1、1第五章 相似矩阵第五章第五章 相似矩阵相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量5.2 矩阵相似对角化矩阵相似对角化5.3 Jordan标准形介绍标准形介绍*2第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量5.1 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量一、问题的引入一、问题的引入二、基本概念二、基本概念三、特征值与特征向量的求解方法三、特征值与特征向量的求解方法四、特征值的性质四、特征值的性质五、特征向量的性质五、特征向量的性质3第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量一、问题的引入一、问题的引入矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用，矩阵的特征值与特征向
2、量理论有着非常广泛的应用，如工程技术领域中的振动问题和稳定性问题，数学领域如工程技术领域中的振动问题和稳定性问题，数学领域中方阵的对角化、微分方程组的求解、线性方程组的迭中方阵的对角化、微分方程组的求解、线性方程组的迭代法求解等问题都会用到该理论。代法求解等问题都会用到该理论。4第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量一、问题的引入一、问题的引入引例引例种群增长模型种群增长模型 设设 x 代表某种群代表某种群 C 的数量，的数量，y 代表某种群代表某种群 D 的数量，的数量，初态为初态为一年后的状态为：一年后的状态为：即即则第则第 k 年后的状态为：年后的状态为：问题问题如何计算如何计算
3、工业增长模型工业增长模型)(某国的工业增长水平某国的工业增长水平)(该国的环境污染程度该国的环境污染程度)5第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量一、问题的引入一、问题的引入1.初步设想初步设想若存在一个可逆矩阵若存在一个可逆矩阵 P，使得，使得则则进一步有进一步有6第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量且这两个向量且这两个向量必须必须线性无关线性无关且这两个向量且这两个向量必须必须线性无关线性无关2.简单分析简单分析一、问题的引入一、问题的引入寻找一个可逆矩阵寻找一个可逆矩阵 P，使得，使得即即记记则则对二阶方阵对二阶方阵 A寻找两个向量寻找两个向量它们被它们被 A 左乘
4、左乘后正好等于自后正好等于自己的某个己的某个倍数倍数7第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量一、问题的引入一、问题的引入3.一般性问题的提出一般性问题的提出对于方阵对于方阵 A，求向量，求向量 X 和和(实实)数数 l l，使得，使得 比如，对于矩阵比如，对于矩阵则有则有令令从而有从而有8第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量二、基本概念二、基本概念定义定义 设设 A 为为 n 阶阶方阵方阵，如果存在数如果存在数 l l 和和 n 维维非零非零向量向量 X则称数则称数 l l 为方阵为方阵 A 的的特征值特征值，非零非零使得使得 A X=l l X，向量向量 X 称为称为 A
5、的属于特征值的属于特征值 l l 的的特征向量特征向量。比如，若比如，若 X 是矩阵是矩阵 A 的属于特征值的属于特征值 l l 0 的特征向量，的特征向量，(2)属于同一个特征值的特征向量属于同一个特征值的特征向量不是惟一不是惟一的。的。则则 也是也是 A 的属于特征值的属于特征值 l l 0 的特征向量。的特征向量。1.特征值与特征向量特征值与特征向量注意注意(1)特征值特征值 l l 可以为零；可以为零；9第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量由由 有有该方程组有该方程组有非零解非零解的充要条件是的充要条件是分析分析二、基本概念二、基本概念1.特征值与特征向量特征值与特征向量2.
