高考理科数学《概率与统计》题型归纳与训练.pdf

1 高考理科数学概率与统计题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一古典概型与几何概型 例 1、某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒. 若一名行人来到该路口遇到 红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 . 【答案】 【解析】 因为红灯持续时间为40秒. 所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为. 例 2、市政府为调查市民对本市某项调控措施的态度，随机抽取了100名市民，统计了他们的月收入频率分 布和对该项措施的赞成人数，统计结果如下表所示： 月收入（单位：百元）)20,10)30,20)40,30)50,40)60,50)70,60 频数 5203031104 赞成人数 21424 3073 (1) 用样本估计总体的思想比较该市月收入低于20( 百元 ) 和不低于30( 百元 ) 的两类人群在该项措施的态 度上有何不同； (2) 现从样本中月收入在)20,10和)70,60的市民中各随机抽取一个人进行跟踪调查，求抽取的两个人恰好 对该措施一个赞成一个不赞成的概率 【答案】 （1）详见解析；（2） 20 11 . 【解析】 (1) 由表知，样本中月收入低于20( 百元 ) 的共有5人，其中持赞成态度的共有2人，故赞成人数的 频率为 5 2 ， 月收入不低于30( 百元 ) 的共有75人，其中持赞成态度的共有64人，故赞成人数的频率为 75 64 ， 5 2 75 64 ，根据样本估计总体的思想可知月收入不低于30( 百元 ) 的人群对该措施持赞成态度的比月收 入低于20( 百元 ) 的人群持赞成态度的比例要高 (2)将月收入在)20,10内， 不赞成的3人记为 321 ,aaa，赞成的2人记为 54,a a，将月收入在)70,60内， 不赞成的1人记为 1 b，赞成的3人记为, 432 bbb从月收入在)20,10和)70,60内的人中各随机抽取1人，基 本事件总数20n，其中事件“抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成”包含的基本事件有 5 8 40 155 408 2 ),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),( 1514433323423222413121 bababababababababababa共11个，抽取 的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率 20 11 P. 【易错点】 求解古典概型问题的关键：先求出基本事件的总数，再确定所求目标事件包含基本事件的个数， 结合古典概型概率公式求解一般涉及“至多”“至少”等事件的概率计算问题时，可以考虑其对立事件 的概率，从而简化运算 【思维点拨】 1. 求复杂互斥事件概率的方法 一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是 间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式1P AP A ，即运用逆向思维的方法( 正难则反 ) 求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏特别是对于含“至 多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便 2.求古典概型的概率的基本步骤:算出所有基本事件的个数；求出事件A包含的基本事件个数；代入公式， 求出( )P A；几何概型的概率是几何度量之比,主要使用面积、体积之比与长度之比. 题型二统计与统计案例 例 1、某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽 取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：,90,80 ,),40,30),30,20并整理得到如下频率分 布直方图： （）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率； （）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间)50,40内的人数； （）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等试估计总体 3 中男生和女生人数的比例 【答案】 （）4. 0；（）20；（）2:3. 【解析】 （）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为6 .010)04.002.0(，所以 样本中分数小于70的频率为4 .06.01. （）根据题意， 样本中分数不小于50的频率为， 分数在区间 内的人数为. 所以总体中分数在区间内的人数估计为. （）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为6010010)04.002.0(，所以样本中分数不 小于70的男生人数为30 2 1 60.所以样本中的男生人数为60230，女生人数为4060100，男生 和女生人数的比例为2:340:60，所以根据分层抽样的原理，总体中男生和女生人数的比例估计为2:3. 