1、Schmidt正交化正交化及正交方阵及正交方阵 一一.向量的内积及其性质向量的内积及其性质1.向量内积的定义向量内积的定义设设 是两个是两个n维向量维向量 令令 称称是向量是向量X和向量和向量Y的内积。的内积。2.内积的性质内积的性质(1)=(3)=+(2)=3.向量的范数向量的范数称称 为向量为向量X的长度的长度(范数范数),记为记为|X|称称|X Y|为为X与与Y之间的距离之间的距离.证明：证明：令令 f(t)=，显然函数显然函数f(t)0且且 f(t)=+=+t+t+t2=|X|2+2t+t2|Y|2 从而有：从而有：即即 证毕证毕称称为向量为向量X与之间的夹角与之间的夹角.即即,特别特
2、别4.范数的性质范数的性质(5)|X|0,且且|X|=0 X=0证明证明:由由 再由再由得到得到:即即:证毕证毕例例1.设设X,Y,Z皆是皆是n维向量维向量,试证明三角不等式试证明三角不等式:证明证明:例例2.设设X,Y是两个相互正交的是两个相互正交的n维向量维向量,试证明勾试证明勾股定理股定理:证明证明:定理定理1.非零的正交向量组必然是线性无关的。非零的正交向量组必然是线性无关的。证明：证明：设 1,2,m是一是一组两两相互正交的两两相互正交的非非零向量零向量.1,2,m是一是一组数，数，1 1+2 2+m m=0 使得使得则则 0=j 又又|j|2 0,所以所以 j=0,j=1,2,m
3、从而从而 1,2,m线性无关性无关 证毕证毕二二.向量空间的标准正交基向量空间的标准正交基1.标准正交基的定义及其性质标准正交基的定义及其性质定义定义:设设V是一个向量空间，是一个向量空间，1,2,m是是V的一组基，若满足：的一组基，若满足：1）1,2,m两两相互正交两两相互正交 2）|j|=1,j=1,2,m 则称称 1,2,m是向量空是向量空间V的一的一组标准准正交基正交基.定理定理2 若若 1,2,m是向量空间是向量空间V的一组标的一组标准正交基，准正交基，=1 1+2 2+m m是是V中的一个向量，则中的一个向量，则 j=,j=1,2,m证明：证明：2.Schmidt正交化过程正交化过
4、程定理定理3 若若V是是Rn的一个非零子空间，则的一个非零子空间，则V一定有一定有标准正交基标准正交基.证明：证明：设 1,2,m是是V的一的一组基。基。取取 取取 取取 设设 1,2,s,s m,是两两正交的单位向是两两正交的单位向量量,并且该向量组与并且该向量组与 1,2,s等价等价.取取;当当 j=1,2,s 时时,显然显然,1,2,s,s+1是两两正交的单位是两两正交的单位向量向量,并且该向量组与并且该向量组与 1,2,s,s+1等价等价.经过若干次后我们就可以得到经过若干次后我们就可以得到V的一组标准的一组标准正交基正交基 1,2,m。1=1,证毕证毕Schmidt正交化过程正交化过
5、程,k=1,2,m-1例例3.把列向量组把列向量组 1=(1,0,1,1)T,2=(1,1,0,1)T,3=(0,1,1,1)T正交化。正交化。解解:令令 1=1,例例解解把把基础解系正交化，即合所求亦即取基础解系正交化，即合所求亦即取3.向量在向量空间上的正交投影向量在向量空间上的正交投影定定义:设V是是Rn的一个非平凡的子空的一个非平凡的子空间,Rn，若在，若在V中存在某向量中存在某向量，使得，使得 -与与V中中任何一个向量皆正交，任何一个向量皆正交，则称称 为向量向量 在向在向量空量空间V中的正交投影向量。中的正交投影向量。定理定理4.设设V是是Rn的一个非平凡的子空间的一个非平凡的子空
6、间,Rn,则则 在向量空间在向量空间V中的正交投影向量存在且唯中的正交投影向量存在且唯一一.证明：证明：设 1,2,m是向量空是向量空间V的一的一组标准准正正交基交基.取取 则=-=-=0，说明向量明向量 -与与V的的标准正交基准正交基 1,2,m中的任何一个向量皆正交，中的任何一个向量皆正交，从而与从而与V中的任何一个向中的任何一个向量皆正交。量皆正交。故故 是向量是向量 在向量空间在向量空间V中的正交投影中的正交投影向量。向量。若若 也是向量也是向量 在向量空间在向量空间V中的正交投影向量，中的正交投影向量，由于由于:=+=0，j=1,2,m，以及以及 V，V的维数等于的维数等于m，推知推
7、知 =即即,在向量空间在向量空间V中的正交投影是唯一的。中的正交投影是唯一的。定理定理5 设设V是是Rn的一个非平凡的子空间，的一个非平凡的子空间，Rn，是是 在向量空间在向量空间V中的正交投影向量，则对于中的正交投影向量，则对于V中的任何一个向量中的任何一个向量，只要，只要 ，就有：，就有：|-|-|2.即：即：|-|-|证毕证毕三三.正交方阵及其性质正交方阵及其性质定义：设定义：设A是一个是一个n阶方阵，若阶方阵，若ATA=En则称则称A为为一个一个n阶正交矩阵。阶正交矩阵。1.A是一个正交矩阵的充分必要条件是它的转置是一个正交矩阵的充分必要条件是它的转置矩阵是一个正交矩阵。矩阵是一个正交
8、矩阵。2.A是一个正交矩阵的充分必要条件是它的是一个正交矩阵的充分必要条件是它的n个个列向量构成了列向量构成了Rn的一个标准正交基的一个标准正交基.3.若若A是一个正交矩阵，则是一个正交矩阵，则|A|2=1定义定义:若若A是一个正交矩阵，则称线性变换是一个正交矩阵，则称线性变换Y=AX为正交变换。为正交变换。正交变换有如下性质：设正交变换有如下性质：设Y1=AX1,Y2=AX21.=2.|Y1|=|X1|3.Y1与与Y2之间的夹角等于之间的夹角等于X1与与X2之间的夹角之间的夹角小结小结1.n维向量之间的内积维向量之间的内积;n维向量的范数维向量的范数;两个两个n维向量之间的距离维向量之间的距离;夹角夹角.2.Schimidt正交化过程正交化过程3.向量在向量空间上的正交投影及其性质向量在向量空间上的正交投影及其性质4.正交矩阵、正交变换正交矩阵、正交变换
