高考理科数学《概率与统计》题型归纳与训练.pdf
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1、1 高考理科数学概率与统计题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一古典概型与几何概型 例 1、某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒. 若一名行人来到该路口遇到 红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 . 【答案】 【解析】 因为红灯持续时间为40秒. 所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为. 例 2、市政府为调查市民对本市某项调控措施的态度,随机抽取了100名市民,统计了他们的月收入频率分 布和对该项措施的赞成人数,统计结果如下表所示: 月收入(单位:百元))20,10)30,20)40,30)50,40)60,50)70,60 频数 520303110
2、4 赞成人数 21424 3073 (1) 用样本估计总体的思想比较该市月收入低于20( 百元 ) 和不低于30( 百元 ) 的两类人群在该项措施的态 度上有何不同; (2) 现从样本中月收入在)20,10和)70,60的市民中各随机抽取一个人进行跟踪调查,求抽取的两个人恰好 对该措施一个赞成一个不赞成的概率 【答案】 (1)详见解析;(2) 20 11 . 【解析】 (1) 由表知,样本中月收入低于20( 百元 ) 的共有5人,其中持赞成态度的共有2人,故赞成人数的 频率为 5 2 , 月收入不低于30( 百元 ) 的共有75人,其中持赞成态度的共有64人,故赞成人数的频率为 75 64 ,
3、 5 2 75 64 ,根据样本估计总体的思想可知月收入不低于30( 百元 ) 的人群对该措施持赞成态度的比月收 入低于20( 百元 ) 的人群持赞成态度的比例要高 (2)将月收入在)20,10内, 不赞成的3人记为 321 ,aaa,赞成的2人记为 54,a a,将月收入在)70,60内, 不赞成的1人记为 1 b,赞成的3人记为, 432 bbb从月收入在)20,10和)70,60内的人中各随机抽取1人,基 本事件总数20n,其中事件“抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成”包含的基本事件有 5 8 40 155 408 2 ),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(
4、),( 1514433323423222413121 bababababababababababa共11个,抽取 的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率 20 11 P. 【易错点】 求解古典概型问题的关键:先求出基本事件的总数,再确定所求目标事件包含基本事件的个数, 结合古典概型概率公式求解一般涉及“至多”“至少”等事件的概率计算问题时,可以考虑其对立事件 的概率,从而简化运算 【思维点拨】 1. 求复杂互斥事件概率的方法 一是直接法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和,运用互斥事件的求和公式计算;二是 间接法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式1P AP A ,即运用逆
5、向思维的方法( 正难则反 ) 求解,应用此公式时,一定要分清事件的对立事件到底是什么事件,不能重复或遗漏特别是对于含“至 多”“至少”等字眼的题目,用第二种方法往往显得比较简便 2.求古典概型的概率的基本步骤:算出所有基本事件的个数;求出事件A包含的基本事件个数;代入公式, 求出( )P A;几何概型的概率是几何度量之比,主要使用面积、体积之比与长度之比. 题型二统计与统计案例 例 1、某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽 取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:,90,80 ,),40,30),30,20并整理得到如下频率分 布
6、直方图: ()从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率; ()已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间)50,40内的人数; ()已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等试估计总体 3 中男生和女生人数的比例 【答案】 ()4. 0;()20;()2:3. 【解析】 ()根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为6 .010)04.002.0(,所以 样本中分数小于70的频率为4 .06.01. ()根据题意, 样本中分数不小于50的频率为, 分数在区间 内的人数为. 所以总体中分数在区间内的人数估计为. ()
7、由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为6010010)04.002.0(,所以样本中分数不 小于70的男生人数为30 2 1 60.所以样本中的男生人数为60230,女生人数为4060100,男生 和女生人数的比例为2:340:60,所以根据分层抽样的原理,总体中男生和女生人数的比例估计为2:3. 【易错点】 求解统计图表问题,重要的是认真观察图表,发现有用信息和数据对于频率分布直方图,应 注意图中的每一个小矩形的面积是落在该区间上的频率,所有小矩形的面积和为1,当小矩形等高时,说明 频率相等,计算时不要漏掉其中一个 【思维点拨】 1简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取适用范围:总体中的个
8、体较少 2系统抽样特点是将总体均分成几部分,按事先确定的规则在各部分中抽取适用范围:总体中的个体数 较多 3分层抽样特点是将总体分成几层,分层进行抽取适用范围:总体由差异明显的几部分组成 4利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数 利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错,应注意区分这三者在频率分布直方图中: (1) 最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数; (2) 中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的; (3) 平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中 点的横坐标之和 5. 求回归直线方程的关键 正确理解计算 ,ab的公式和准确
9、的计算 在分析实际中两个变量的相关关系时,可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关 (0.010.020.040.02)100.940,50) 100 100 0.955 40,50) 5 40020 100 4 系,若具有线性相关关系,则可通过线性回归方程估计和预测变量的值 6. 独立性检验的关键 根据22列联表准确计算 2 K,若22列联表没有列出来,要先列出此表 2 K的观测值k越大,对应假设事件0H成立的概率越小,0H不成立的概率越大 题型三概率、随机变量及其分布 例 1、 “过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗2018年春节前夕,市某质检部门随机 抽取了10
