一元二次方程求解教法解析.doc

一元二次方程讲解与解析一元二次方程一元：代表未知数的个数，这里指的是只含有一个未知数；次：代表次数，这里指次数为2。第一节 一元二次方程的概念：知识点1 一元一次方程的概念定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。了解：只有同时满足三个条件：是整式方程；只含一个未知数；未知数最高次数为2。 这样的方程才是一元二次方程，不满足其中任意一条件都不是一元二次方程。一元二次方程的一般式为：ax+bx+c=0(a0)其中ax为二次项，bx为一次项，c为常数项。a为二次项的系数，b为一次项的系数。尽可能在正常情况下将右边的数值移动到左边，使右边的数值为0。【总结】上面的方程都只含有一个未知数x的整式方程并且都可以化成ax+bx+c=0（a，b，c为常数，a0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。我们吧ax+bx+c=0（a，b，c为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。例子：4x+5x-1=0（一般形式）。4x为二次项，5x为一次项，-1为常数项。4为二次项系数，5为一次项系数。随堂练习：1.根据题意列方程：已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长。解：设直角三角形的三边长为x，x+1，x+2。x+(x+1) =(x+2) （只需要列车方程到这步即可）x-2x-3 =0x-2x+1=3+1(x-1) =4x-1=2习题2.1知识技能1.根据题意，列方程：（1）有一个面积为54的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的变长是多少？解：设这个正方形的边长是x m(x>0)。(x+5)(x+2)=54，即x+7x-44=0。（2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？设三个连续整数依次为x，x+1，x+2。x (x+1)+x(x+2)+(x+1)(x+2)=242，即x+2x-80=0。2.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项3x=5x-13x-5x+1=03-59（x+2）（x-1）x+x-8=011-84-7x=0-7x+4=0-7043.请根据这一问题列方程例：有一个人拿着一根竹竿，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺。后来他沿着门的两个对角斜着拿杆，不多不少刚好进去了。你知道这根竹竿有多长吗？ 解：设竹竿长x尺，则门框宽为(x-4)尺，门框高为(x-2)尺。(x-2)+(x-4)=x即：x-12x+20=0。知识点2 估计一元二次方程的取值范围在得到一元二次方程后，我们最关心的是它的解及其取值范围。可利用列表取值法判断一元二次方程的取值范围，具体步骤如下：（1）列表，利用未知数的取值分别计算方程ax+bx+c (a0)中ax+bx+c的值；（2）在表中找出使ax+bx+c的值可能等于0的未知数符合要求的取值范围；（3）进一步在（2）中的范围内列表、计算、估计范围，直到符合题中精确度要求为止。知识拓展：在估计一元二次方程解的取值范围时，当ax+bx+c (a0)的值由正变负或由负变正时，x的取值范围很重要，因为只有在这个范围内，才能存在使ax+bx+c=0成立的x值。第二节 配方法【知识点】 直接开平方（重点；掌握）定义：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法，叫做直接开平方法 直接开平方法的理论依据是平方根的定义。直接开平方法试用于解形如下(x+a) =b(b0)的一元二次方程。先给出解题的前提条件，让大家重点掌握！（重点，必背）（下面的用在二次项系数为“1”的情况下） 移（移常数项） 方程两边同时加上一次项系数一半的平方 构成(x+n) =m的形式，然后开方（x，m只是代数） 解：x+m=n，x =nm。或（下面的用在二次项系数不为“1”的情况下） 化二次项系数为1 移 将常数项移到方程右边 配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方 开方(x+m) =n（m，n只是代数） 解：x+m=n，x =n m。上面的背好后简单记住：一化、二移、三配、四开、五解（统一使用此方法记住）例题：课本P55页随堂练习（1）x -10x+25 =7x -10x+25-7=0（首先先使右边为0，将“7”移到左边，左右两边移动要变号。）x -10x+18 =0（为一元二次方程的一般形式）x-10x+5=-18+5（一移，常数项“18”移到方程右边；方程两边同乘以一次项系数一半的平方）(x-5) =7（构成(x+m) =n的形式了）x-5 =7（解的步骤，从上一步到下一步，方程左边去掉括号和平方后，右边直接开方，开不了的用根号。必须为正和负两个）x1=5+7,x2=5-7（2）x+6x=1x+6x-1 =0（无论怎样都先化为一元二次方程的一般形式） x+6x+3 =1+3（一移，常数项“1”移动到右边，方程两边加上一次项系数一半的平方） （x+3）=10（构成(x+m) =n的形式了） x+3 =10（方程左边去掉括号后，右边进行开方）x1=-3+10,x2=3+10（3）x-14x=8 x-14x-8=0x-14x+7=8+7(x+7) =57x+7=57x1=7+57,x2=7-57（4）x+2x+2=8x+4 =0 =0x-6x- =0x-6x+ =2+ ( ) =11X3= x1= ，x2= 看看你上面的是否做对了呢！第四小题偏难。第四小题答案x+2x+2-8x-4=0x+2x-8x+2-4=0x-6x-2=0x-6x+3=2+3(x-3) =11x-3=11x1=3+11,x2=3-11我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。