高中数学选修2-2数系的扩充和复数的概念.docx

3.1.1数系的扩充和复数的概念 学习目标 1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i.2. 理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.知识点一复数的引入在实数范围内，方程 x2 1 0 无解 .为了解决 x2 1 0 这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数 i，使 i 是方程 x2 1 0 的根，即使 i i 1.把这个新数 i 添加到实数集中去，得到一个新数集 .把实数 a 与实数 b 和 i 相乘的结果相加， 结果记作 abi( a，b R)，这些数都应在新数集中 .再注意到实数 a 和数 i，也可以看作是 a bi(a，b R)这样的数的特殊形式， 所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是C a bi|a，b R ，称 i 为虚数单位 .思考(1) 分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4 25.(2) 虚数单位 i 有哪些性质？答案(1)在有理数集中：x4 25 (x2 5)(x2 5).在实数集中： x4 25 (x2 5)(x25) ( x2 5)(x 5)(x 5).在复数集中： x4 25 (x2 5)(x25) ( x2 5)(x 5)(x 5) ( x 5i)( x 5i)( x 5)(x 5).(2) 虚数单位 i 有如下几个性质： i 的平方等于 1，即 i2 1；实数与i 可进行四则运算，并且原有的加法、乘法运算律仍然成立； i 的乘方： i4n 1， i4n1 i， i 4n 2 1， i 4n 3 i(n N* ).知识点二复数的概念、分类1.复数的有关概念(1) 复数的概念：形如a bi 的数叫做复数，其中a，b R， i 叫做虚数单位 .a 叫做复数的实第1 页 共 8 页部， b 叫做复数的虚部 .(2)复数的表示方法：复数通常用字母z 表示，即 z a bi.(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C 表示 .2.复数的分类及包含关系实数 b 0(1)复数 (abi ，a， b R)纯虚数 a 0虚数 b 0非纯虚数 a 0(2) 集合表示：思考(1)两个复数一定能比较大小吗？(2) 复数 a bi 的实部是 a，虚部是 b 吗？答案(1)不一定，只有当这两个复数是实数时，才能比较大小.(2) 不一定，对于复数 z abi( a， b R )，实部才是 a，虚部才是 b.知识点三复数相等复数相等的充要条件设 a，b，c，d 都是实数，那么 a bi c di? a c 且 bd.即它们的实部与虚部分别对应相等.思考(1)若复数 za bi(a， b R).z 0，则 a b 的值为多少？(2) 若复数 z1，z2 为 z1 3 ai(a R)， z2 b i(b R )，且 z1 z2，则 a b 的值为多少？答案 (1)0； (2)4.题型一复数的概念例 1写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.12 3i； 3 2i；2 i； ；3i ； 0.1解 的实部为2，虚部为 3，是虚数； 的实部为 3，虚部为 2，是虚数； 的实部为2，虚部为 1，是虚数； 的实部为，虚部为0，是实数； 的实部为0，虚部为3，是纯虚数； 的实部为0，虚部为0，是实数 .反思与感悟复数 a bi( a， bR )中，实数 a 和 b 分别叫做复数的实部和虚部.特别注意， b第2 页 共 8 页为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部.跟踪训练1下列命题中，正确命题的个数是()若 x， y C，则 x yi 1 i 的充要条件是x y 1；若 a， b R 且 a b，则 a i b i；若 x2 y2 0，则 x y 0.A.0B.1C.2D.3答案A解析 由于 x，yC ，所以 x yi 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以 是假命题 .