新北师大版八年级下第一章三角形的证明全章学案.docx

1.1 能证明它们吗？ ( 1)学习目标：1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。2、经历“探索一发现一猜想一证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关 性质定理。学习重点：了解所学公理的内容，通过等腰三角形性质证明，掌握证明的基本步骤和书写格 式。学习难点：证明等腰三角形性质时辅助线做法。1AlA l=r.、+一、学刖导读1 .列举我们已知道的公理：(1)公理：同位角_(2)公理：两直线_(3)公理：,两直线平行。,同位角0,字母表的两个三角形全等。(简称示_)(4) 公理：的两个三角形全等。(简称,字母表示)(5)公理：的两个三角形全等。(简称,字母表示_)(6)公理：全等三角形的对应边，对应角02 .什么叫做等腰三角形？ 二、课堂导学1、自学感知 三角形全等的判定判定一般的三角形全等还有一种方法是什么？推论： (简写为)2、合作探究探索一：已知：在 ABC和4DEF中，/A=/D, 求证：AABCADEF证明：探索二：已知：如图，在 ABC中，AB= AG 求证：/B=/E, AC=DF ADBC EA ,/ B= / C等腰三角形的性质定理等腰三角形性质：等腰三角形的两个 相等(简称：等 对等)CB由此得到定理:,简述为:探索三：在上图中，若取BC的中点D,并连接AR那么线段AD是BC边上的中线A卜还具有怎 样的性质？为什么？由此你能得到什么结论?推论：简述为归纳：C1、在等腰 ABC中，若AD是/A的平分线，则 2、在等腰 ABC中，若AD是BC边上的高，则 3、在等腰 ABC中，若AD是BC边上的中线，则 三、反思感悟学而不思则罔，本节课我的反思: 四、知识反馈1、 如图 1,若ADCzXABE,则 AD = AB , DC = / ;/= /BAE ;2、如果等腰三角形有一个角等于 50 ,那么另两个角为3、如图，在 ABD 中，C 是 BD 上的一点，且 ACXBD, AC=BC=CD.(1)求证：AABD是等腰三角形/ABC和/ACB的角平分线BD、CE相交于点O,求证:(2)求/ BAD的度数 4、如图， ABC 中，AB = AC, /OBC = /OCB 1.1你能证明它们吗？ ( 2)学习目标：学会证明等腰三角形中有关相等的线段及等角对等边，并体会反证法的含义。学习重点：会证明等腰三角形的判定定理，即：”等角对等边”。学习难点：区别等腰三角形性质定理和判定定理的证明。一、学刖导读在等腰三角形中画出一些线段(角平分线、中线、高)，你能发现其中一些相等的线段吗?二、课堂导学1、自学感知阅读课本第6页例1的证明等腰三角形两底角的平分线 等腰三角形的判定定理有两个角相等的三角形是 三角形2、合作探究探索一：等腰三角形两底角的平分线相等吗？1.已知：如图，在 ABC中，AB= AG BD, CE是ABC勺角平分线 求证：B况CE得出定理：。问题：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明它们，并与同伴交流。结论：2、议一议在上图中(1)如果/ ABD=1/ABC,/ACE=1/ACB 那么 BD=CE马？如果/ ABD=1 ZABC, 3341/ ACE=- / AC班?由此你能得到一个什么结论 ？4(2)如果AdJaCAeJaB,那么BD=CE马？如果AD=1 AC,AE=1 AB呢？ 由此你能得到一个什 2233么结论？你能证明得到的结论吗？探索二：我们知道等腰三角形的两个底角相等，反过来此命题成立吗？由此得到什么结论？ 证明：等腰三角形判定定理：有两个 相等的三角形是等腰三角形(简称：等 对等)已知：在 ABC中，/ B= /C,证明:AB=AG探索三：证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等。 已知：在AABC中，/B/C,求证：AB。AC 证明：假设AB = AC. B =/（又已知/B#/C 相矛盾AB AC（以上的证明过程用了反证法）不成立;反证法的一般步骤：1、假设2、由假设推出3、错误，原命题正确。三、反思感悟1 .证明等腰三角形两底角的平分线相等及判定定理的推导，一般的思路是什么?2 .反证法是一种比较重要的证明方法，什么命题的证明比较适合用反证法？四、知识反馈1、已知：如图，/ CAE是4ABC的外角，AD/BC,且/ 1 = /2 求证：AB=AC2、证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于603、如图,DE/ BQ C8GB / 1=/2,求证： DG已等腰三角形. 1.1 能证明它们吗？ ( 3)学习目标：学会等边三角形判定定理的证明；掌握直角三角形中， 30角所对的直角边与斜边的关系。学习重点：等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。学习难点：能够用综合法证明等边三角形的判定定理。 1AlA l=r.、+一、学刖导读1、已知 ABC中，AB=AC=5cm请增加一个条件使它变为等边三角形。你增加的条件是2、利用刻度尺测量一下含300角的三角板的斜边和较短的直角边，与同伴比较结果，交流其 关系。