1、湖北省新高考联考协作体2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1设集合Ax|x25x+60，Bx|log2（x1）0，则AB（）A（，2）B（2，1）C（3，+）D（2，3）2z的共轭复数的虚部为（）A1B1CiDi3已知a20.5，b0.52，clog0.52，则（）AbcaBbacCcabDcba4等边三角形ABC的边长为1，那么+等于（）A3B3CD5设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则（）A若m，n，lm，ln，则lB若lm，mn，l，则nC若lm，m，n，则lnD若m，n，ln，则lm6已知函数f（x）s
2、in（2x+）给出下列结论：f（x）的最小正周期为；f（）是f（x）的最大值；把函数ysin2x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数yf（x）的图象其中所有正确结论的序号是（）ABCD7已知正数x，y满足：+1，则x+y的最小值为（）ABC6D8在平行四边形ABCD中，AB2，BC1，DAB60，点E为边AB的中点，点F为边BC上的动点，则的取值范围是（）ABC，3D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9下列说法正确的是（）A已知，为非零向量，则“0”是“与的夹角为锐角”的必要不充
3、分条件B用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台C若两个平面互相垂直，则过其中一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面D在ABC中，AB是sinAsinB的充要条件10已知f（x）的定义域为R，其函数图象关于直线x3对称且f（x+3）f（x3），当x0，3时，f（x）2x+2x11，则下列结论正确的是（）Af（x）为偶函数Bf（x）在6，3上单调递减Cf（x）关于x3对称Df（2021）711四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现点数为6的是（）A平均数为3，中位数为2B中位数为3，众数为2C平均数为2，方差为2.4D中位数
4、为3，方差为2.812如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则下列四个命题正确的是（）A直线BC与平面ABC1D1所成的角等于B点A1到面ABC1D1的距离为C两条异面直线D1C和BC1所成的角为D三棱柱AA1D1BB1C1外接球表面积为3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知|3，（1，2），且，则的坐标为 14已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30，则该圆锥的表面积为 15已知角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3，4），则tan（2+）的值为 16我国著名的数学家秦九韶在数书九章提出了“三斜求积术”他把三角形的三条边分别称为小
5、斜、中斜和大斜三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积所谓“实”、“隅”指的是在方程px2q中，p为“隅”，q为“实”即若ABC的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则S2a2c2（）2已知点D是ABC边AB上一点，AC3，BC2，ACD45，tanBCD，则ABC的面积为 四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17在复平面内，复数za2a2+（a23a4）i（其中aR）（1）若复数
6、z为纯虚数，求a的值；（2）对应的点在第四象限，求实数a的取值范围18已知向量|1，|2若与的夹角为120（1）求|2|；（2）向量k+与k互相垂直，求实数k的值19已知a、b、c是ABC中A，B，C的对边，a4，b6，cosA（1）求c；（2）求cos4B的值20新冠肺炎疫情期间，某地为了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分100分），根据调查数据制成如表格和频率分布直方图已知评分在80，100的居民有900人满意度评分40，60）60，80）80，90）90，100）满意度等级不满意基本满意满意非常满意（1）求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；
7、2）定义满意度指数（满意程度的平均分）/100，若0.8，则防疫工作需要进行大的调整，否则不需要大调整根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整？21已知函数f（x）sin（x+）+sin（x）+cosx+a的最大值为1（1）求常数a的值；（2）求函数f（x）的单调递减区间；（3）求使f（x）0成立的x的取值集合22如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱A1A底面ABC，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，D是AC的中点（）求证：B1C平面A1BD；（）求直线AB1与平面A1BD所成角的正弦值；（）求二面角ABDA1的大小答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1设集
8、合Ax|x25x+60，Bx|log2（x1）0，则AB（）A（，2）B（2，1）C（3，+）D（2，3）解：Ax|x2或x3，Bx|x11x|x2，AB（3，+）故选：C2z的共轭复数的虚部为（）A1B1CiDi解：z，故，所以虚部为1故选：A3已知a20.5，b0.52，clog0.52，则（）AbcaBbacCcabDcba解：20.5201，00.521，log0.52log0.510，cba故选：D4等边三角形ABC的边长为1，那么+等于（）A3B3CD解：由题意可得，故选：D5设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则（）A若m，n，lm，ln，则lB若lm，mn，l，则