10、0包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标, (1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作 代表); (2)由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布,利用该正态分布,求 落在内的概率; 将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值 位于内的包数为,求的分布列和数学期望 附:计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为; 若,则, 【答案】 (1) (2) (3)的分布列为 0 12 3 4 ; 【解析】 (1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为 A x Z
11、2 ,N Z14.55,38.45 10,30XX 142.7511.95 2 ,ZN()0.6826PZ(22 )0.9544PZ 26.5x0.6826X X P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 2E X x 5 (2)服从正态分布,且, , 落在内的概率是 根据题意得, ; ; 的分布列为 01234 例 2、 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量 其尺寸 ( 单位:cm) 根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 ),( 2 N (1) 假设生产状态正常,记 X表示一天内抽取的16个零件中
12、其尺寸在)3,3( 之外的零件数,求 )1(XP及X的数学期望; (2) 一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在)3,3(之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生 产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查 ( ) 试说明上述监控生产过程方法的合理性; ( ) 下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸: 95.912.1096.996.901.1092.998.904.10 26.1091. 913.1002.1022. 904.1005.1095. 9 5 0.1 15 0.225 0.335 0.2545 0.1526.5x Z 2 ,N26.511.95 (14.5538.45)
13、(26.511.9526.511.95)0.6826PZPZ Z14.55,38.450.6826 1 4, 2 XB 4 0 4 11 0 216 P XC 4 1 4 11 1 24 P XC 4 2 4 13 2 28 P XC 4 3 4 11 3 24 P XC 4 4 4 11 4 216 P XC X X P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 1 42 2 E X 6 经计算得97. 9 16 1 16 1i i xx,212.0)16( 16 1 )( 16 1 2 16 1 2 16 1 2 xxxxs i i i i ,其中 i x为抽取的第i 个零件的尺寸,.1
14、6,3,2, 1i用样本平均数x作为的估计值 ,用样本标准差s作为的估计值 , 利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除)3,3( 之外的数据, 用剩下的数据估计 和( 精确到01.0) 附:若随机变量Z服从正态分布),( 2 N,则9592.09974.0 ,9974.0)33( 16 ZP, 09.0008.0. 【答案】 (1))1(XP0408.0;0416.0)(XE; (2) 需要;的估计值为02.10,的估计值为09.0. 【解析】( 1)抽取的一个零件的尺寸在)3,3(之内的概率为9974.0,从而零件的尺寸在 )3,3(之外的概率为0026.0,故).0026.0
15、,16( BX因此)0(1) 1(XPXP 0408.09974.01 16 .X的数学期望为0416.00026.016)(XE. (2)( ) 如果生产状态正常,一个零件尺寸在)3,3(之外的概率只有0026.0, 一天内抽取的16个 零件中,出现尺寸在)3,3(之外的零件的概率只有0408.0,发生的概率很小因此一旦发生这 种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检 查,可见上述监控生产过程的方法是合理的. ( ) 由212.0,97.9sx,得的估计值为97.9 ,的 估计值为212.0 ,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在)3,3(
16、之外,因此需对当天的生 产过程进行检查 剔除)3,3( 之外的数据22.9, 剩下数据的平均02.10)22.997.916( 15 1 . 因此的估计值为02.10134.159197. 916212. 016 22 16 1 2 i i x,剔除)3,3( 之外的数据 22. 9,剩下数据的样本方差为008.0)02.101522.9134.1591( 15 122 ,因此的估计值为09. 0. 【易错点】 1正确阅读理解, 弄清题意: 与概率统计有关的应用问题经常以实际生活为背景,且常考常新, 而解决问题的关键是理解题意,弄清本质,将问题转化为离散型随机变量分布列求解问题,如本题第(1)
17、 问 就是利用正态分布求出)1(XP,进而求出)(XE. 2注意利用第(1) 问的结果:在题设条件下,如果第(1) 问的结果第 (2) 问能用得上,要可以直接用,有些 题目不用第 (1) 问的结果甚至无法解决,如本题即是在第(1) 问的基础上利用小概率问题,说明监控生产过 程方法的合理性 3注意规范答题: 解题时要写准每一小题的解题过程,尤其是解题得分点要准确、规范,需要文字表达的, 不要惜墨,但也不能过于啰嗦,恰到位置就好,本题就需要用文字表达,准确说明是解题关键 7 【思维点拨】 1. 条件概率的两种求解方法: (2) 基本事件法 , 借助古典概型概率公式, 先求事件A包含的基本事件数)(
18、An, 再求事件AB所包含的基本事件数ABn, 得 )( )( )|( An ABn ABP. 2. 判断相互独立事件的三种常用方法: (1) 利用定义 , 事件BA,相互独立 ?)()()(BPAPABP. (2)利用性质 , A与B相互独立 , 则A与 AB,与B,BA与也都相互独立 . (3) 具体背景下 , 有放回地摸球, 每次摸球的结果是相互独立的. 当产品数量很大时, 不放回抽样也可近似看作独立重复试验. 3. 求离散型随机变量的分布列, 首先要根据具体情况确定X的取值情况 , 然后利用排列、 组合与概率知识求 出X取各个值的概率. 4. 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过
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