用配方法解下列方程（增订内容）（1） x+8x-9=0 （2）3x+8x-3=0分析：当二次项系数为1时，只要先把常数项移动到右边，然后左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方，变成(x+m) =n(n0)的形式，再用直接开平方法求解，当二次项系数不是1时，先将二次项系数华为1，再用配方法解过程。（1）移项，得x+8x=9配方，得x+8x+4=9+4（两边同时加上一次项系数一半的平方）即(x+4) =25直接开平方得x+4=5即x+4=5或x+4=-5所以x1=1，x2=-9（2） 两边同除以3，得x+8/3x-1=0（之前说过二次项系数非1的要先华为1，就是把一次项系数和常数项各除以二次项系数，二次项系数被除后可去除，这样变为1）移项，得x+8/3x=1配方，得x+8/3x+(4/3) =1+(4/3) （两边同时加上一次项系数一半的平方）即(x+4/3) =(5/3) 直接开平方，得x+4/3=5/3，所以x1=1/3，x2=-3第三节 分解因式法分解因式分别有：平方差公式、完全平方公式、提取公因式和十字相乘法。其实只需要利用一下以上公式，有的要从以上公式变位一元二次方程的一般形式才能计算，有的可以直接计算。知识点对于一般形式的一元二次方程ax+bx+c=0（a0）来说，诺其左端能够分解因式，得(a1x+b1)(a2x+b2)=0，必有a1x+b1=0或a2x+b2=0，进而求得方程的解，这种方法就是分解因式。例题：用分解因式法解下列各题。（1） x+x-2=0 （2）49(x-3) =16(x+6) （3）(x-1) -2(x-1)=0（4）(x-3)(x+1)=5解：（1）原方程变形为(x+2)(x-1)=0，所以x+2=0，所以x1=-2，x2=1.（2） 原方程变形为49(x-3) -16(x+6) =0，即7(x-3) -4(x+6) =0，所以(7x-21+4x+24)(7x-21-4x-24)=0，所以11x+3=0或3x-45=0，所以x1=-3/11，x2=15.（3） 原方程变形为(x-1) -2(x+1)(x-1)=0，(x-1)(x-1-2x-2)=0，所以x-1=0或-x-1=0，所以x=1，x=-3.（4） 原方程变形为(x-3)(x+1)-5=0，即x-2x-8=0，所以(x-4)(x+2)=0，所以x-4=0或x+2=0，所以x1=4，x2=-2.第四节 公式法公式法是万能的，任何的一元二次方程都能用公式法解，但要看哪种方法比较简单，否则不建议都用公式法。把 叫做一元二次方程 的根的判别式。判别式=b-4ac>0有两个不同的实数根判别式=b-4ac=0有两个相同的实数根判别式=b-4ac<0没有实数根 一元二次方程的根是 （a0）【知识拓展】 1.被开方数b -4ac必须是非负数，否b -4ac没有意义。2.由于根公式可知，一元二次方程的根是有其系数a，b，c决定的，只有确定了a，b，c的值，就可带入公式求一元二次方程。方程的两根与系数的关系：（也称韦达定理） 根据 韦达定理 逆推可得：当方程的两根为x1=p，x2=q时，方程为：x2-(p+q)x+pq=0计算时以一元二次方程一般式为主，不是的要先化，二次项系数可以是非1的数；分别用a，b，c来取代 二次项系数，一次项系数，常数项。但方程右边确保要等于0的情况下。【提示】先将一次项系数化为1（这样能使方程简便），然后再用a、b、c取值，但是在化为1时发现会出现分数的情况下，就尽量不要化为1，这个时候直接用a、b、c代替取值。例题1：x -7x-18=0（一元二次方程一般形式）a=1 b=-7 c=-18 （二次项系数或一次项系数为一的用1代替，常数项为0的照样用0代替）b -4ac=(-7) 41(-18) =121（牢记固定公式“b-4ac”，直接计算） （套用公式）x1=9，x2=-9 例题2：2x-9x+8=0a=2 b=-9 c=8b-4ac =(-9) 428 =81-64 =17利用公式法可以求出有两个不同的实数根练习题：1. 下列是一元二次方程的是 （ ）A. (x-1)x=x B. x+1 C. 2x+1/x+1=0 D .x=12.下列各一元二次方程是一般形式的是 （ ）A. 6x=10+5x B. 5x-6x-10=0 C. 6x-5x-10 D. 10+5x+6x=2x+13.下列方程不是整式方程的是 （ ）A. 2/2 x+1/2x=1 B. 0.2x-0.4x=0 C.(x+1)/5=3 D. 1/(x+x)=24.方程8x=x的二次项系数是，一次项系数是，常数项是。5.方程(x-3)(x+3)=0的二次项系数是，一次项系数是，常数项是。6.关于x的方程kx-k(x+2)=x(x+1)+6，当k时，这个方程是一元二次方程。7.方程(m-1)x+(m+1)x+3m+2=0，当m时，为一元一次方程；当m时，为一元二次方程。配方法1.方程x=0.16的根为 （ ）A. x=0.4 B. x=-0.4 C. x1=0.4，x=0.4 D. x1=0.4，x2=-0.42.用配方法解下列方程时，配方错误的是 （ ）A. x+2x-99=0，化为(x+1) =100B. m-7m-4=0，化为(m-7/2) =65/4C. x+8x+9=0，化为(x+4) =25D. 3x-4x-2=0，化为(x-2/3) =10/93.诺n(n0)是关于x的方程x+mx+2n=0的根，则m+n的值为（ ）A.1 B.2 C.-1 D.-24.方程x-2x-7=0的两个根为 （ ）A.-122 B.122 C.221 D. 225.诺关于x的一元二次方程x+(k+3)x=0的一个根是-2，则另一个根是。公式法1.如果x1，x2是一元二次方程x-5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是 （ ）A.1 B.5 C.-5 D.62.关于x的方程(a-5)x-8x+6=0有实数根，则整数a的最大值是（ ）A.6 B.7 C.8 D.93.如果关于x的一元二次方程kx-2x-1=0有两个不相等的实数根。则k的取值范围是（ ）4.如果关于x的一元二次方程-x+(2k+1)x+2-k有实数根，则k的取值范围是 。5.如果关于x的方程x-x+k=0（k为常数）有两个相等的实数根，你们k。