【易错点】 求解统计图表问题，重要的是认真观察图表，发现有用信息和数据对于频率分布直方图，应 注意图中的每一个小矩形的面积是落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1，当小矩形等高时，说明 频率相等，计算时不要漏掉其中一个 【思维点拨】 1简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取适用范围：总体中的个体较少 2系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取适用范围：总体中的个体数 较多 3分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取适用范围：总体由差异明显的几部分组成 4利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数 利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者在频率分布直方图中： (1) 最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2) 中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； (3) 平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中 点的横坐标之和 5. 求回归直线方程的关键 正确理解计算 ,ab的公式和准确的计算 在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关 (0.010.020.040.02)100.940,50) 100 100 0.955 40,50) 5 40020 100 4 系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值 6. 独立性检验的关键 根据22列联表准确计算 2 K，若22列联表没有列出来，要先列出此表 2 K的观测值k越大，对应假设事件0H成立的概率越小，0H不成立的概率越大 题型三概率、随机变量及其分布 例 1、 “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗2018年春节前夕，市某质检部门随机 抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标， （1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作 代表）； （2）由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求 落在内的概率； 将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值 位于内的包数为，求的分布列和数学期望 附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为； 若，则， 【答案】 (1) (2) （3）的分布列为 0 12 3 4 ； 【解析】 （1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为 A x Z 2 ,N Z14.55,38.45 10,30XX 142.7511.95 2 ,ZN()0.6826PZ(22 )0.9544PZ 26.5x0.6826X X P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 2E X x 5 （2）服从正态分布，且， ， 落在内的概率是 根据题意得， ； ； 的分布列为 01234 例 2、 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量 其尺寸 ( 单位：cm) 根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 ),( 2 N (1) 假设生产状态正常，记 X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在)3,3( 之外的零件数，求 )1(XP及X的数学期望； (2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在)3,3(之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生 产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 ( ) 试说明上述监控生产过程方法的合理性； ( ) 下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 95.912.1096.996.901.1092.998.904.10 26.1091. 913.1002.1022. 904.1005.1095. 9 5 0.1 15 0.225 0.335 0.2545 0.1526.5x Z 2 ,N26.511.95 (14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826PZPZ Z14.55,38.450.6826 1 4, 2 XB 4 0 4 11 0 216 P XC 4 1 4 11 1 24 P XC 4 2 4 13 2 28 P XC 4 3 4 11 3 24 P XC 4 4 4 11 4 216 P XC X X P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 1 42 2 E X 6 经计算得97. 9 16 1 16 1i i xx，212.0)16( 16 1 )( 16 1 2 16 1 2 16 1 2 xxxxs i i i i ，其中 i x为抽取的第i 个零件的尺寸，.16,3,2, 1i用样本平均数x作为的估计值 ，用样本标准差s作为的估计值 ， 利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除)3,3( 之外的数据， 用剩下的数据估计 和( 精确到01.0) 附：若随机变量Z服从正态分布),( 2 N，则9592.09974.0 ,9974.0)33( 16 ZP, 09.0008.0. 