6、特征多项式特征多项式记记定义定义则称则称 为方阵为方阵 A 的的特征多项式特征多项式；称称 为方阵为方阵 A 的的特征方程特征方程。10第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量特征多项式特征多项式 是是 l l 的的 n 次次多项式，多项式，特征多项式特征多项式“具体具体”形式形式其中，其中，称为称为 A 的的迹迹，即即记为记为11第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量由于特征方程在复数范围内恒有解，且其解的由于特征方程在复数范围内恒有解，且其解的个数为特征方程的次数，个数为特征方程的次数，步骤步骤(1)求解特征方程求解特征方程 得到特征值。得到特征值。值值(重根按重数计算重根按
7、重数计算)。(2)设设 l l=l l i 是方阵是方阵 A 的一个特征值，的一个特征值，则则 X 就是就是 A 的的求解齐次线性方求解齐次线性方得到非零解得到非零解程组程组对应于特征值对应于特征值 l l i 的特征向量。的特征向量。三、特征值与特征向量的求解方法三、特征值与特征向量的求解方法因此因此 n 阶方阵有阶方阵有 n 个特征个特征12第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量例例 求求矩阵矩阵的的特征值与特征向量。特征值与特征向量。解解(1)A 的特征多项式为的特征多项式为故故 A 的特征值为的特征值为(单根单根)(单根单根)13第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量(
8、2)当当 时，时，求解求解得得基础解系为基础解系为故故 A 的属于特征值的的属于特征值的 所有特征向量为所有特征向量为由由 有有14第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量(3)当当 时，时，求解求解得得基础解系为基础解系为故故 A 的属于特征值的的属于特征值的 所有特征向量为所有特征向量为由由 有有15第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量解解(1)A 的特征多项式为的特征多项式为故故 A 的特征值为的特征值为(单根单根)(重根重根)16第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量(2)当当 时，时，求解求解得得基础解系为基础解系为故故 A 的属于特征值的的属于特征值的 所有
9、特征向量为所有特征向量为由由 有有17第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量(3)当当 时，时，求解得基础解系为求解得基础解系为由由 有有故故 A 的对应于特征值的对应于特征值 的所有特征向量为的所有特征向量为18第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量例例 求求矩阵矩阵的的特征值与特征向量。特征值与特征向量。解解(1)A 的特征多项式为的特征多项式为故故 A 的特征值为的特征值为(单根单根)(重根重根)19第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量求解得基础解系为求解得基础解系为故故 A 的对应于特征值的对应于特征值 的所有特征向量为的所有特征向量为(2)当当 时，时，由由
10、 有有20第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量(3)当当 时，时，由由 有有求解得基础解系为求解得基础解系为故故 A 的对应于特征值的对应于特征值 的所有特征向量为的所有特征向量为21第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量解解设设 l l 是是 A 的特征值，对应的特征向量为的特征值，对应的特征向量为 X，则则即即又由又由 由由 有有即得即得 或或例例设方阵设方阵 A 为幂等矩阵为幂等矩阵(即即 )，求求 A 的特征值。的特征值。因此因此有有22第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量设设 n 阶方阵阶方阵 的特征值为的特征值为则有则有性质性质1四、特征值的性质四、特征
11、值的性质证明证明 由由 有有又又两式比较即得性质成立。两式比较即得性质成立。结论结论 方阵方阵 A 可逆可逆23第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量若若 为为 A 的特征值，的特征值，注注为为 A 的特征值，的特征值，不能推出不能推出，设设 为为 A 的特征值，则有的特征值，则有性质性质2四、特征值的性质四、特征值的性质(1)为为 的特征值；的特征值；(3)若若 A 可逆，则可逆，则 为为 的特征值。的特征值。(2)为为 的特征值的特征值证明证明(1)由由(2)由由(3)由由为为 A+B 的特征值，的特征值，为为 A B 的特征值。的特征值。24第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与
