二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方.doc

第八章 二次型二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用. 本章主要介绍二次型的基本概念,讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题.8.1 二次型及其矩阵表示在解析几何中,我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类,以平面二次曲线为例,一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出： (1.1)要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做:首先将坐标轴旋转一个角度以消去项, 再作坐标的平移以消去一次项. 这里的关键是消去项,通常的坐标变换公式为: (1.2)从线性空间与线性变换的角度看,(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关键是给出一个线性变换,使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现,类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到. 为了讨论问题的方便,只考虑二次齐次多项式.定义8.1.1 设是数域上的元二次齐次多项式: (1.3)称为数域上的元二次型,简称二次型. 如果数域为实数域,则称为实二次型; 如果数域为复数域,则称为复二次型; 如果二次型中只含有平方项,即称为标准形式的二次型,简称为标准形.说明: 在这个定义中,非平方项系数用主要是为了以后矩阵表示的方便.例8.1.2 下列多项式都是二次型:下列多项式都不是二次型:定义8.1.3 设是两组文字,系数在数域中的一组关系式 (1.4)称为由到的一个线性替换,或简称线性替换. 如果系数行列式,那么线性替换(1.4)就称为非退化的.在研究二次型时,矩阵是一个有力工具,因此我们先把二次型用矩阵来表示.令 , 则有 , 于是(1.3)式可以改写为记 则二次型可记为 , (1.5)其中是对称矩阵. 称(1.5)式为二次型的矩阵形式.例8.1.4 二次型 的矩阵形式为说明: 任给一个二次型就唯一地确定一个对称矩阵. 反之,任给一个对称矩阵可唯一地确定一个二次型. 因此, 二次型与对称矩阵之间有着一一对应的关系. 把对称矩阵称为二次型的矩阵,也把称为对称矩阵的二次型. 称对称矩阵的秩为二次型的秩.例8.1.5 给定对称矩阵则其对应的二次型为: 对于二次型,作线性替换,其中则 令 , 则有,即是对称矩阵.这样, 对称矩阵同样定义了一个二次型. 于是, 线性替换将二次型化为二次型.定义8.1.6 设是数域上的阶方阵,如果有数域上的阶可逆矩阵,使得则称矩阵与合同, 记作.合同是矩阵之间的一个关系.易知,合同关系具有:(1) 反身性: 即与合同，因为;(2) 对称性: 即若与合同，则与合同，因为由,即得;(3) 传递性: 即若与合同，与合同，则与合同，由和,即得.说明: 经过非退化的线性替换,新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的. 这样, 我们就把二次型的变换通过矩阵表示出来,为以后的讨论提供了有力的工具.另外， 在二次型变换时,我们总是要求所作的线性替换是非退化的, 因为这样我们可以把所得的二次型还原.定理8.1.7 若与合同,则.证明: 因为与合同,所以存在阶可逆矩阵,使得由于可逆矩阵乘以矩阵两边不改变矩阵的秩,故.说明: 这个定理给我们化二次型为标准形提供了保证. 这样,若是对角矩阵,则非退化的线性替换就把二次型化为了标准形. 因此, 把二次型化为标准形的问题其实质是: 对于对称矩阵,寻找可逆矩阵,使得为对角矩阵.8.2 化二次型为标准形现在来讨论用非退化的线性替换化简二次型的问题. 1 配方法定理8.2.1 数域上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化为标准形,即只含有平方项.证明: 对变量的个数作数学归纳法.对于,二次型就是, 显然已经是平方项了. 现假定对元的二次型,定理的结论成立.再设 分三种情形来讨论:(1) 中至少有一个不为零,例如,这时这里 是一个关于的二次型.令即这是一个非退化线性替换,它使由归纳法假定,对有非退化的线性替换能使它变成平方和于是非退化线性替换就使变成即变成平方和了.根据归纳法原理,定理得证.(2) 所有都等于零,但是至少有一个,不失普遍性, 设.令它是非退化线性变换,且使这时,上式右端是的二次型,且的系数不为零,属于第一种情况,定理成立.