【答案】 （1）)1(XP0408.0；0416.0)(XE； （2） 需要；的估计值为02.10，的估计值为09.0. 【解析】（ 1）抽取的一个零件的尺寸在)3,3(之内的概率为9974.0，从而零件的尺寸在 )3,3(之外的概率为0026.0，故).0026.0 ,16( BX因此)0(1) 1(XPXP 0408.09974.01 16 .X的数学期望为0416.00026.016)(XE. (2)( ) 如果生产状态正常，一个零件尺寸在)3,3(之外的概率只有0026.0， 一天内抽取的16个 零件中，出现尺寸在)3,3(之外的零件的概率只有0408.0，发生的概率很小因此一旦发生这 种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检 查，可见上述监控生产过程的方法是合理的. ( ) 由212.0,97.9sx，得的估计值为97.9 ，的 估计值为212.0 ，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在)3,3(之外，因此需对当天的生 产过程进行检查 剔除)3,3( 之外的数据22.9， 剩下数据的平均02.10)22.997.916( 15 1 . 因此的估计值为02.10134.159197. 916212. 016 22 16 1 2 i i x，剔除)3,3( 之外的数据 22. 9，剩下数据的样本方差为008.0)02.101522.9134.1591( 15 122 ，因此的估计值为09. 0. 【易错点】 1正确阅读理解， 弄清题意： 与概率统计有关的应用问题经常以实际生活为背景，且常考常新， 而解决问题的关键是理解题意，弄清本质，将问题转化为离散型随机变量分布列求解问题，如本题第(1) 问 就是利用正态分布求出)1(XP，进而求出)(XE. 2注意利用第(1) 问的结果：在题设条件下，如果第(1) 问的结果第 (2) 问能用得上，要可以直接用，有些 题目不用第 (1) 问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1) 问的基础上利用小概率问题，说明监控生产过 程方法的合理性 3注意规范答题： 解题时要写准每一小题的解题过程，尤其是解题得分点要准确、规范，需要文字表达的， 不要惜墨，但也不能过于啰嗦，恰到位置就好，本题就需要用文字表达，准确说明是解题关键 7 【思维点拨】 1. 条件概率的两种求解方法: (2) 基本事件法 , 借助古典概型概率公式, 先求事件A包含的基本事件数)(An, 再求事件AB所包含的基本事件数ABn, 得 )( )( )|( An ABn ABP. 2. 判断相互独立事件的三种常用方法: (1) 利用定义 , 事件BA,相互独立 ?)()()(BPAPABP. （2）利用性质 , A与B相互独立 , 则A与 AB,与B,BA与也都相互独立 . (3) 具体背景下 , 有放回地摸球, 每次摸球的结果是相互独立的. 当产品数量很大时, 不放回抽样也可近似看作独立重复试验. 3. 求离散型随机变量的分布列, 首先要根据具体情况确定X的取值情况 , 然后利用排列、 组合与概率知识求 出X取各个值的概率. 4. 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程, 但需要注意检验该概率模型是否满足公式 knkk n ppCkXP)1()(的三个条件 :(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p;(2)n次试 验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验, 而且各次试验的结果是相互独立的;(3) 该公式表示n次试 验中事件 A恰 好发生了k次的概率 . 5. 求离散型随机变量的均值与方差的基本方法有: (1) 已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差, 可直接按定义 ( 公式 )求解 ; (2) 已知随机变量X的均值、方差 , 求X的线性函数baXY的均值、方差 , 可直接用均值、方差的性质 求解 , 即bXaEbaXE)()(,)()( 2 XDabaXD(ba,为常数 ). (3) 如能分析所给随机变量服从常用的分布, 可直接利用它们的均值、方差公式求解, 即若X服从两点分布, 则pXE)(,)1 ()(ppXD; 若),(pnBX，则npXE)(，)1()(pnpXD. 【巩固训练】 题型一古典概型与几何概型 1. 已知，则函数在区间上为增函数的概率是 （） A.B.C.D. 0 1 2a， ，1 1 3 5b， ， 2 2fxaxbx1 ， 5 12 1 3 1 4 1 6 8 【答案】A 【解析】 当时，情况为符合要求的只有一种； 当时，则讨论二次函数的对称轴要满足题意则产生的情况表示： ，8 种情况满足的只有4 种; 综上所述得：使得函数在区间为增函数的概率为： 12 5 12 14 P . 2.在区间上任取一数，则的概率是（） AB C. D 【答案】C 【解析】 由题设可得, 即; 所以, 则由几何概型的概率公式. 故应 选C. 3. 某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元 / 次收费，并注册成为会员， 对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表： 消费次数第1次第2次第3次第4次第5次及以上 收费比例 195.090. 085.080. 