9、nC若lm，m，n，则lnD若m，n，ln，则lm解：由是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，知：在A中，若m，n，lm，ln，则l与相交、平行或l，故A错误；在B中，若lm，mn，l，则由线面垂直的判定定理得n，故B正确；在C中，若lm，m，n，则ln，故C错误；在D中，若m，n，ln，则l与m相交、平行或异面，故D错误故选：B6已知函数f（x）sin（2x+）给出下列结论：f（x）的最小正周期为；f（）是f（x）的最大值；把函数ysin2x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数yf（x）的图象其中所有正确结论的序号是（）ABCD解：函数f（x）sin（2x+）的最小正周期为
10、故A正确；f（）sin（+）sin，不是f（x）的最大值，故B错误；把函数ysin2x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得ysin（2x+）的图象，故C错误，故选：A7已知正数x，y满足：+1，则x+y的最小值为（）ABC6D解：因为+1，所以x+yx+y+22（x+y+2）（）22+2+2，当且仅当时取等号，此时取得最小值故选：B8在平行四边形ABCD中，AB2，BC1，DAB60，点E为边AB的中点，点F为边BC上的动点，则的取值范围是（）ABC，3D解：由题意如图：F在AE上的射影为P，当F在C点时，射影为M，F在B时，射影为N，显然F在C时的投影取得最小值，在B时，投影取得最大值，
11、DM|1，|DN|DB|cos30，则的取值范围是：1，故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9下列说法正确的是（）A已知，为非零向量，则“0”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件B用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台C若两个平面互相垂直，则过其中一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面D在ABC中，AB是sinAsinB的充要条件解：对于A：当0时，与的夹角为锐角，也可能为零角，故充分性不成立，当与的夹角为锐角时，0一定成立，故必要性成立，故A正确；对于B
12、用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，不用平行于圆锥底面的平面截圆锥，则不可能得到一个圆锥和一个圆台，故B不正确；对于C：由面面垂直的性质定理可得，C正确；对于D：在ABC中，ABabsinAsinB，所以AB是sinAsinB的充要条件，故D正确故选：ACD10已知f（x）的定义域为R，其函数图象关于直线x3对称且f（x+3）f（x3），当x0，3时，f（x）2x+2x11，则下列结论正确的是（）Af（x）为偶函数Bf（x）在6，3上单调递减Cf（x）关于x3对称Df（2021）7解：因为函数f（x）的定义域为R，且函数图象关于直线x3对称，则f（x3）f（x3）恒成
13、立，又f（x+3）f（x3），所以f（x3）f（x+3），故f（x3）3f（x3）+3，即f（x）f（x），所以函数f（x）是偶函数，故选项A正确；因为f（x+3）f（x3），所以f（x+6）f（x+33）f（x），即f（x+6）f（x），故函数f（x）是周期为6的周期函数，当x0，3时，f（x）2x+2x11，则f（x）在0，3上单调递增，所以f（x）在6，3上单调递增，故选项B错误；因为f（x）为偶函数且f（x）图象关于x3对称，则有f（x3）f（x3）f（3x），f（x3）f（x3）f（x+3），所以f（3x）f（3+x），则f（x）的图象关于直线x3对称，故选项C正确；因为函数f（x）
14、是周期为6的偶函数，则f（2021）f（3366+5）f（5）f（5）f（5+6）f（1）2+2117故选项D正确故选：ACD11四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现点数为6的是（）A平均数为3，中位数为2B中位数为3，众数为2C平均数为2，方差为2.4D中位数为3，方差为2.8解：对于A，例如2，2，2，3，6可满足条件且出现点数为6，选A；对于B，例如2，2，3，4，6可满足条件且出现点数为6，选B；对于D，例如2，2，3，4，6可满足条件且出现点数为6，选D；对于C，平均数为2，假设出现点数为6，则方差大于2.4，不选C故选：ABD12
15、如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则下列四个命题正确的是（）A直线BC与平面ABC1D1所成的角等于B点A1到面ABC1D1的距离为C两条异面直线D1C和BC1所成的角为D三棱柱AA1D1BB1C1外接球表面积为3解：对于A：连接B1C，交BC1于点O，由题意，四边形BCC1B1为正方形，COBC1，又因为AB平面ABC1D1，CO平面BCC1B1，所以ABCO，所以CO平面ABC1D1，所以CBO为直线BC与平面ABC1D1所成的角，又CBO，故A不正确；对于B：因为CO平面ABC1D1，所以CO为点C到平面ABC1D1的距离，又因为棱长为2，所以CO，故B正确；对于C：连接D
16、1C，A1B，A1C1，因为D1CA1B，所以A1BC1为异面直线D1C和BC1所成的角，又因为BC1A1BA1C12，所以A1BC1，故C正确；对于D：因为三棱柱AA1D1BB1C1的外接球与正方体的外接球相同，设外接球半径为R，R，所以外接球表面积为S4R212，故D不正确故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知|3，（1，2），且，则的坐标为 （，）或（，）解：设平面向量（x，y），因为|3，所以3，.又（1，2），且，所以2xy0，.由组成方程组，解得，或；所以的坐标为（，）或（，）故答案为：（，）或（，）14已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30，则该圆锥