12、特征向量设设 为为 A 的特征值，则有的特征值，则有性质性质3四、特征值的性质四、特征值的性质(1)为为 的特征值；的特征值；(2)为为 的特征值，的特征值，证明证明(2)(略略)。(1)由由其中，其中，25第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量故矩阵故矩阵 B 的特征值分别为的特征值分别为例例 已知三阶矩阵已知三阶矩阵 A 的特征值为的特征值为 1,-1,2，试求矩阵试求矩阵 B 的特征值以及的特征值以及矩阵矩阵解解(1)令令则则(2)26第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量例例 设四阶方阵设四阶方阵 A 满足：满足：求求 的一个特征值。的一个特征值。解解(1)由由 A 是
13、四阶方阵且是四阶方阵且知知 A 可逆且有可逆且有由由可得可得从而有从而有(2)又由又由知知 A 有一个特征值为有一个特征值为故故 有一个特征值为有一个特征值为即得即得 有一个特征值为有一个特征值为27第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量性质性质1五、特征向量的性质五、特征向量的性质方阵方阵 A 的一个特征值对应的特征向量的的一个特征值对应的特征向量的非零非零线性组合线性组合仍为该特征值对应的特征向量。仍为该特征值对应的特征向量。则有则有证明证明设设 是是 A 的特征值的特征值 对应的两个特征向量，对应的两个特征向量，即即 是是 A 的特征值的特征值 对应的特征向量。对应的特征向量。注
14、注方阵方阵 A 的的一个一个特征值对应的所有特征向量构成方阵特征值对应的所有特征向量构成方阵 A 的的一个一个特征子空间特征子空间。但由于不包含零向量，因此严格地讲，但由于不包含零向量，因此严格地讲，特征子空间并不是特征子空间并不是向量空间向量空间。28第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量五、特征向量的性质五、特征向量的性质性质性质2属于不同特征值的特征向量是线性无关的。属于不同特征值的特征向量是线性无关的。证明证明下面用下面用数学归纳法数学归纳法证明。证明。对应的特征向量，对应的特征向量，(1)对于对于令令(a)(b)由于由于故有故有同理可得同理可得即性质对即性质对 时成立。时成立
15、由由 得得则有则有设设 是方阵是方阵 A 的不同特征值的不同特征值29第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量令令则有则有(c)(d)又由于又由于故有故有代入代入(d)可得可得性质得证。性质得证。根据归纳法假设，有根据归纳法假设，有(2)假设假设 时性质成立，时性质成立，需证需证 时也成立时也成立.由由 得得30第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量向量，证明向量，证明 不是不是 A 的特征向量。的特征向量。例例 设设 是是 A 的两个不同的特征值的两个不同的特征值 对应的特征对应的特征假设假设 是是 A 的特征向量，的特征向量，则存在则存在 使得使得证证 由题意有由题意有 线
16、性无关线性无关，且且由由 线性无关，有线性无关，有即即与与 矛盾，矛盾，故故 不是不是 A 的特征向量。的特征向量。31第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量五、特征向量的性质五、特征向量的性质性质性质3 方阵方阵 A 的的 s 个不同的特征值各自所对应的个不同的特征值各自所对应的 s 组线性无关组线性无关的特征向量并在一起仍然是线性无关的。的特征向量并在一起仍然是线性无关的。证明证明 设设 A 的特征值及各自对应的线性无关的特征向量如下：的特征值及各自对应的线性无关的特征向量如下：(线性无关线性无关)(线性无关线性无关)(线性无关线性无关)令令32第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值
17、与特征向量假设假设则由则由性质性质 1 可知可知 是是 对应的特征向量，对应的特征向量，再由再由性质性质 2 与与上式上式(a)可推出矛盾，可推出矛盾，因此因此又由又由 线性无关，有线性无关，有故性质的结论成立。故性质的结论成立。记记对对式式(a)两端反复左乘两端反复左乘 A，注注而直接借助范德蒙行列式可证：而直接借助范德蒙行列式可证：则则(a)则不需要利用则不需要利用性质性质 1 与与性质性质 2，33第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量对于对于 n 阶矩阵阶矩阵 A，如果，如果 l l 0 是是 A 的特征方程的的特征方程的 k 重根，重根，则矩阵则矩阵 A 对应于特征值对应于特
18、征值 l l 0 的线性无关的特征向量的的线性无关的特征向量的五、特征向量的性质五、特征向量的性质性质性质4个数个数证明证明(略略)表明表明对于对于 n 阶矩阵阶矩阵 A，不一定能找到，不一定能找到 n 个线性无关的特征个线性无关的特征向量，向量，除非对于除非对于 A 中的任意一个特征值，其线性无关中的任意一个特征值，其线性无关的特征向量的的特征向量的个数个数正好等于该特征值的正好等于该特征值的重数重数。34第五章 相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量例例 求求矩阵矩阵的的特征值与特征向量。特征值与特征向量。得到特征值为得到特征值为附：附：方阵在复数域内总存在特征值方阵在复数域内总存在特征值但即使是但即使是实实矩阵，矩阵，解解(1)令令(2)矩阵矩阵 A 对应于特征值对应于特征值 的特征向量分别为的特征向量分别为其特征值及特阵向量不一定是其特征值及特阵向量不一定是实实的。的。可见，方阵在复数域内总有特征值，可见，方阵在复数域内总有特征值，
