高中数学必修四第二章习题.docx
习题课 (2)一、选择题 (每小题 5 分，共 30 分)1已知 ，在b方向上的投影为3，则 ab等于 ()|b| 3 a29A 3B.21C2D.23解析： 设 a 与 b 的夹角为 .|a|cos2，3 9 ab|a|b|cos322.答案： B2已知 |a|2，|b|5，ab 3，则|ab|()A 23B35C. 23D. 35解析： |ab|2(ab)2 a22abb223.答案： C3若将向量 a(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转4得到向量 b，则向量 b 的坐标为 ()232232A ( 2，2 )B( 2 ，2 )322322C( 2， 2 )D(2，2 )解析： 设 b(x，y)，由已知条件，知|a|b|，ab|a|b|cos45 .x2 2 ，y522xy5 5 2 ，232x2，x2 ，解得32或2y 2，y 2 .向量 a 按逆时针旋转 4后，向量对应的点在第一象限， x>0，y>0，232b( 2，2 )，故选 B.答案： B 4已知OA(3,1)，OB(0,5)，且ACOB，BCAB，则点 C的坐标是 ()2929A (3，4 )B(3，4 )2929C(3，4 )D(3，4 )解析： 设点 C 的坐标为 (x，y)，则AC(x3，y1)，AB(3,4)，BC(x，y5)ACOB，BCAB，x3 50 y1 0，3x4 y5 0，x 3，29)解得29 ，yC(344 ，答案： B已知向量 5(2,2)，OB(4,1)，在 x 轴上有一点 P，使APOABP有最小值，则点P 的坐标是 ()A (3,0)B(2,0)C(3,0)D(4,0)解析： 设点 P 的坐标为 (x,0)，则(x2， 2)，BP(x4， 1)AP APBP(x2)(x4)(2)(1) x26x10(x3)21. 当 x3 时， APBP有最小值 1，此时点 P 的坐标为 (3,0)，故选 C.答案： C6设 O 为 ABC 的外心， ODBC 于 D，且|AB|3，|AC|1， 的值是则AD AC()(AB)A 1B2C.2D.3解析： 由题意知， D 为 BC 的中点，1 AD (AB)，2AC 1 1 所以 AD(AB AC)2(ABAC) (ABAC)2(|AB|2|AC|2)1，故选 A.答案： A二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分)7已知 A(1,2)，B(3,4)，|n|2，则|ABn|的最大值为 _解析： AB(2,2)，|22，|ABn|AB|AB|n|4，当且仅当 AB与 n 共线且同向时取等号答案： 48若向量 a，b，c 满足 abc0，且 |a|3，|b|1，|c|4，则 abbcca_.解析：由已知，得|c|a|b|，c ab，所以向量 a 与 b 同向又因为向量 c 与它们反向，所以 abbcca 3cos0 4cos180 12cos180 3412 13.答案： 139已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 P 为对角线 AC 上一点，则 (APBD) (PBPD)的最大值为 _解析： 设APAC(02 2)，则APBDACADAB (ADAB)ADAB (1)AD(1)AB， PBPD(PAAB)(PAAD) 2PAABAD ABAD2AC (12)(ABAD)，(APBD) (PBPD) ( 1)AD(1)AB(1 2)AB(12)AD (1)(12)AD2(1)(12) AB22 168(0 2 2) )的最大值为82 BD) (PBPD1.(AP4 16答案： 1三、解答题 (共 45 分)10(本小题 15 分)已知向量 a(2,2)，b(5，k)(1)若 ab，求 k 的值；(2)若|ab|不超过 5，求 k 的取值范围解： (1)ab，ab0，即 (2,2) (5，k)0，(2)52k0? k5.(2)ab(3,2k)，|ab|5，|ab|232(2k)225，得 6k2.11(本小题 15 分)已知平面上三个向量a，b，c 的模均为 1，它们之间的夹角均为120.(1)求证： (ab)c；(2)若|kabc|>1(kR)，求 k 的取值范围解： (1)证法 1|a|b|c|1，且 a，b，c 之间夹角均为 120 ，(ab) cacbc|a|c|cos120 |b|c|cos120 0，(ab)c.证法 2 如图所示，设 OAa，OBb，OCc.由题意可知，连接AB，AC，BC 的三条线段围成正三角形ABC，O 为ABC 的中心，OCAB，又BA ab，(ab)c.(2)|kabc|>1，即 k2a2b2c22kab2kac2bc>1，1abacbccos120 2，k22k>0，解得 k<0，或 k>2.即 k 的取值范围是 k<0，或 k>2.12(本小题 15 分)平面直角坐标系内有点P(1，cosx)，Q(cosx,1)， x4， 4求向量(1)和向量 OQ的夹角 的余弦值；OP(2)令 f(cosx)cos，求 f(cosx)的最小值解： (1)由题意得，OP(1，cosx)，OQ(cosx,1)OPOQ2cosx.又|OP|1cos2x，|OQ|1cos2x，cos OPOQ 2cosx . 1cos2x|OP|OQ|向量OP和向量 OQ的夹角 的余弦值为(2)由(1)得f(cosx)2cosx ，x ， 1cos2x4 42cosx .1cos2x2设 tcosx，则 2t1.2t22f(t)1t21， 2 t1.t t21可以证明，当 2 t1时， t t 为减函数，2t则 f(t)1t2是增函数f(cosx)的最小值是22222 2f(2 )2 2 3 .1 2