由于两个虚数不能比较大小，所以 是假命题 .当 x 1， y i 时， x2y2 0 成立，所以 是假命题 .故选 A.题型二复数的分类例 2设 z log 1(m 1) ilog 2(5 m)(m R ).2(1) 若 z 是虚数，求 m 的取值范围；(2) 若 z 是纯虚数，求 m 的值 .解 (1) 因为 z 是虚数，故其虚部log2(5 m) 0，m1 0，m 应满足的条件是5 m 0，解得 1 m 5，且 m 4.5 m 1，(2) 因为 z 是纯虚数，故其实部 log 1 (m 1) 0，虚部 log 2(5 m) 0，2m1 1，m 应满足的条件是5 m 0，解得 m 2.5 m 1，反思与感悟将复数化成代数形式za bi(a， b R)，根据复数的分类：当b 0 时， z 为实数；当 b 0 时， z 为虚数；特别地，当 b 0， a 0 时， z 为纯虚数，由此解决有关复数分类的参数求解问题 .跟踪训练 2实数 k 为何值时，复数 z (1 i)k2 (3 5i) k 2(2 3i)分别是 (1) 实数；(2)虚数；(3) 纯虚数； (4) 零 .解由 z (1 i)k2 (3 5i) k2(2 3i) (k2 3k 4) (k2 5k 6)i.(1) 当 k2 5k6 0 时， z R，即 k 6 或 k 1.(2)当 k2 5k6 0时， z 是虚数，即 k 6 且 k 1.(3)k23k 4 0，k 4.当时， z 是纯虚数，解得k25k 6 0第3 页 共 8 页(4)k23k 4 0，当时， z0，解得 k 1.k25k 6 0题型三两个复数相等例 3(1) 已知 x2 y2 2xyi 2i，求实数 x， y 的值 .(2)关于 x 的方程 3x2ax 1 (10 x 2x2)i 有实根，求实数a 的值 .2解 (1) x2 y22xyi 2i，x2 y2 0，x1，x 1，解得或2xy 2，y 1，y 1.(2) 设方程的实数根为 x m，则原方程可变为2 a23m2m 1 (10m2m )i ，a 3m22m 1 0，10 m 2m2 0，71解得 a 11 或 a 5 .反思与感悟两个复数相等， 首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数.跟踪训练3已知复数z3x 1 x (x2 4x 3)i 0，求实数 x 的值 .解 z 0， z R， x2 4x 3 0，解得 x 1 或 x 3. z 0， 3x 1 x0，且 x2 4x 3 0.对于不等式3x 1 x 0， x1 满足， x3 不满足，故x 1.1.若集合A i， i2， i 3， i 4(i是虚数单位 )， B 1 ， 1 ，则 AB 等于 ()A. 1B.1C.1 ， 1D. ?答案C解析因为 i 2 1， i 3 i ， i 4 1，所以 A i ， 1， i,1 ，又 B 1 ， 1 ，故 A B 1 ， 1.2.已知复数z a2 (2 b)i 的实部和虚部分别是2 和 3，则实数 a， b 的值分别是 ()A. 2， 1B. 2， 5C. 2， 5D. 2， 1答案 C第4 页 共 8 页a2 2，得 a 2， b 5.解析 令 2 b 3，3.下列复数中，满足方程x2 2 0 的是 ()A. 1B. iC. 2iD. 2i答案C4.已知M 2 ， m2 2m (m2 m 2)i ， N 1,2,4i ，若 M N N，则实数m 的值为.答案1 或 2解析 M N N， M? N，m2 2m (m2m2)i 1 或 m22m(m2 m 2)i 4i.由复数相等的充要条件，得m2 2m 1，m2 2m 0，或m2m 2 4，m2 m 2 0解得 m1 或 m 2.故实数 m 的值是 1 或 2.5.设 i为虚数单位，若关于x 的方程x2 (2 i) x 1 mi 0(mR )有一实根为n，则 m.答案1解析关于 x 的方程 x2(2 i) x 1 mi 0(m R) 有一实根为 n，可得 n2 (2 i) n1 mi0.n2 2n 1 0，所以 m n1.所以m n 0.1.复数的代数形式za bi( a， b R) 是解决问题的基础，明确其实部、虚部.2.根据复数为实数、虚数、纯虚数，复数相等的充要条件，可将问题实数化.一、选择题1.设复数 z 满足 i z1，其中 i 为虚数单位，则z 等于 ()A. iB.iC. 1D.1答案A解析 i2 1， i2 i (i) 1， z i.2.