不确定性函数模型，或称拟合函数模型 这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出两个变最的几组对应值，求解这类函数模型的 一般步骤为：画散点图T选择函数模型 T用待定系数法求函数模型T检验，若符合 实际，可用此 函数模型解决实际问题，若不符合实际，则继续选择函数模型，重复操作以上过程。另外，以上 过程可以利用计算器或计算机进行数据拟合，在“添加趋势线”工具栏中，提供了线性、对数、 指数、多项式等多种数学模型，可供择优选用。 常见函数模型可分为一次函数模型、二次函数模型、 指数函数模型， 对数函数模型、 幕函数 模型、 分段函数模型等。 【巩固提高】 1 ?一辆匀速行驶的汽车90niin 行驶的路程为 180km,则这辆汽车行驶的路程y (km)与时间 t (h)之 间的函数关系式是 () A. y=2t B. y=120t C. y=2t (t=0) D. y=120t (t=0) 2. 用一根长为 12m的细铁丝弯折成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大血积是. 3. 某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在租出后的前两犬每大收0.8元，以后每 天收 0.5元. 那么一张光盘在租出后的笫n 天Z N”)应收的租金是元。 4. 据 2002年 3刀 5 LI 九届人大五次会议政府工作报告“2001年国内生产总值达到95933 亿 元，比上年增长7. 3%,如果“十五”期间 (2001年- 2005年) 每年我国国内生产总值按此年增长率 增长，那么到 '' 十五”末我国国内年生产总值约为() A115000 亿元B120000 亿元 C 127000 亿元D135000 亿元 5. 有一个空容器，由悬在它上方的一根水管均匀地注水，直 至把容器注满，在注水过程中，水血的高度曲线如图 29-1所 示，其中 PQ为一线段，贝 U 与图 相对应的容器的形状是 () 6?如下图，A、B、C、D 是某煤矿的四个采煤点 , Z 为公路 , 图中所示线段为道路， ABQP、BCRQ、 CDSR 近似于正方形，已知A、B、C、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为3： 2： 1： 5,运煤 的 费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比，现要从P、Q、R、S中选出一处设立一个运煤中转 站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在() (D) P(B) Q (0 R (D) S AB CD 1 PQ RS 7. 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成木为200元，每桶水的进价为5元，销伟 单价 与口均销售虽的关系如下表所示： 销售单价（元） 6789101112 日均销售量（桶） 480440400360320280240 谙根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最人利润? &有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品能获得的利润依次是P和 Q （万元），它们为投入资 金 x （万元）的关系，有经验公式：P = W ，Q=2 丘,今有 3 万元资金投入经营甲、乙两种商品， 为获得敲大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少，能获得的最大利润是多少？ 9. 某医药研究所开发一种新药，如杲成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中 的含药量）；（“）与时间 / （小时） Z 间近似满足右图所示曲线 （1）写出服药后 y 与 f 的函数关系； (2) 据测定：每毫升血液小含药量不少于4“g时治疗疾病有效， 假如病 人一天小第一 - 次服 药为上午 7： 00,问一天中怎样安排服药时间 ( 共四次 ) 效果最佳？