1、概率与统计概率与统计 开课系：理学院开课系：理学院 统计与金融数学系统计与金融数学系课程主页课程主页:http:/教师教师:陈萍陈萍e-mail:Probstat 概率论是研究什么的？随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性概率论概率论研究和揭示随机现象研究和揭示随机现象的统计规律性的科学的统计规律性的科学 第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率随机事件及其运算随机事件及其运算概率的定义及其运算概率的定义及其运算条件概率条件概率事件的独立性事件的独立性 1.1随机事件及其概率随机事件及其概率一、随机试验一、
2、随机试验(简称简称“试验试验”)随机试验的特点(p2)1.可在相同条件下重复进行；2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果;3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。随机试验可表为E E1:抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重。随机实验的例二、样本空间二、样本空间(p2)1、样本空间：实验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记
3、为S=e；2、样本点:试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为e.3.由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件,也记为e.随机事件随机事件 1.定义定义(p3定义1.1.2)试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”,简称“事件”.记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空间的某个子集任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件事件A发生生当且仅当试验的结果是子集A中的元素 2.两个特殊事件两个特殊事件:必然事件S、不可能事件.(p3)例如例如 对于试验E2，以下A、B、C即为三个随机事件:A“至少出一个正面”HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT
4、TTH；B=“两次出现同一面”=HHH,TTTC=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH 再如，试验E6中D“灯泡寿命超过1000小时”x:1000 xP(A)?P(A|B)P(A)?何时何时P(A|B)P(A)?P(A|B)0,则 P(AB)P(A)P(B|A).(1.4.2)式(1.4.2)就称为事件A、B的概率乘法公式乘法公式。式(1.4.2)还可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB).(1.4.3)一般地，有下列公式：P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1).(1.4.4)例例3 3 合中有合中有3 3个红球，个红球，2
5、 2个白球，每次从袋中任个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球取球4 4次次,试求第试求第1 1、2 2次取得白球、次取得白球、第第3 3、4 4次取得红球的概率。次取得红球的概率。三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式例4.(p16)市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。定义定义 (p17)事件组A1，A2，An(n可
6、为)，称为样本空间S的一个划分，若满足：A1A2AnB定理定理1、(p17)设设A1，,An是是S的一个的一个划分，且划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件则对任何事件B S有有 式式(1.4.5)就称为就称为全概率公式全概率公式。例例5(P17)有有甲甲乙乙两两个个袋袋子子，甲甲袋袋中中有有两两个个白白球球，1个个红红球球，乙乙袋袋中中有有两两个个红红球球，一一个个白白球球这这六六个个球球手手感感上上不不可可区区别别今今从从甲甲袋袋中中任任取取一一球球放放入入乙乙袋袋，搅搅匀匀后后再再从从乙乙袋袋中中任任取取一球，问此球是红球的概率？一球，问此球是红球的概率？甲乙定理定理2 2(p
7、18)设A1，,An是S的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件BS，有 例6(p18)数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?)BA (P)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+0.067条件概率 条件概率条件概率 小小 结结缩减样本空间 定义式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯
8、公式1.5 事件的独立性事件的独立性一、两事件独立一、两事件独立(P19)定义定义1 设A、B是两事件，P(A)0,若 P(B)P(B|A)(1.5.1)则称事件A与B相互独立。式(1.5.1)等价于：P(AB)P(A)P(B)(1.5.2)定理、定理、以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。二、多个事件的独立二、多个事件的独立定义定义2、(p20)若三个事件A、B、C满足：(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立两两相互独立；一般地，设A1，A2，An是n个事件个事件，如果对任意k (1kn),任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik)(1.5.4)则称n个事件个事件A1，A2，An相互独立相互独立。三、事件独立性的应用三、事件独立性的应用1、加法公式的简化加法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立,则 (1.5.5)