二、课堂导学1、自学感知等边三角形的判定定理有一个角等于的等腰三角形是等边三角形300角所对的直角边与斜边关系定理在直角三角形中，如果一个锐角是 30,那么它所对的直角边等于 2、合作探究探索一：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形(1)思考等腰三角形成为等边三角形的条件(从边和角两个角度考虑)(2)分类讨论上述定理中当这个角分别是底角和顶角的情况(3)得出证明过程探索二：含300角的直角三角形的性质用两个含300角的三角板，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的 理由。根据操作，思考：在直角三角形中，300角所对直角边与斜边有什么关系？并试着证明。如图，在 ABC中，/ AC氏 90 , /A= 30 ,则/ B= 60(1)延长BC至D,使CD=BC连接AD图 1-7定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30o,那么例题等腰三角形的底角为15 ,腰长为2a,求腰上的高.如图：ZXABC中，AB= AC= 2a, / ABC= / AC氏 15 , CD是月AB上的高.求CD的长.三、反思感悟1 .本节重点探索了哪两个定理？2 .等边三角形与直角三角形关系密切，注意两者之间的转化? 四、知识反馈1、证明：三个角都相等的三角形是等边三角形HC2、直角三角形的一个角等于30o,斜边长为4,用四个这样的直角三角形拼成如图所示，求正 方形EFGH勺边长.3 .如图所示， ABC中，/ACB=90 , CDLAB,垂足是 D, / A=60 .求证：BD=3AD学习目标:学习重点:学习难点: 1.2直角三角形（1）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。了解勾股定理及其逆定理的证明方法。结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命 题不一定成立。1、2、是、学刖导读勾股定理的内容是：它的条件是：结论是：.每个命题都是由,结论是,两部分组成。命题“对顶角相等”的条件二、课堂导学1、自学感知勾股定理的逆定理,那么这个三角形是直角三角形。如果三角形两边的平方和等于互逆命题在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题 互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定 理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。2、合作探究探索一：证明定理：如果三角形两边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 条件： 结论： 已知： 求证： 证明：（如图）在 ABC中，A百+AC=BC. ABC是直角三角形。AiB2练习:1 .如果一个三角形的三边分别是 6、10、8,则这个三角形是.2 .如图，BALDA 于 A,AD = 12,DC = 9, CA = 15,求证：BA /Ci(2)三角形探索二：1.观察下列三组命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？如果两个角是对顶角，那么它们相等。Y如果两个角相等，那么它们是对顶角。如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。; 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。三角形中相等的边所对的角相等。T三角形中相等的角所对的边相等。L在这几组的两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 和,那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题汪忠： 互逆命题是相对两个命题而言的，单独一个命题称不上互逆命题。一个命题是真，它的逆命题可能是真，可能是假。练习：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。(1) .四边形是多边形(2)、等边对等角;(3)、平行四边形的两组对边相等;2.互逆定理一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆 定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。练习：找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它找出来。(1)内错角相等，两直线平行(2)全等三角形对应角相等 (3 )对顶角相等三、反思感悟1 .运用勾股定理及其逆定理应注意什么？2 .写一个命题的逆命题应注意什么？四、知识反馈1 .写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：A:两直线平行，同位角相等。B :如果 ab=0,那么 a=0, b=0。