1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页5 函数的凸性与拐点 返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页任意弧段位于所张弦任意弧段位于所张弦的上方的上方,任意点的切任意点的切线在曲线上方线在曲线上方任意弧段位于所张弦任意弧段位于所张弦的下方，任意点的切的下方，任意点的切线在曲线下方线在曲线下方凸凸函数函数凹函数凹函数返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页ABC设设 A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)，则线段则线段AB间的任意点间的任意点C(x,y)可表可表示为：示为：xC返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注：注：如如(1)和和(2)
2、式中的不等号改为式中的不等号改为严格不等号严格不等号,则则定义定义1 设设 f 为区间为区间 I上的函数若对于上的函数若对于 I 上的任意上的任意则则称称 f 为为 I上的一个上的一个凸函数凸函数.反之如果总有反之如果总有则称则称 f 为为 I 上的一个上的一个凹函数凹函数.相应相应的函数称为的函数称为严格凸函数和严格凹函数严格凸函数和严格凹函数.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页引理引理 f(x)为为区间区间 I上的凸函数的充要条件是：上的凸函数的充要条件是：返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页从而有从而有 因为因为 f(x)为为 I 上上的凸的凸函数，所以函数，所
3、以 证证（必要性）（必要性）于是于是返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页整理后即为整理后即为(3)式式.即即由于必要性的证明是可逆的，从而得到由于必要性的证明是可逆的，从而得到（充分性）（充分性）对于任意对于任意 则则返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以所以 f 为为 I 上的凸函数上的凸函数.同理可证同理可证 f 为为 I 上的凸函数的充要条件是：对于上的凸函数的充要条件是：对于 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例 1 设设 f 为开为开区间区间(a,b)上的凸函数上的凸函数,那么它那么它在在证证(a,b)中每一点的左、右导数存在中每一点的左、右
4、导数存在.由引理得到由引理得到定理定理 3.10 设设 f 为定义在为定义在上的上的单调有界函数单调有界函数,则则右极限右极限返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这就这就证明了证明了F(h)有下界有下界.所以所以返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理 6.13 设设 f 为区间为区间 I 上的可导函数上的可导函数,则下述则下述论断互相等价：论断互相等价：返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页我们在这里再一次强
5、调，我们在这里再一次强调，的切线位于曲线的下方的切线位于曲线的下方.于相应曲线段的上方于相应曲线段的上方;而它而它 义是义是:曲线曲线 y=f(x)的弦位的弦位函数函数 f 是凸函数的几何意是凸函数的几何意 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(本例说明：在凸本例说明：在凸(凹凹)函数的条件下，可微函数函数的条件下，可微函数的的极值极值点与稳定点是等价的点与稳定点是等价的.)例例 3 设函数设函数 f(x)为为(a,b)上的可导凸上的可导凸(凹凹)函数函数.注注 我们实际上已经证明，对于可微凸函数，其极我们实际上已经证明，对于可微凸函数，其极此下面这个例题自然就产生了此下面这个例题
6、自然就产生了.值总是极小值值总是极小值,可微凹函数的极值总是极大值可微凹函数的极值总是极大值.因因 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理6.14 设设 f(x)在区间在区间 I 上二阶可导，则上二阶可导，则 f(x)在区间在区间I上是凸上是凸(凹凹)函数的充要条件为：函数的充要条件为：解解 因为因为例例 4 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页图中所示的图中所示的M 是一个拐点是一个拐点.定义定义2曲线的切线，并且切线的两侧分别曲线的切线，并且切线的两侧分别M是严格凸和严格凹的，这时称是严格凸和严格凹的，这时称返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页下面
7、两个定理是显然的下面两个定理是显然的.定理定理6.15定理定理6.16返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页但但根据定义根据定义2,点点(0,0)却是曲线却是曲线-2-1O12-11返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这是著名的这是著名的詹森不等式詹森不等式.由数学归纳法不难证明：由数学归纳法不难证明：f 为为 I 上的凸函数充要上的凸函数充要 即：即：返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页均为正数均为正数.詹森不等式詹森不等式例例 5证证返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页即即又因又因故有故有再由再由对数函数是严格增的，就证得对数函数是严格增的，就
8、证得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题1.两个凸函数的乘积是否是凸函数两个凸函数的乘积是否是凸函数?2.两个凸函数的复合是否是凸函数两个凸函数的复合是否是凸函数?3.任选一个凸函数任选一个凸函数,利用詹森不等式构造出新的利用詹森不等式构造出新的 不等式不等式.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页的严格凹函数，所以有的严格凹函数，所以有例例 6返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例 4 设函数设函数 f(x)为为(a,b)上的凸函数上的凸函数.不恒为常不恒为常数数,证明：若不然，可设证明：若不然，可设f(x0)为最大值，由凸函数的为最大值，由凸函数的定义，对于任意的定义，对于任意的
