1、第二章第二章:解三角形解三角形 1.问题的引入问题的引入:.(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事事.明月高悬明月高悬,我们仰望夜空我们仰望夜空,会有无限遐会有无限遐想想,不禁会问不禁会问,月亮离我们地球有多远呢月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样测出来的呢？科学家们是怎样测出来的呢？(2)设设A,B两点在河的两岸两点在河的两岸,只给你米尺和量只给你米尺和量角设备角设备,不过河你可以测出它们之间的距不过河你可以测出它们之间的距离吗离吗?AB我们这一节所学习的内容就是解决这些问我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具题的有力工具.回忆一下直角三角形的边角关
2、系回忆一下直角三角形的边角关系?ABCcba两等式间有联系吗？两等式间有联系吗？思考思考:对一般的三角形对一般的三角形,这个结论还能成立吗这个结论还能成立吗?2.定理的推导定理的推导1.1 正弦定理正弦定理(1)当当 是锐角三角形时是锐角三角形时,结论是否还成立呢结论是否还成立呢?D如图如图:作作AB上的高是上的高是CD,根根椐三角形的定义椐三角形的定义,得到得到1.1 正弦定理正弦定理BACabcE(2)当当 是钝角三角形时是钝角三角形时,以上等式是否以上等式是否仍然成立仍然成立?BACbca1.1.1 正弦定理正弦定理D（1 1）文字叙述文字叙述正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它
3、所对角在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等的正弦的比相等.（2）结构特点结构特点（3 3）方程的观点）方程的观点正弦定理实际上是已知其中三个正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个求另一个.能否运用向量的方法来证明正弦定理呢能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?和谐美、对称美和谐美、对称美.正弦定理正弦定理:O(A)yxCBC因为向量因为向量 与与 在在y y轴上的射影均为轴上的射影均为 ，如图所示，以如图所示，以A A为原点，以射线为原点，以射线ABAB的方向为的方向为x x轴正轴正方向建立直角坐标系，方向建立直角坐标系，C C点在点在y y轴上的射影为轴上的射影为CC，即即所以所以即
4、即所以所以 若若A A为锐角或直角，也可以得到同样的结论为锐角或直角，也可以得到同样的结论.同理，同理，变式变式:正弦定理正弦定理 在一个三角形中在一个三角形中,各边和它所对角的各边和它所对角的正弦的比相等正弦的比相等,即即剖析定理、加深理解1 1、A+B+C=A+B+C=2 2、大角对大边，大边对大角、大角对大边，大边对大角剖析定理、加深理解3 3、正弦定理可以解决三角形中的问题：、正弦定理可以解决三角形中的问题：已知已知两角和一边两角和一边，求其他角和边，求其他角和边 已知已知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角，求另一边，求另一边的对角，进而可求其他的边和角的对角，进而可求其他的边和
5、角剖析定理、加深理解4 4、一般地，把三角形的三个角、一般地，把三角形的三个角A A，B B，C C和它们的对边和它们的对边a a，b b，c c叫做叫做三角形的元三角形的元素素。已知三角形的几个元素求其他元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫的过程叫解三角形解三角形剖析定理、加深理解5 5、正弦定理的变形形式、正弦定理的变形形式6 6、正弦定理、正弦定理，可以用来判断三角形的，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化关系的转化例例1 在在 已知已知 ,解三角形解三角形.通过例题你发现了什么一般性结论吗通过例题你发现了什么一般性结论吗
6、小结小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利：知道三角形的两个内角和任何一边，利 用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。1.1 正弦定理正弦定理3.定理的应用举例定理的应用举例变式：变式：若将若将a=2 改为改为c=2，结果如何？，结果如何？例例 2 已知已知a=16，b=，A=30.解三角形。解三角形。已知两边和其中一边已知两边和其中一边的对角的对角,求其他边和角求其他边和角解：由正弦定理解：由正弦定理得得所以所以6060,或或120120当当 时时6060C=90C=30当当120120时时B16300ABC16316834.基础练习题基础练习题1.
7、1 正弦定理正弦定理B=300无解无解BCDEA分析：分析：如图所示，将如图所示，将BD,CEBD,CE分别延分别延长相交于一点长相交于一点A A，在，在AABCBC中，已中，已知知BCBC的长及角的长及角B B与与C C，可以通过正，可以通过正弦定理求弦定理求ABAB，ACAC的长的长.例例3.某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩(如图所如图所示示)，其一角已破损，其一角已破损.现测得如下数据：现测得如下数据：BC=2.57cm，CE=3.57cm，BD=4.38cm,.为了复为了复原原,请计算原玉佩两边的长（结果精确到请计算原玉佩两边的长（结果精确到0.