2、命题：等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是 3、若一个直角三角形两直角边之比为 3: 4,斜边长20cmi则两直角边为4、已知直角三角形两直角边长分别为 6和8,则斜边长为,斜边上的高为5、在4ABC 中，已知 AB=13cm, BC=10cm, BC 边上的中线 AD=12cm求证：AB=AC 1.2 角三角形（2）学习目标：运用直角三角形的全等判定定理和其它相关知识的证明角平分线的性质和判定。学习重点：直角三角形全等的判定定理（HL）。学习难点：直角三角形的全等判定定理和其它相关知识的证明应用。1AlA l=r.、+一、学刖导读在一般三角形中，我们已学过了哪些证明三角形全等的方法： 那么在直角三角形中还多了一种方法是： 二、课堂导学1、自学感知斜边，直角边（HL）定理斜边和一条直角边 的两个直角三角形全等证明的基本思路：由勾股定理得出另一条直角边相等,再根据 公理判定全等即可 阅读课本做一做：用三角尺作角平分线，并思考证明方法。2、合作探究探索：如图：已知/ ACB=/BDA=9 0 0要使 ACBi BDA还需要什么条件？把他们分别 写出来，并说明理由。例题1:在RtzXABC中，/C = 90 0，且DHAB, CD = ED,求证：AD是/ BAC的角平分线例题2:如图，AD是/ BAC的角平分线, 求证：EB = FCDEL AB, DF AG AB = AC,A./1D三、反思感悟判定两个直角三角形应注意什么？四、知识反馈1、判断下列命题的真假，并说明理由(1)、两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；(2)、斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等 ；(3)、两直角边对应相等的两个直角三角形全等；(4)、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等证明(4)已知：求证：2、如图，/B =/E = 90 , AC = DF, BF = EC。求证：BA = ED3、如图，/ ACB = /ADB = 900 , AC = AD, E是 AB上的一点。求证：CE = DE 1.3 段的垂直平分线（1）学习目标：能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理，能够用尺规作已知线段的垂直 平分线。学习重点：能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理。学习难点：线段垂直平分线的性质定理、判定定理的区别及应用。1AlA l=r.、+一、学刖导读什么是线段的垂直平分线？如何画出线段的垂直平分线？二、课堂导学1、自学感知线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 线段垂直平分线的判定定理到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的 2、合作探究探索一：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等已知：直线MNL AB,垂足是C,且AC=BC点P上MN的任意一点求证：PA=PB证明：探索二：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 已知：如图：已知 PA=PB求证：点P在线段AB的垂直平分线上。证明：过P作PC!AB,垂足为C,/ = / =（垂直的定义）又二（已知）、 （公共边）RtA 公 （HD（ ）即PC平分 做一做：用尺规作出已知线段 AB的垂直平分线CDA B（求作完毕后，你能说明其中的道理吗？）例、如图，已知直线 AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点,如果 EC=10cm,B么 ED= cm。如果/ ECD=60 ,那么/ EDC=。如果/ CED=60 ,并且 CD=10cm则EC=三、反思感悟1 .应用线段垂直平分线的性质定理和判定定理应注意什么?2 .用尺规作线段垂直平分线的依据是什么? 四、知识反馈2.如图，DE是ABC勺AB边的垂直平分线，分别交AE平分/ BAC若/ B=3d,求/ C的度数。AB BC于 D E,1、如右图，两个仓库 A、B位于河岸的同侧，为了出口方便，他们想在河岸边上建造一个码 头，使这个码头到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？请画出符合条件的食品加 工厂的位置3 . 如图，在 ABC中，AB的垂直平分线 MNgC AB于D点，交AC于E点，且AC=15cm BCE的周长等于25cml0求BC的长?若/A=36 ,并且AB=AC求证：BC=BEBC 1.3线段的垂直平分线（2）学习目标：1、能够证明线段的垂直平分线相交于一点这一定理。2、已知底边及底边上的高，能够利用直尺和圆规作出等腰三角形 学习重点：能够利用尺规作已知线段的垂直平分线和满足条件的等腰三角形 学习难点：理解三线共点的证明方法。1AlA l=r.、+一、学刖导读1 .等腰三角形的顶点一定在 上。2 .已知线段AR请你用尺规作出它的垂直平分线。二、课堂导学1、自学感知利用尺规作三角形三边的垂直平分线。已知： ABC（如右图）。