1、斯托克斯(Stokes)公式 环量与旋度第七节 第十章第十章 一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式二、环量与旋度二、环量与旋度三、空间曲线积分与路径无关的条件三、空间曲线积分与路径无关的条件一、一、斯托克斯公式斯托克斯公式有向曲面有向曲面 的正向边界曲线的正向边界曲线：的的正向正向与与 的的侧侧符合符合右手法则，如图右手法则，如图.是有向曲面是有向曲面 的的正向边界曲线正向边界曲线右手法则右手法则设设是光滑或分片光滑的有向曲面是光滑或分片光滑的有向曲面,如果函数如果函数一阶连续偏导数一阶连续偏导数,则则或或定理定理10.8斯托克斯托克斯公式斯公式 将将斯斯托克斯公式分为三式托克斯公式分为三式首先证
2、明第一式首先证明第一式.证明思路证明思路:第二类曲面积分第二类曲面积分第一类曲面积分第一类曲面积分二重积分二重积分第二类曲线积分第二类曲线积分第二类曲面积分第二类曲面积分证证方向为上侧方向为上侧 与平行与平行 z 轴的直线轴的直线只交于一点只交于一点,注注同理可证其余二式同理可证其余二式:三式三式相加可得相加可得(2)曲面曲面 与平行与平行 z z 轴的直线轴的直线交点多于一个交点多于一个,则可通过作辅助线面把则可通过作辅助线面把 分成分成与与z z 轴只交轴只交在每一部分上应用斯托克在每一部分上应用斯托克由于沿辅助曲线方向相由于沿辅助曲线方向相所以对这所以对这类类曲面斯托克斯公式仍成立曲面斯
3、托克斯公式仍成立.于一点的几部分于一点的几部分,然后相加然后相加,斯公式斯公式,反的两个曲线积分相加刚好抵消反的两个曲线积分相加刚好抵消,注注 表达了有向曲面上的曲面积分与其表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系边界曲线上的曲线积分之间的关系.1 斯托克斯斯托克斯公式公式的的实质实质:2 斯托克斯公式斯托克斯公式便于记忆的形式便于记忆的形式:或或cos cos cos dS3 斯托克斯斯托克斯公式公式是是格林公式格林公式的推广的推广斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形 是是xOy面上的面上的有向闭区域时有向闭区域时xyzO =LxyzO =LD这正是这
4、正是格林公式格林公式.4何时采用何时采用斯托克斯斯托克斯公式公式？的积分曲线的积分曲线 的参数方程不易写出，或用直接法的参数方程不易写出，或用直接法计算较繁时，可考虑用计算较繁时，可考虑用斯托克斯斯托克斯公式公式.在在斯托克斯斯托克斯公式公式中，中，是以是以 为边界的为边界的任意任意分片光滑曲面分片光滑曲面(只要只要P，Q，R在包含在包含 的一个空的一个空间区域内具有一阶连续的偏导数即可间区域内具有一阶连续的偏导数即可).5 如何选取如何选取？通常，取通常，取 为平面或球面等法向量为平面或球面等法向量的方向的方向余弦易求的曲面余弦易求的曲面.利用斯托克斯公式计算利用斯托克斯公式计算例例1 其中
5、其中 为平面为平面 x+y+z=1 被三坐标面所截三角形被三坐标面所截三角形的的整个边界整个边界,它的正方向与这个三角形上侧的法向它的正方向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则量之间符合右手规则.记三角形域为记三角形域为,取上侧取上侧,解解利用轮换对称性利用轮换对称性利用利用斯斯托克斯公式托克斯公式计算曲线积分计算曲线积分例例2解解 为柱面为柱面与平面与平面 y=z 的交线的交线从从 z 轴正向看为顺时针轴正向看为顺时针,计算计算解解(方法方法1)则其法线方向余弦则其法线方向余弦例例3设设 为平面为平面 z=y 上被上被 所围椭圆域所围椭圆域且且取下侧取下侧,(方法方法2)将将：参数化：参
6、数化：二、环量与旋度二、环量与旋度定义定义 向量场向量场称为称为注注改变改变的环行方向时的环行方向时,环量要变号环量要变号.1.环量环量为为定义定义 当当函数函数一阶连续偏导数时一阶连续偏导数时,称向量称向量2.旋度旋度由由哈密尔顿哈密尔顿算符算符的定义的定义注注3 利用旋度利用旋度,可将斯托克斯公式写为可将斯托克斯公式写为4 斯托克斯斯托克斯公式的物理解释公式的物理解释:等于等于向量向量1 2 设某刚体绕定轴设某刚体绕定轴 l 转动转动,M 为刚体上任一为刚体上任一点点,建立坐标系如图建立坐标系如图,则则角速度为角速度为,点点 M 的线速度为的线速度为5 旋度的力学意义旋度的力学意义线速度场
7、中任一点处的旋度线速度场中任一点处的旋度等于刚体旋转角速度的等于刚体旋转角速度的2倍，倍，这这就是就是“旋度旋度”一词的由来一词的由来.除去一个常数因子除去一个常数因子2外，恰好等于物外，恰好等于物体旋转的角速度体旋转的角速度.M根据斯托克斯公式和积分中值定理根据斯托克斯公式和积分中值定理.M称环量对面积的变化率称环量对面积的变化率向量场的旋度是一个向量向量场的旋度是一个向量,此此向量的方向是使方向向量的方向是使方向旋量取旋量取最大值的方向最大值的方向,此此方向的模是该点处最大方向的模是该点处最大方向旋量的值方向旋量的值.三、空间曲线积分与路径无关的条件三、空间曲线积分与路径无关的条件连续偏导
8、数连续偏导数定理定理10.9 设空间闭区域设空间闭区域G是一个是一个一维单连通域一维单连通域,要要条件是条件是即即G内的任一闭内的任一闭曲线总可张曲线总可张一片完全含一片完全含于于G内的内的曲面曲面注注当当成立时成立时或用定积分表示为或用定积分表示为例例4与路径无关与路径无关,并求函数并求函数解解 令令验证曲线积分验证曲线积分 积分与路径无关积分与路径无关,因此选择特殊路径因此选择特殊路径例例5 求电场强度求电场强度 的的旋度旋度 .解解 (除原点外除原点外)这这说明说明,在除点电荷所在原点外在除点电荷所在原点外,整个电场无旋整个电场无旋.保守场：保守场：而而与从与从 A 到到 B 的路径无关的路径无关.内容小结内容小结1.斯斯托克斯公式托克斯公式4.向量向量即即本章小结本章小结 梯度梯度:散度散度:旋度旋度:则则1.场论中的三个重要概念场论中的三个重要概念场论中的三个重要定理场论中的三个重要定理（1）格林公式）格林公式（2）斯托克斯公式）斯托克斯公式（3）高斯公式）高斯公式本章知识结构图本章知识结构图备用题备用题例例1-1 相交的圆弧连接而成的闭曲线相交的圆弧连接而成的闭曲线.解解 在球面上，所以在球面上，所以从从x轴正向轴正向看看为逆时针方向为逆时针方向.取上侧取上侧例例2-1解解法线方向余弦法线方向余弦由对称性由对称性例例4-1解解