0 该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下表： 假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题： (1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率； (2) 某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润； (3) 该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出 2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率 【答案】 (1) 0.4；(2) 45；（ 3） 7 4 . 【解析】 (1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为 0a2fxbx1 1 3 5b， ， ，1b 0a 2 2 bb x aa 1 b a ab， 1 11 11 3，1 52 12 12 32 5， 2 2fxaxbx1 ， 0,4x 1 224 x 1 2 1 3 1 4 3 4 211x32x4,1 Dd 4 1 P 消费次数第1次第2次第3次第4次第5次及以上 频数60201055 9 4.0 100 40 . (2) 该会员第 1次消费时，公司获得的利润为).(50150200元 第2次消费时，公司获得的利润为（元）40150-95.0200，所以，公司获得的平均利润为 （元）45 2 4050 . （3） 因为1:1:2:45:5:10:20， 所以用分层抽法抽出的8人中，消费2次的有4人， 分别为 4321 ,AAAA， 消费3次的有2人，分别设为 21,B B, 消费4次和5次及以上的各有1人，分别设为, DC从中抽出2人，抽 到 1 A的有DACABABAAAAAAA 112111413121 ,，共7种；去掉 1 A后，抽到 2 A的有, 22124232 BABAAAAA , 22 DACA共6种；去掉 214321 ,BBAAAA，后，抽到C的有：CD，共1种，总的抽取方法有 （种）281234567，其中恰有1人消费两次的抽取方法有（种）164444，所以，抽 出的两人中恰有1人消费两次的概率为 7 4 28 16 . 考向二统计与统计案例 1. 为考查某种疫苗预防疾病的效果, 进行动物实验, 得到统计数据如下： 现从所有试验动物中任取一只, 取到“注射疫苗”动物的概率为 （）求列联表中的数据,的值； （）绘制发病率的条形统计图, 并判断疫苗是否有效？ （）能够有多大把握认为疫苗有效？ 2 5 22xyAB 未发病发病合计 未注射疫苗20 注射疫苗 30 合计5050100 x A y B 10 附： 【答案】（）, ；（）详见解析；（）至少有 %9.99的把握认为疫 苗有效 . 【解析】（）设“从所有试验动物中任取一只, 取到“注射疫苗”动物”为事件A, 由已知得, 所以, （）未注射疫苗发病率为, 注射疫苗发病率为 发病率的条形统计图如图所示, 由图可以看出疫苗影响到发病率 2 2 () ()()()() n adbc abaccdbd 2 0 ()P XK0.050.010.0050.001 0 K3.8416.6357.87910.828 10y40B40x60A 302 () 1005 y P A10y40B40x60A 402 603 101 404 0.8 - 0.7 - 0.6 - 0.5 - 0.4 - 0.3 - 0.2 - 0.1 - O 未注射注射 0.66 0.25 0.8 - 0.7 - 0.6 - 0.5 - 0.4 - 0.3 - 0.2 - 0.1 - O 未注射注射 11 （） 所以至少有%9 .99的把握认为疫苗有效. 2. 在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在市的区开设分店为了确定 在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格记表 示在各区开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和 （个）23456 （百万元） 5. 2345 .46 （）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程； （）假设该公司在区获得的总年利润（单位：百万元）与之间的关系为， 请结合（）中的线性回归方程，估算该公司应在区开设多少个分店，才能使区平均每个分店的年利 润最大？ 参考公式： ， 【答案】（ 1）；（ 2）公司应在区开设4个分店，才能使区平均每个分店的年利润最 大 【解析】（ 1） 100 85 )( )( )( ,4,4 2 1 1 2 1 2 1 xx yyxx xnx yxnyx byx n i i n i ii n i i n i ii ，6.0 xbya， y关于x的线性回归方程6.085.0xy. （2）， 区平均每个分店的年利润， 时，取得最大值， 故该公司应在区开设4个分店，才能使区平均每个分店的年利润最大 2 2 100(20103040) 50504060 100000050 16.6710.828 5020603 SA x y x x y yxyx Az, x y 2 0.051.4zyx AA yb xa 1 22 1 n ii i n i i x ynxy b xnx 1 2 1 n ii i n i i xxyy xx ayb x 0.850.6yxAA 2 0.051.4zyx 2 0.050.850.8xx A 0.8 0.050.85 z tx xx 80 0.01 50.85x x 4x t AA 12 3.某商场对商品30天的日销售量y( 件 ) 与时间t( 天) 的销售情况进行整理，得到如下数据， 经统计分析， 日销售量y( 件) 与时间t(天) 之间具有线性相关关系 时间t( 天) 246810 日销售量y( 件) 3837323330 (1) 请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y关于t的线性回归方程 atby. (2) 已知商品30天内的销售价格z(元) 与时间t( 天) 的关系为, ),200( ,20 ),3020( ,100 Nttt Nttt z根据 (1) 中求出的线性回归方程，预测 t为何值时， 商品的日销售额最大参考公式： 2 1 2 1 )(tnt ytnyt b n i i n i ii ， tbya . 