求作：线段AB BG AC的垂直平分线你从图中发现了什么?2、合作探究探索一：证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离 相等。已知：如右图，在 ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，A两线相交于点P,分别交AB边、BC边于点E、F。/八求证：AB BG AC的垂直平分线相交于点 PE证明：点P是AB边垂直平线上的一点，2VP 同理可得，PB=.B F= （等量代换）. （到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的）AB BG AC的垂直平分线。探究二：一、思考：1、已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个? 所作的三角形都全等吗？2、已知等腰三角形底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个?二、做一做：已知底边及底边上的高，求作等腰三角形 已知：线段a、h求作： ABC 使 AB=AC 且 BC=a 高 AD=h.三、反思感悟1 .应用三角形三边垂直平分线定理应注意什么？2 .已知等腰三角形的底边及底边的高，作等腰三角形的关键是什么?四、知识反馈1、如右图，在 ABC中AB边、AC边的垂直平分线分别交BC边于点 D E,并且BC=15cm则ADE勺周长为2、如图，在 ABC中，AB=AC。是 ABC内一点，且 OB=OC 求证：AO! BG53、如图，在 ABC中，AB=AC /A=120 , AB的垂直平分线 MN分另1J交BG AB于点M N。求证：CM=2BM. 1.4 平分线（1）学习目标：通过学习角平分线定理及逆定理的过程，掌握该定理及逆定理，并运用之进行证明、计算、作图，以及掌握该定理在三角形中的应用。学习重点：掌握该定理及逆定理，并运用之进行证明、计算、作图，以及掌握该定理在三角 形中的应用。学习难点：掌握定理在三角形中的应用。1AlA l=r.、+一、学刖导读1 .角平分线的定义： 2、什么叫点到直线的距离？ 二、课堂导学1、自学感知 还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？定理：角平分线上的点到 用直尺和圆规作角的平分线（你能说出这样做的依据吗？）2、合作探究探索一：证明角平分线定理 已知：如图,OC是/ AOB勺平分线,P是OC1任意一点，PD，OA,PH OB,垂足分别是D, E. 求 证:PD=PE.探索二: 写出上面定理的逆命题，这个命题是真命题吗？如果是，请证明它.证明定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。已知：如图,PD=PE, PD OA,PELOB,垂足分别是D,E.求证：点P在/ AOB勺平分线上.例题讲解: 如图，CD! AB, Bn AC,垂足分别为 D E, BE CD相交于。，且/ 1 = 求证：OB = OC三、反思感悟1 .角平分线性质定理与判定定理的区别与联系是什么?2 .尺规作角平分线依据是什么？四、知识反馈1.在 RtzXABCt, / C=90 , AD是/ BAC的平分线，若 BC=16 BD=1Q WJ D至U AB的距离是 _2.如图,AD,AE分别是AABC中/ A的内角平分线外角平分线，它们有什么关系？并证明你的 结论。3.如图，一目标在A区，到公路，铁路距离相等，离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置（比例尺1:20 000）.4、如图，在 ABC中，BE1AG ADBG AD BE相交于点P, AE = BD。求证：P在/ACB勺角平分线上。D 1.4 平分线（2）学习目标：角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用 学习重点：三角形三个内角的平分线的性质。学习难点：角平分线的性质定理和判定定理的综合应用1AlA l=r.、+一、学刖导读说出角平分线的性质定理及判定定理二、课堂导学1、自学感知画一个三角形，然后用直尺和圆规作出三条角平分线。观察这三条角平分线有什么性质： 2、合作探究 探索一： 证明定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 已知：如图，设 ABC的角平分线.BM、CN相交于点P,证明：P点在/ BAC的角平分线上，且PD=PE=PF探索二：例1:如图，/XABCt，已知AC=BC /C=90 ,AD是ABC勺角平分线，DELAB,垂足为E.(1)如果 CD=4cm< AC的长;求证:AB=AC+CD.例2:如图，P是/ AOBff分线上的一点,(1)求证：OC=OD 说明0% CD的垂直平分线.PC! OA PDL 0B，垂足分另I为 C、D.三、反思感悟1 .应用角平分线定理应注意什么？2 .解决与角平分线有关的问题应注意什么？四、知识反馈1.已知：如图，/C=90, /B=3d,AD是RtzXABC勺角平分线.求证:BD=2CDDE2.已知：如图， ABC的外角/ CBCffi/ BCE的角平分线相交于点 F. 求证：点F在/ DAE的平分线上.回顾与思考(1)复习目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思 路和方法，尺规作图等复习重难点：等腰三角形、等边三角形的性质和判定一、全等三角形的判定方法有哪些？ 