17、的表面积为 75解：设圆锥的高为h，底面圆的半径为r，母线为l，因为圆锥的底面半径为6，其体积为30，则，解得h，所以母线l，则该圆锥的表面积为S故答案为：7515已知角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3，4），则tan（2+）的值为 解：角的终边过点P（3，4），tan，可得tan2，则tan（2+）故答案为：16我国著名的数学家秦九韶在数书九章提出了“三斜求积术”他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得
18、的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积所谓“实”、“隅”指的是在方程px2q中，p为“隅”，q为“实”即若ABC的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则S2a2c2（）2已知点D是ABC边AB上一点，AC3，BC2，ACD45，tanBCD，则ABC的面积为解：因为tanACBtan（ACD+BCD），所以cosACB，由余弦定理可知AB2AC2+BC22ACBCcosACB，16，即AB4，根据“三斜求积术”可得S2，所以S故答案为：四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17在复平面内，复数za2a2+（a23a4）i（其中aR）
19、1）若复数z为纯虚数，求a的值；（2）对应的点在第四象限，求实数a的取值范围解：（1）因为复数z为纯虚数，所以，解得a2；（2）因为z对应的点在第四象限，所以，解得：a（2，4）即a的取值范围（2，4）18已知向量|1，|2若与的夹角为120（1）求|2|；（2）向量k+与k互相垂直，求实数k的值解：（1）|2；（2）因为向量k+与k互相垂直，所以（k+）（k）0，整理可得k3k10，解得k19已知a、b、c是ABC中A，B，C的对边，a4，b6，cosA（1）求c；（2）求cos4B的值解：（1）因为a4，b6，cosA，所以在ABC中，由余弦定理得，a2b2+c22bccosA，可得48
20、36+c22，即c2+4c120，所以c2，或6，负值舍去所以c2（2）由已知，得cosB，所以cos2B2cos2B1，所以cos4B2cos22B120新冠肺炎疫情期间，某地为了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分100分），根据调查数据制成如表格和频率分布直方图已知评分在80，100的居民有900人满意度评分40，60）60，80）80，90）90，100）满意度等级不满意基本满意满意非常满意（1）求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；（2）定义满意度指数（满意程度的平均分）/100，若0.8，则防疫工作需要进行大的调整，否则不需要大调整根据所
21、学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整？解：（1）由频率分布直方图知（0.002+0.004+0.014+0.02+0.035+a）101，即10（0.075+a）1，解得a0.025，设总共调查n人，则，解得n1500即调查的总人数为1500人（2）由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02，0.04，0.14，0.20，0.35，0.25，0.8070.8，该区防疫工作不需要进行大调整21已知函数f（x）sin（x+）+sin（x）+cosx+a的最大值为1（1）求常数a的值；（2）求函数f（x）的单调递减区间；（3）求使f（x）0成立的x的取值集合解：（1）由题意：函数f（x）sin
22、x+）+sin（x）+cosx+a，化简得：f（x）sinxcos+cosxsin+sinxcoscosxsin+cosx+asinx+cosx+a2sin（x+）+a，sin（x+）的最大值为1，f（x）21+a1，解得：a1（2）由（1）可知f（x）2sin（x+）1根据三角函数的性质可得：x+2k+，2k+（kZ）即2k+x+2k+，（kZ）解得：2k+x2k+，（kZ），f（x）的单调递减区间为2k+，2k+（kZ）；（3）由题意：f（x）0，即2sin（x+）10，可得：sin（x+）2k+x+2k+，（kZ）解得：2kx2k+f（x）0成立的x的取值范围是x|2kx2k+，（kZ
23、22如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱A1A底面ABC，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，D是AC的中点（）求证：B1C平面A1BD；（）求直线AB1与平面A1BD所成角的正弦值；（）求二面角ABDA1的大小【解答】（）证明：设AB1A1BM，连接DM，因为四边形AA1B1B为平行四边形，所以M为AB1中点，又因为D为AC中点，所以DMB1C，因为DM平面A1BD，B1C平面A1BD，所以B1C平面A1BD；（）解：取A1B中点N，连接MN、AN，因为A1A底面ABC，BD平面ABC，所以A1ABD，因为底面ABC是正三角形，D是AC的中点，所以BDAC，又因为A1AACA，所以BD平面A1AD，因为AN平面A1AD，所以ANBD，又因为A1AAD1，所以ANA1D，所以AN平面A1BD，于是MN为AB1在平面A1BD内投影，所以AMN为直线AB1与平面A1BD所成角，sinAMN，所以直线AB1与平面A1BD所成角的正弦值；（）解：由（）知BD平面A1AD，因为A1D平面A1AD，所以BDA1D，又因为BDAC，所以A1DA为二面角ABDA1的平面角，因为A1AD90，A1AAD，所以A1DA45，所以二面角ABDA1的大小为45
