二次曲面[课堂资料].ppt
第11章 多元函数微分法11-0 平面及其方程 .二次曲面,1,严选课件,知识逻辑关系图,二次曲面定义,柱面坐标如何表示空间区域,球面坐标如何表示空间区域,重点：常见曲面方程 难点：曲面围成的空间区域在坐标面投影,2,严选课件,复习：1、平面一般式方程,2、直线方程一般式方程,3,严选课件,求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的,化简得,即,引例:,解:设轨迹上的动点为,轨迹方程.,一、二次曲面,4,严选课件,定义.,如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:,(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;,则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,5,严选课件,故所求方程为,求动点到定点,特别,当M0在原点时,球面方程为,设轨迹上动点为,即,依题意,距离为 R 的轨迹,表示上(下)球面 .,（一）球面,6,严选课件,例. 研究方程,解: 配方得,此方程表示:,说明:,如下形式的三元二次方程 ( A 0 ),都可通过配方研究它的图形.,其图形可能是,的曲面.,表示怎样,半径为,的球面.,球心为,一个球面, 或点, 或虚轨迹.,7,严选课件,P(x,y,z),如果定直线为z轴，讨论此柱面的方程？,柱面上任取一点P(x,y,z) 沿母线与xoy平面交点P(x,y,0),P(x,y,0),P(x,y,0)在准线上，从而柱面上 任一点P的坐标均满足方程 F(x,y)=0.,准线C方程,柱面方程：F(x,y)=0,定义.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,C 叫做准线, l 叫做母线.,（二）柱面,8,严选课件,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xoz 面上的曲线 l3.,母线,柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.,母线,准线 yoz 面上的曲线 l2.,母线,9,严选课件,例. 分析方程,表示怎样的曲面 .,解:，,表示准线为xoy面的圆C,圆柱面.,母线平行于z轴,10,严选课件,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(且 z 轴在平面上),11,严选课件,12,严选课件,13,严选课件,定义. 一条平面曲线,（三）旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴 .,例如 :,14,严选课件,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点,给定 yoz 面上曲线 C:,则有,则有,该点转到,15,严选课件,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？,16,严选课件,例1. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为,的圆锥面方程.,解: 在yoz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,17,严选课件,例2. 求 xoz面上的双曲线,分别绕 x轴和 z 轴旋转一周,所生成旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,叫做单叶旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,叫做双叶旋转双曲面.,18,严选课件,例3,解,由于高度不变,故所求旋转曲面方程为,19,严选课件,20,严选课件,空间曲线的一般方程,1、空间曲线的一般方程 空间曲线C可看作空间两曲面的交线.,二、空间曲线的一般方程,注：表示同一条曲线的方程不唯一。,21,严选课件,例2 方程组 表示怎样的曲线？,解,表示圆柱面，,表示平面，,交线为椭圆.,例1 柱面 f(x,y)=0的准线方程：,22,严选课件,例3 方程组 表示怎样的曲线？,解,上半球面,圆柱面,交线如图.,23,严选课件,(2),(1),练习,24,严选课件,空间曲线的向量函数表示,空间曲线的参数方程,25,严选课件,螺旋线的参数方程,取时间t为参数，,解,26,严选课件,例. 将下列曲线化为参数方程表示:,解: (1),根据第一方程引入参数 ,(2) 将第二方程变形为,故所求为,得所求为,27,严选课件,例. 求空间曲线 :,绕 z 轴旋转,时的旋转曲面方程 .,解:,点 M1绕 z 轴旋转,转过角度 后到点,则,这就是旋转曲面满足的参数方程 .,28,严选课件,例如, 直线,绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为,消去 t 和 , 得旋转曲面方程为,29,严选课件,绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为,又如, xoz 面上的半圆周,说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如,30,严选课件,31,严选课件,三、画二次曲面的截痕法,三元二次方程,画二次曲面的基本方法: 截痕法,基本类型:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0 ),32,严选课件,例 方程 的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,最底点（1，2，-1）,33,严选课件,1. 椭圆锥面,椭圆,在平面 x0 或 y0 上的 截痕为过原点的直线 .,34,严选课件,2.椭球面,椭球面与三个坐标面的交线：,图形有界，并且关于坐标面对称。,35,严选课件,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,方程可写为,球面,方程可写为,36,严选课件,3.单叶双曲面,椭圆.,时, 截痕为,(实轴平行于x 轴；,虚轴平行于z 轴）,双曲线:,y,o,z,双曲线:,3),x,37,严选课件,38,严选课件,4. 双叶双曲面,双曲线,椭圆,双曲线,39,严选课件,假如将方程中的1换为0，得到椭圆锥面的方程,则称双曲面渐近于这个锥面,40,严选课件,(1)与平面 的交线为椭圆.,（2）用坐标面 与曲面相截 截得抛物线,与平面 y=k的交线为抛物线,x,y,z,o,5.椭圆抛物面,（3）用坐标面 与曲面相截,截得抛物线.,41,严选课件,椭圆抛物面的图形如下：,特殊地：当 时，方程变为,旋转抛物面,42,严选课件,6.双曲抛物面（马鞍面）,o,43,严选课件,44,严选课件,内容小结,1. 空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如, 曲线,绕 z 轴的旋转曲面:,柱面,如,曲面,表示母线平行 z 轴的柱面.,又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .,45,严选课件,2. 二次曲面,三元二次方程,椭球面,抛物面:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面:,46,严选课件,抛物线,平面解析几何中,空间解析几何中,方 程,平行于 y 轴的直线,平行于 yoz 面的平面,圆心在(0,0),半径为 3 的圆,以 z 轴为中心轴的 圆柱面,母线平行 y 轴的抛物柱面,练习,指出下列方程的图形:,47,严选课件,四、空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线 C 的一般方程为,消去 z 得投影柱面,则C 在xoy 面上的投影曲线 C为,消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程,消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程,48,严选课件,例,在xoy 面上的投影曲线方程为,消Z得过曲线C的投影柱面方程为：,49,严选课件,如图:投影曲线的研究过程.,空间曲线,投影曲线,投影柱面,50,严选课件,五、 空间立体或曲面在坐标面上的投影.,空间立体,曲面,51,严选课件,所围的立体在 xoy 面上的投影区域:,例求上半球面,和锥面,xoy 面上的投影曲线,解先求二者交线,所围圆域:,52,严选课件,求下列空间区域在坐标面的投影,1),所围立体区域,53,严选课件,（2）,54,严选课件,3)：z0,x2+y2+z2=R2 , x2+y2=z2所围。,55,严选课件,56,严选课件,(5):由曲面：z=x2+y2, z=4 所围,57,严选课件,六、柱面坐标和球面坐标,规定：,1.柱面坐标,58,严选课件,柱面坐标与直角坐标的关系为,如图，三坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平 面,59,严选课件,解,知交线为,60,严选课件,2、球面坐标,球面坐标与直角坐标的关系为,如图，,规定：,61,严选课件,球坐标的三坐标面分别为,圆锥面；,球 面；,半平面,解,62,严选课件,