(3) ,由对称性知这时是元的二次型, 根据归纳法假定,它能用非退化线性替换变成平方和. 证毕.例8.2.2 用配方法化二次型为标准形,并写出所用的非退化线性替换.解: 由定理的证明过程,令, 即 得: 上式右端除第一项外已不再含, 继续配方,令, 即 得: 所有的非退化线性替换为例8.2.3 用配方法化二次型为标准形,并写出所用的非退化性替换.解: 由定理的证明过程, 令代入原二次型得:这时项不为零,于是令于是, 其中的系数为零,故没有写出.为求非退化线性替换, 我们可将第二个替换代入第一个替换中, 得说明: 在用配方法化二次型为标准形时,必须保证线性替换是非退化的. 有时,我们在配方过程中会遇到看似简单的方法,但得到的结果未必正确.如若令则.然而, 所以, 此处所作的线性替换是退化的,于是最后的结果并不是所求的.2 初等变换法由于二次型与对称矩阵一一对应, 所以能用非退化线性替换化标准形的过程也可以用矩阵的方法做到, 由8.1我们知道,矩阵合同可以将矩阵化为对角阵.于是,定理8.2.1可以用矩阵的语言描述出来.定理8.2.4 数域上任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 即存在可逆矩阵, 使得 (2.1)现在我们就根据定理8.2.4, 讨论用矩阵的初等变换来求定理8.2.4中的可逆矩阵及对角矩阵. 由前面的知识,我们知道,可逆矩阵可以表示为有限个初等矩阵的乘积,即 (2.2)将(2.2)式代入(2.1)式, 得 (2.3)(2.3)式表明,对对称矩阵施行次初等行变换及相同的次初等列变换, 就变为了对角矩阵. 而(2.2)式表明对单位矩阵施行上述的初等列变换, 就变为可逆矩阵. 这种利用矩阵的初等变换求可逆矩阵及对角矩阵,使得与合同的方法称为初等变换法. 具体做法: 对以阶对称矩阵和阶单位矩阵做成的矩阵进行初等变换则.例8.2.5 已知对称矩阵用初等变换法求可逆矩阵及对角矩阵,使得与合同.解: 所求可逆矩阵及对角矩阵为:且.例8.2.6 已知二次型用初等变换法将其化为标准形,并求非退化的线性替换.解: 二次型对应的矩阵为:于是有, 故非退化线性替换为这样,二次型化为8.3 惯性定理我们知道, 二次型与对称矩阵一一对应,并且对称矩阵可以合同化为对角矩阵. 又因为合同不改变矩阵的秩, 这样一来, 任意一个对称矩阵合同的对角矩阵对角线上不为零的元素的个数是不变的,就是矩阵的秩. 因此, 在一个二次型的标准形中,系数不为零的项的个数是唯一确定的, 与所作的非退化的线性替换无关. 至于标准形中的系数, 就不是唯一确定的.比如在例8.2.6中, 我们还可以进一步,令则二次型化为 .这说明, 在一般的数域内, 二次型的标准形不是唯一的, 而与所作的非退化的线性替换有关.下面只就实数域和复数域的情形来进一步讨论唯一性的问题.设对称矩阵的秩为,则由定理8.2.4知, 存在可逆矩阵,使得矩阵合同于对角矩阵, 即即此时原二次型化为 (3.1)在这些不为零的中,假设,这样(1) 在实数域内, 我们令则(3.1)式变为: 这就是说对称矩阵合同于下列对角矩阵:其中有个1, 个,个0.(2) 在复数域内, 我们令则(3.1)式变为: 这就是说对称矩阵合同于下列对角矩阵:其中有个1.定义8.3.1 在实数域内, 称为实二次型的规范形; 在复数域内, 称为复二次型的规范形.定理8.3.2 (惯性定理) 设是一个元实二次型,且可化为两个规范形:,则必有 .证明: 用反证法. 设, 由前面知识知, (3.2)又设 其中 于是, .令则 因为,齐次线性方程组必有非零解(个未知数,个方程式). 令其中一个非零解为:把这组解代入(3.2)式中的上式, 得到:但这时,故(3.2)式中的下式为这样就得出了矛盾.同理可证 也不可能.于是 .证毕.说明: 这个定理表明了实二次型的规范形是唯一的.定义8.3.3 在实二次型的规范形中, 则称是该二次型的秩,是它的正惯性指数,是负惯性指数, 称为的符号差.推论8.3.4 两个实二次型合同当且仅当它们有相同的秩和正惯性指数.定理8.3.5 设是一个元复二次型,则经过适当的非退化线性替换可以化为规范形,且规范形是唯一的.推论8.3.6两个复二次型合同当且仅当它们有相同的秩.8.4 正定二次型在实二次型中,正定二次型占有特殊的地位. 所以本节主要介绍实二次型,并讨论它们的正定性.定义8.4.1 设是一个元实二次型, 如果对任意维列向量都有:(1) ,则称为正定二次型,并称实对称矩阵为正定矩阵;(2) ,则称为负定二次型,并称实对称矩阵为负定矩阵;(3) ,则称为半正定二次型,并称实对称矩阵为半正定矩阵;(4) ,则称为半负定二次型,并称实对称矩阵为半负定矩阵;(5) 既不满足(3) ,又不满足(4) ,则称为不定二次型,并称实对称矩阵为不定矩阵.例8.4.2 已知和都是阶正定矩阵,证明也是正定矩阵.