【答案】 (1)40 ty；(2) 预测当20t时，商品的日销售额最大，最大值为1600元 【解析】 (1) 根据题意，6)108642( 5 1 t，34)3033323738( 5 1 y， 9803010338326374382 5 1 i i iy t，220108642 22222 5 1 2 i i t， 所以回归系数为1 65220 3465980 )( 2 2 1 2 1 tnt ytnyt b n i i n i ii ， 406)1(34 tbya ， 故所求的线性回归方程为40 ty. （2）由题意得日销售额为, ,3020),40)(100( ,200),40)(20( Ntttt Ntttt L 当Ntt,200时，900)10(80020)40)(20( 22 tttttL， 所以当;90010 max Lt时， 当Ntt,3020时，900)70(4000140)40)(100( 22 tttttL， 所以当.160020 max Lt时， 综上所述，预测当20t时，A商品的日销售额最大，最大值为1600元 . 题型三概率、随机变量及其分布 A A A A 13 1. 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的 志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心 理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者 654321 ,AAAAAA和4名女志愿者 4321 ,BBBB，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. （I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 1 A但不包含的频率。 （II ）用 X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X的分布列与数学期望 EX. 【答案】（ I ）(II) X的分布列为 X01234 P X的数学期望是. 【解析】（ I ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 1 A但不包含 1 B的事件为M, 则 18 5 )( 5 10 4 8 C C MP； (II)由题意知X可取的值为：4, 3,2, 1 , 0，则 42 1 )0( 5 10 5 6 C C XP, 21 5 ) 1( 5 10 1 4 4 6 C CC XP, 21 10 )2( 5 10 2 4 3 6 C CC XP, 21 5 )3( 5 10 3 4 2 6 C CC XP, 42 1 )4( 5 10 4 4 1 6 C CC XP, 因此X的分布列为 X01234 P X的数学期望是 = 2. 某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理” 的原则，规定参加保险人员可自主选择 1 B 5 . 18 1 42 5 21 10 21 5 21 1 42 2EX 1 42 5 21 10 21 5 21 1 42 0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EXP XP XP XP XP X 151051 012342. 4221212142 14 四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为就诊的医疗机构. 若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区 附近有三家社区医院，并且他们的选择是等可能的、相互独立的. （1）求甲、乙两人都选择社区医院的概率； （2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率； （3）设在 4名参加保险人员中选择 社区医院的人数为，求的分布列和数学期望及方差. 【答案】 (1) ； (2) ；(3) 答案见解析 . 【解析】（ 1）设“甲、乙两人都选择社区医院”为时间A, 那么 9 1 3 1 3 1 )(AP, 所以甲、乙两人都选 择社区医院的概率为. (2)设“甲、乙两人选择同一家社区医院”为事件B，那么 3 1 3 1 3 1 )( 1 3 CBP, 所以甲、乙两人不选择 同一家社区医院的概率 3 2 )(1)(BPBP. 依题意) 3 1 ,4( B，所以 81 2 ) 3 2 () 3 1 ()( 4 4 4 4 k kkkk CCkP. 故的分布列为 01234 P 所以的数学期望 3 4 3 1 4)(E, 方差 9 8 ) 3 1 1( 3 1 4)(D. 3.袋中有大小相同的3个红球和2个白球 , 现从袋中每次取出一个球, 若取出的是红球，则放回袋中, 继续取 一个球 , 若取出的是白球, 则不放回 , 再从袋中取一球, 直到取出两个白球或者取球5次 , 则停止取球 , 设取球 次数为, (1) 求取球3次则停止取球的概率; (2) 求随机变量的分布列 . 【答案】（ 1）；（ 2）见解析 . ABC、 、 A A 1 9 2 3 A A 1 9 X X 27 200 15 【解析】（ 1）记“取球3次停止”为事件， 则； （3）由题意，可能的取值为5 ,4,3 ,2， 10 1 4 1 5 2 )2(XP; 200 27 )3(XP; ; 4000 549 4 1 4 3 4 3 5 2 4 1 4 3 5 2 5 3 4 1 5 2 5 3 5 3 )4(XP , 4000 2511 )4()3()2(1)5(XPXPXPXP 其分布表如下： 2345 A 3 2 12 3 127 ···· 5 5 45 4 4200 P A X X X P 1 10 27 200 549 4000 2511 4000