二、等腰三角形的性质:边叙述三线合一的内容_练习：一1、已知，等腰三角形的一条边长等于 6,另一条边长等于3,则此等腰三角形的周长是(A. 9 B . 122、等腰三角形的一个角是C . 15 D . 12或1540度，则它的另两个角是3(1)、在等腰 ABC中, (2)、在等腰 ABC中, (3)、在等腰 ABC中,若AD是/A的平分线，则_ 若AD是BC边上的高，则 若AD是BC边上的中线，则、等腰三角形的判定：边角练习:AD1、4ABC中，D,E分别是AC,AB上的点，BD与CE于点O,给出下列四个条件： / EBO= DCO / BEOW CDOBE=CDOB=OC上述四个条件中，哪两个条件可以判定 ABO等腰三角形(用序号写出)并写出证明四、判定等边三角形的方法有：边 则 ABCJ _ ,则 ABC为 ,则 ABC为三角形；，角形;三角形.练习：已知，如右图，等腰 ABC AB=AG(1)若 AB=BG(2)若/ A=60o(3)若/ B=60o五、反证法:练习：如图，直线c与直线a,b都相交，/ 1W/2,求证：a与b不平行b六、逆命题与逆定理：逆命题：逆定理：练习：说出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是 七、随堂练习：1、等腰直角三角形的一个底角的度数是()A. 30B. 45C. 60D. 90 2、如下左图， ABC是等边三角形，ADL BQ DH AB,垂足分别为D, E,如果AB=8 cm,则 BD=cm / BDE： () 0 , BE=cm.3如右图，点A的坐标是(2,2),若点P在x轴上，且 APC等腰三角形，则点P的坐标不可能是()A.(4,0) B . (1.0)C . (-2v;2,0)D.(2,0) 4、如图，在 ABC中，AB=AQ BDL AC, CEL AB,。是 BD与 CE的交点，求证：BCCOD5、如右图，已知 ABCffiBDE是等边三角形，求证：AE=CD回顾与思考(2)复习目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思 路和方法，尺规作图等复习重难点：线段垂直平分线的做法，角平分线的做法，利用直角三角形、线段垂直平分线、 角平分线的性质灵活解题一、直角三角形性质：边 角直角三角形判定：边_角练习：1已知直角三角形两直角边长分别为 6和8,则斜边长为,斜边上的高为2、已知：在四边形 ABCD中，/ D = 90 求四边形ABCD勺面积.,DC = 3cm, AD = 4cm, AB = 12cm,BC = 13cm.D二、特殊的直角三角形性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30o,那么练习：1、RtzXABC中，ZC=90 , CDL AB,垂足为 D,若/ A=60 , AB=4cm, B1213AC=34BC= CD=o三、"HL证明两直角三角形全等：练习：1、如下图，CDLAD, CBL AB, AB=AD 求证：CD=CB.四、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.推理式：（如图）直线 MNLAB,且 AC=BC_P是MNLh的点练习：1、如上右图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm那 么 ED= cm ;如果/ ECD=60 ,那么 / EDC= .五、证明一点在线段的垂直平分线上：到线段两个端点的距离相等的 点在这条线段的垂直平分线上.推理式:T如图）PA=PB P点在AB的垂直平分线上 练习：已知： ABC中，边AR BC的垂直平分线相交于点 O.求证：点P在AC的垂直平分线上.六、三角形三边的垂直平分线定理:三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等练习：已知： ABC中，AB=AC AD是BC边一上的中线，AB的垂直平分线交 求证：OA=OB=OCADT O七、角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等推理式：点练习：1、如图，CDLAB, BE!AC,垂足分别为 D E,=/ 2 求证：OB = OC八、证明点在角平分线上在一个角的内部且到角的两边距离相等的点,在这个角的角平分线上.推理式：PD上 OA PE! OB -PD=PE点P在么AOB的角平分线上二边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于二角形内一点交于二角形内占八、钝角三角形交于二角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的 距离相等到三角形三边的 距离相等十一、作图：1、如图，求作一点 P,使PA=PB PC=PD九、三角形的角平分线定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.十、比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理2、如图，一目标在A区，到公路，铁路距离相等。在图上标出它的位置