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1、压轴题(三)8(2020山西太原五中3月模拟)已知函数f(x)x3x1sinx,若f(a1)f(2a2)2,则实数a的取值范围是()A. BC. D答案C解析因为f(x)x3x1sinx,设g(x)f(x)1x3xsinx,定义域为R,则g(x)x3xsinxg(x),所以g(x)为奇函数,g(x)3x21cosx0,所以g(x)单调递增,由f(a1)f(2a2)2,得f(a1)1f(2a2)1,即g(a1)g(2a2),g(a1)g(2a2),a12a2,解得1a,故选C.12(多选)(2020山东聊城三模)已知双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,
2、若|AF1|BF2|2|AF2|,则()AAF1BF1ABB双曲线的离心率eC双曲线的渐近线方程为yxD原点O在以F2为圆心,AF2为半径的圆上答案ABC解析如图,设|AF2|x,则|BF2|AF1|2x,所以2a|AF1|AF2|x,|BF1|BF2|2a2x2a6a,|AB|3x6a,所以|BF1|AB|,所以AF1BF1AB,A正确;|AF1|2x4a,|BF1|AB|6a,在AF1B中,cosF1AB,在AF1F2中,|F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|cosF1AF2,即4c216a24a224a2a,所以e,B正确;由得,渐近线方程为yx,C正确;若原点O在以
3、F2为圆心,AF2为半径的圆上,则|OF2|AF2|,c2a,e2与B矛盾,不成立,D错误故选ABC.16已知数列an是各项均为正数的等比数列,其前n项和为Sn,点An,Bn均在函数f(x)log2x的图象上,An的横坐标为an,Bn的横坐标为Sn1,直线AnBn的斜率为kn.若k11,k2,则数列anf(an)的前n项和Tn_.答案(n2)2n2解析由题意可知A1(a1,log2a1),A2(a2,log2a2),B1(S11,log2(S11),B2(S21,log2(S21),解得等比数列an的公比为2,an2n1,f(an)log22n1n1,anf(an)(n1)2n1,Tn0201
4、21222(n2)2n2(n1)2n1,2Tn021122223(n2)2n1(n1)2n,得Tn222232n1(n1)2n,Tn(n1)2n(n2)2n2,Tn(n2)2n2.21(2020深圳高三调研考试二)在平面直角坐标系xOy中,P为直线l0:x4上的动点,动点Q满足PQl0,且原点O在以PQ为直径的圆上记动点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点E(2,0)的直线l1与曲线C交于A,B两点,点D(异于A,B)在C上,直线AD,BD分别与x轴交于点M,N,且3,求BMN面积的最小值解(1)由题意,不妨设Q(x,y),则P(4,y),(4,y),(x,y),O在以PQ为直径
5、的圆上,0,(4,y)(x,y)4xy20,y24x,曲线C的方程为y24x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),M(m,0),N(n,0),依题意,可设直线l1的方程为xtya(其中a2),由方程组消去x并整理,得y24ty4a0,则y1y24t,y1y24a8,同理可设直线AM的方程为xt1ym,直线BN的方程为xt2yn,可得y1y34m,y2y34n,m,n,又3,(x3x1,y3y1)3(mx1,y1),y3y13y1,y32y1,|MN|mn|y1y3y2y3|y1y2|y3|y1y2|2y1|y1|y1y2|,SBMN|MN|y2|y1y2|y1y2|2
6、8,当t0时,BMN的面积取得最小值,其最小值为8.22(2020山东滨州二模)已知函数f(x)ln xx2,g(x)x3x.(1)讨论函数h(x)f(x)g(x)的单调性;(2)当t1时,证明曲线yg(x)分别在点(1,g(1)和点(t,g(t)处的切线为不同的直线;(3)已知过点(m,n)能作曲线yg(x)的三条切线,求m,n所满足的条件解(1)因为h(x)ln xx2x3x(x0),所以h(x)x3x21,所以当0x0;当x1时,h(x)0.所以h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减(2)证明:因为g(x)3x21,所以g(1)2,g(t)3t21.又因为g(1)0,g(t
7、)t3t.所以曲线yg(x)在点(1,g(1)处的切线方程为y2x2;曲线yg(x)在点(t,g(t)处的切线方程为y(3t21)x2t3.因为t1,所以2t32.所以两条切线不可能相同(3)设直线l过点(m,n),且与曲线yg(x)在点(x0,xx0)处相切,设直线l的方程为ynk(xm),则消去k,得2x3mxmn0.因为过点(m,n)能作曲线yg(x)的三条切线,所以关于x0的方程2x3mxmn0有三个不等实根设(x)2x33mx2mn,则(x)有三个零点又(x)6x(xm),若m0,则(x)6x20,所以(x)在(,)上单调递增,(x)至多有一个零点,故m0不符合题意;若m0,(x)单调递增;当x(m,0)时,(x)0,(x)单调递增所以(x)的极大值为(m)m3mn,极小值为(0)mn.又(x)有三个零点,所以即所以m3mn0,则当x(,0)时,(x)0,(x)单调递增;当x(0,m)时,(x)0,(x)单调递增,所以(x)的极大值为(0)mn,极小值为(m)m3mn.又(x)有三个零点,所以即所以mnm3m.综上所述,当m0时,m3mn0时,mnm3m.
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