设 a， bR ， i 是虚数单位，则“ab0”是“复数a bi 为纯虚数”的 ()第5 页 共 8 页A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件答案B解析若复数 a bi 为纯虚数，则a0 且 b0，故 ab 0.而由 ab 0 不一定能得到复数abi 是纯虚数，故 “ ab0” 是 “ 复数 a bi 为纯虚数 ” 的必要不充分条件 .3.以5 2i 的虚部为实部，以5i 2i 2 的实部为虚部的新复数是 ()A.2 2iB. 5 5iC.2 iD. 5 5i答案A解析设所求新复数 z a bi(a， bR )，由题意知：复数5 2i的虚部为2；复数5i2i 25i 2 ( 1) 2 5i的实部为2，则所求的 z 2 2i. 故选 A.4.若 (x y)i x1(x， y R) ，则 2x y 的值为 ()1A. 2B.2C.0D.1答案D解析由复数相等的充要条件知，x y 0，x 1，解得x 1 0，y 1， x y 0.2xy 20 1.5.如果 z m(m 1) (m2 1)i 为纯虚数，则实数 m 的值为 ()A.1B.0C. 1D. 1 或 1答案Bm m1 0，解析由题意知 m0.m2 1 0，6.若 sin 2 1 i(2cos 1)是纯虚数，则 的值为 ()A.2 k4(k Z)B.2k 4(k Z)kC.2k( k Z)D.(k Z)424答案B ksin 2 1 0，4解析由题意，得解得3 (k Z)， 2k4， k Z.2cos 1 0， 2k4第6 页 共 8 页二、填空题7.若实数 x， y 满足 (1 i)x (1 i) y 2，则 xy 的值是.答案1x y 2，解析因为实数x， y 满足 (1 i)x (1 i) y 2，所以x xi yyi 2，可得所x y 0，以 x y 1，所以 xy 1.8.若复数 m 3 (m2 9)i 0，则实数 m 的值为.答案3m 3 0，m3，即 m 3.解析依题意知解得m 3或 3，m2 9 0，12 3a)i ， z22 a)i ，其中 aR ，若 z12，则 a 的取值集合9.已知 z 4a1 (2a 2a ( a z为.答案02a2 3a 0，解析 由 z1 22 a 0，解得 a0，a z，得 4a 1 2a，故 a 的取值集合为 0.10.在给出的下列几个命题中，正确命题的个数为.若 x 是实数，则x 可能不是复数；若 z 是虚数，则z 不是实数；一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； 1 没有平方根 .答案1解析因实数是复数，故 错； 正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故错；因 1 的平方根为 i，故 错.三、解答题11.当实数m 为何值时，复数 z (m2 m 6)i m27m12是： (1)实数？ (2) 虚数？ (3)纯虚m 3数？m2 m6 0，解(1) 由得 m 2.m 3 0，当 m2 时， z 是实数 .m2 m 6 0，m2且 m 3，(2) 由得即 m 2 且 m 3.m 3 0，m 3，第7 页 共 8 页当 m2 且 m 3 时， z 是虚数 .m2 m 6 0，m2且 m 3，(3) 由 m 3 0，得 m 3，即 m 3 或 m4.m2 7m 12 0，m3或 m 4，当 m3 或 m 4 时， z 是纯虚数 .12.已知复数z1 m (4m2)i ，z2 2cos ( 3sin )i，m R， 0， 2，z1 z2，求 的取值范围 .解 由 z1， ， m R，可得m2cos ，2 z4 m2 3sin .整理，得 4sin2 3sin 4sin 32 9.8169 0，2， sin 0,1， 16， 1.113.已知关于m 的一元二次方程m2 m 2mi 2xy (x y)i 0(x，y R ).当方程有实根时，试确定点 (x， y)所形成的轨迹 .解不妨设方程的实根为m，则 m2 m 2mi 12xy (x y)i.1x， y， m R， m2 m2xy， 2m xy .由 ，得 mx y2 .代入 ，得 x y 2 x y1xy，222 ( x1) 2 (y 1)2 2，点 (x， y)的轨迹方程是(x 1)2 (y 1)2 2，其轨迹是以(1,1)为圆心，2为半径的圆 .第8 页 共 8 页