1、第四章第四章 傅里叶变换和系统的频域傅里叶变换和系统的频域分析分析本章要点：本章要点：傅里叶级数和傅里叶级数的性质傅里叶级数和傅里叶级数的性质傅里叶变换和傅里叶变换的性质傅里叶变换和傅里叶变换的性质周期信号和非周期信号的频谱分析周期信号和非周期信号的频谱分析周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换LTILTI系统的频域分析系统的频域分析取样定理取样定理信号分解为正交函数与矢量分解为正交矢量类似信号分解为正交函数与矢量分解为正交矢量类似一、正交矢量一、正交矢量：定义：如果两个矢量定义：如果两个矢量 和和 相互垂直，则称相互垂直，则称 和和 为正交矢量。为正交矢量。设在平面上，设在平面上，两个矢量
2、两个矢量 和和 夹角为夹角为，在在 上的投影为上的投影为 4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数其误差矢量为其误差矢量为：1、要用一个矢量分量去代表原矢量，当分量、要用一个矢量分量去代表原矢量，当分量是原矢量的垂直投影时，误差矢量最小：是原矢量的垂直投影时，误差矢量最小：若用若用 来近似表示来近似表示 ，则表达式为：则表达式为：4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数2、若从解析角度考虑、若从解析角度考虑c12的取值问题，可令的取值问题，可令误差矢量的平方最小：误差矢量的平方最小：C12标志着两个矢量相互接近的程度。标志着两个矢量相互接近的程度。4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数
3、二、正交函数：二、正交函数：设在时间区间（设在时间区间（t1，t2）内，两函数内，两函数f1(t)，f2(t)。用用f1(t)在在f2(t)中的分量中的分量c12f2(t)来表示来表示f1(t)。即即：xy这个概念可推广到这个概念可推广到n维空间维空间。平面上任意矢量在直角坐标系中可分解平面上任意矢量在直角坐标系中可分解为两个正交矢量的组合。为两个正交矢量的组合。4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数设误差函数为设误差函数为：为使为使f1(t)和和f2(t)达到最佳近似，用均方误差达到最佳近似，用均方误差：令可得：4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数4.1信号分解为正交函数信号分解为
4、正交函数当当c12为为0时，表示两个函数正交。时，表示两个函数正交。c12为为f1(t)与与f2(t)的相关系数。由此，给出正交函数的的相关系数。由此，给出正交函数的定义：定义：4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数1、在在t1,t2区间上定义的非零实函数区间上定义的非零实函数f1(t)与与f2(t)，若满足条件：若满足条件：则函数则函数f1(t)与与f2(t)为区间为区间t1,t2上的正交函数上的正交函数 2、若若 f1(t)与与f2(t)是复变函数，则是复变函数，则 f1(t)与与f2(t)在在t1,t2区区 间上正交的条件是：间上正交的条件是：正交函数的定义：4.1信号分解为正交函数
5、信号分解为正交函数三、正交函数集：三、正交函数集：定义：在定义：在t1,t2区间上定义的区间上定义的n个非零实函数个非零实函数集集 g1(t),g2(t),gn(t)，其中任意两个函数其中任意两个函数gi(t)、gj(t)均满足：均满足：其中，其中，ki为常数，称此函数集为正交函数集为常数，称此函数集为正交函数集4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数 任意一个函数任意一个函数f(t)f(t)在区间在区间tt1 1,t,t2 2 内，可内，可以用这以用这n n个正交函数的线性组合来近似表示：个正交函数的线性组合来近似表示：在使近似式的均方误差最小的情况下，可在使近似式的均方误差最小的情况下，
6、可分别求得系数分别求得系数c c1 1,c,c2 2,c,cn n：4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数令则：4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数四、完备正交函数集四、完备正交函数集 在区间在区间tt1 1,t,t2 2 内，用正交函数集内，用正交函数集g g1 1(t),g(t),g2 2(t)(t),.,g,.,gn n(t)(t)，来近似表示来近似表示函数函数f(t)f(t)，其方均误差为其方均误差为 ：若若 则称此函数集为完则称此函数集为完备正交函数集备正交函数集。4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数 所谓完备，是指对任意函数所谓完备，是指对任意函数f(t)f(t)，
7、都可以用都可以用一无穷级数表示：一无穷级数表示：此级数收敛于此级数收敛于f(t)f(t)。上式即上式即f(t)f(t)的正交分解。的正交分解。4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数常用的完备正交函数集常用的完备正交函数集:1 1、三角函数集：、三角函数集：函数函数1 1，coscos t,cos2t,cos2 t,t,cosn,cosn t,.,sint,.,sin t,t,sin2sin2 t,t,sinn,sinn t,t,当所取函数有无限多个时，在区间当所取函数有无限多个时，在区间tt0 0，t t0 0+T+T内组内组成完备正交函数集。其中成完备正交函数集。其中T=2T=2/2 2、复指数函数集：、复指数函数集：函数集函数集ejnejn t,n=0,t,n=0,1,1,2,2,是一个复变函数集，是一个复变函数集，在区间在区间t0t0，t0+Tt0+T内是完备正交函数集。内是完备正交函数集。4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数