证明: 因为和都是阶正定矩阵,所以,于是即也是对称矩阵.又任意,有从而 即是正定二次型,故是正定矩阵.定理8.4.3 元实二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于.证明: 设元实二次型经过非退化线性替换化为标准形充分性. 已知,对于任意有,故必要性. 用反证法.假设有某个,当取时,有,此时这与已知为正定二次型矛盾.故. 证毕.推论8.4.4 实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是的特征值全为正数.推论8.4.5 实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是合同于单位矩阵.推论8.4.6 实对称矩阵为正定矩阵的必要条件是.证明: 因为为正定矩阵,由推论8.4.5, 合同于单位矩阵,所以有可逆矩阵使两边取行列式,有说明: 从定义可以看出,如果我们根据定义来判断二次型的正定性是比较麻烦的.所以我们下面给出一个方便判断的结论.定义8.4.7 子式称为矩阵的顺序主子式.定理8.4.8 元实二次型正定的充分必要条件是矩阵的顺序主子式全大于零.证明: 必要性. 已知二次型是正定的.令则对任意的列向量,有从而是元正定二次型.由上面的推论8.4.6知,充分性. 已知.对阶数作数学归纳法. 当时,由知是正定的. 假设论断对元二次型成立. 以下来证元二次型的情形.注意到,将关于配方,得其中 由知.如果能证明元实二次型是正定的, 则由定义知也是正定的. 根据行列式性质,得从而由归纳假设知元实二次型是正定的. 证毕.例8.4.9 判断下列二次型的正定性.解: 二次型的矩阵为因为 .所以是正定的.例8.4.10 试求的取值范围,使下列二次型为正定二次型.;解: 二次型对应的矩阵为矩阵的顺序主子式为为了使正定,必须有: 即有 解得 .最后,我们注意到正、负定二次型的关系,于是有下面的结论.定理8.4.11 元实二次型负定的充分必要条件是下列条件之一成立.(1) 的负惯性指数为;(2) 的特征值全为负数;(3) 合同于;(4) 的各阶顺序主子式负正相间,即奇数阶顺序主子式为负数,偶数阶顺序主子式为正数.定理8.4.12 元实二次型半正定的充分必要条件是下列条件之一成立.(1) 的正惯性指数与秩相等;(2) 的特征值全为非负数;(3) 合同于,其中为矩阵的秩;(4) 存在实矩阵使得;(5) 的各阶主子式都非负,其中主子式就是指行指标与列指标相同的子式. 说明: 仅有顺序主子式非负是不能保证半正定性的. 如就是一个反例.习题八(A)1. 证明：秩等于的对称矩阵等于个秩为1的对称矩阵之和.2. 设是的一个排列，则下面两个对角阵 与 合同。3. 若可逆矩阵和合同，求证：和也合同.4. 用配方法把下列二次型化成标准形.（1）；（2）；（3）；（4）5. 用初等变换法把下列二次型化为标准形，并求可逆矩阵.（1）；（2）；(3) ;(4) 6. 设是一个阶矩阵，证明（1）是反对称矩阵当且仅当对于任一个维向量，有；（2）如果是对称矩阵，且对任一个维向量有，那么.7. 如果把实阶矩阵按照合同分类，即两个实阶矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类？8. 证明：一个秩大于1的实二次型可以分解为两个实系数的一次多项式之积的充分必要条件是它的秩等于2且符号差等于零.9. 设阶实对称矩阵是正定的，是阶实可逆矩阵，证明：也是正定矩阵.10. 设是阶实对称矩阵，证明：是正定的当且仅当存在阶实可逆矩阵，使得.11. 设是一个正定矩阵，证明：（1）对于任意正实数，是正定矩阵；（2）对于任意正整数，是正定矩阵；（3）是正定矩阵；（4）的伴随矩阵也是正定矩阵.12. 判别下列二次型是否正定：（1）；（2）；（3）；（4）13. 如下列二次型是正定的，求的取值范围：（1）；（2）14. 设是实对称矩阵，证明：当实数充分大之后，是正定矩阵.15. 设是一个阶实对称矩阵，且，证明：必存在实维向量，使.16. 证明：是半正定的.习题八(B)1. 用非退化的线性替换化下列二次型为标准形：（1）；（2）2. 设实二次型，证明：的秩等于矩阵的秩.3. 设的正惯性指数为，秩为，证明：.4.设是一实二次型，若有实维向量使证明：必存在实维向量，使.5. 设是一个阶实对称矩阵，证明：存在一正实数使对任一个实维向量都有6. 设实二次型，其中，求证：的正惯性指数，负惯性指数.7. 设，其中是实数，问满足什么条件时二次型是正定的？8. 证明（1）如果是正定二次型，那么是负定二次型；（2）如果是正定矩阵，那么，这里的是的级顺序主子式；（3）如果是正定矩阵，那么；（4）如果是阶实可逆矩阵，那么.9. 证明：实对称矩阵是半正定的充分必要条件是的一切主子式全大于或等于零。其中级主子式为：10. 设是个互不相同的正实数，令。证明：是正定矩阵。