8、01cm）.解：解：将将BD,CEBD,CE分别延长相交于一点分别延长相交于一点A A，在，在AABCBC中，中，BC=2.57cm,B=45BC=2.57cm,B=45,C=120C=120,A=180A=180-(B+C)=180(B+C)=180-(45(45+120120)=15=15.因为因为 ,所以所以利用计算器算得利用计算器算得AC7.02(cm),AC7.02(cm),同理同理,AB8.60(cm).,AB8.60(cm).答：原玉佩两边的长分别约为答：原玉佩两边的长分别约为7.02cm,8.60cm.7.02cm,8.60cm.例例4.台风中心位于某市正东方向台风中心位于某市
9、正东方向300 km处，正处，正以以40 km/h的速度向西北方向移动，距离台风中的速度向西北方向移动，距离台风中心心250 km范围内将会受其影响范围内将会受其影响.如果台风风速不如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间（结果精确到影响持续多长时间（结果精确到0.1h）?分析：分析：如图所示，台风如图所示，台风沿着沿着BDBD运动时，由于运动时，由于|AB|AB|=300 km250 km=300 km250 km，所以开，所以开始台风影响不了城市始台风影响不了城市A A，由点，由点A A到台风移动路径到台风移动路径BDB
10、D最小距离最小距离|AE|=|AB|AE|=|AB|sin45sin45所以台风在运动过程中肯定要影响城市所以台风在运动过程中肯定要影响城市A.A.这就要在这就要在BDBD上求影响上求影响A A的始点的始点C C1 1和终点和终点C C2 2，然后根据台风，然后根据台风的速度计算台风从的速度计算台风从C C1 1到到C C2 2持续的时间持续的时间.A北北DC2EC1B解：解：设台风中心从点设台风中心从点B B向西北方向沿射线向西北方向沿射线BDBD移动，该移动，该市位于点市位于点B B正西方向正西方向300 km300 km处的点处的点A.A.假设经过假设经过thth，台风中心到达点，台风中
11、心到达点C C，则在，则在ABCABC中中,AB=300 kmAB=300 km，AC=250 km,BC=40t km,B=45AC=250 km,BC=40t km,B=45.正弦定理正弦定理主要应用主要应用 (1)已知两角及任意一边，可以求出其他两已知两角及任意一边，可以求出其他两边和另一角；边和另一角；(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二此时可能有一解、二解、无解）解、无解）1.1 正弦定理正弦定理小结小结:作业作业正弦定理（第二课时）1、复习回顾正弦定理的内容、复习回顾正弦定理的内容
12、问题问题1 由例由例2我们发现，已知两边和其中一边的对我们发现，已知两边和其中一边的对角，解三角形时会出现两解的情况角，解三角形时会出现两解的情况.还会出现其他还会出现其他情况吗？你能从代数或几何角度给出解释吗？情况吗？你能从代数或几何角度给出解释吗？提示：提示：已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解可能有两解、一解或无解.在在ABCABC中，已知中，已知a a，b b和和A A时，解的情况如下：时，解的情况如下：探究点探究点2 正弦定理解三角形正弦定理解三角形1.1.为锐角为锐角absinAabsinA无解无解a=bsinAa=bs
13、inA一解一解bsinAabbsinAabab一解一解abab无解无解baba为直角时，与为钝角相同，为直角时，与为钝角相同，abab时，一解；时，一解；abab时，无解时，无解.问题问题2 如图如图所示，在所示，在Rt ABC中，斜边中，斜边AB是是ABC外接圆的直径（设外接圆的直径（设RtABC外接圆的半外接圆的半径为径为R），因此），因此这个结论对于任意三角形这个结论对于任意三角形(图图，图图)是否成立？是否成立？提示：提示：成立，证明如下成立，证明如下.ACBBacbO如图如图:当当ABCABC为锐角三角形时，为锐角三角形时，abc当当ABCABC为直角三角形时，容易得证为直角三角形时
14、容易得证.问题问题3BACDabcha证明证明:因为因为而而所以所以小结：小结：2、在在 中中，若若 ，则则 是是()A.等腰三角形等腰三角形 B.等腰直角三角形等腰直角三角形 C.直角三角形直角三角形 D.等边三角形等边三角形1、在、在 中，一定成立的等式是（中，一定成立的等式是（）CD3.（2013北京高考）在北京高考）在ABC中，中，a=3,b=5,sinA=则则sinB=()A.B.C.D.1BB 6.在在 中，中，c=4,a=2,C=,则则 =_.5.若若A,B,C是是ABC的三个内角，的三个内角，则则sinA+sinB_sinC.通过本节课的学习通过本节课的学习:1.掌握正弦定理
15、的表示形式及证明正弦定理的向掌握正弦定理的表示形式及证明正弦定理的向量方法量方法.2.学会运用正弦定理解决两类基本的解三角形问学会运用正弦定理解决两类基本的解三角形问题题.（1）已知两角及一边；）已知两角及一边；（2）已知两边和其中一边的对角）已知两边和其中一边的对角.在例在例 2 2 中，将已知条件改为以下几种情况，不计算判中，将已知条件改为以下几种情况，不计算判断有几组解？断有几组解？60ABCb（3 3）b b2020，A A6060，a a15.15.（1 1）b b2020，A A6060，a a ;（2 2）b b2020，A A6060，a a ;（3 3）b b2020，A A6060，a a15.15.6020AC（1 1）b b2020，A A6060，a a ;60203A20BC（2 2）b b2020，A A6060，a a ;BC60A20一解一解一解一解无解无解absinAa=bsinA bsinAab无解无解一解一解两解两解一解一解无解无解一解一解AC条件图形解的个数总结总结ACBBCAACDB2B1CADABCD
