1、9.8 距距 离离1.点到平面的距离AP 一点到它在一个平面内的一点到它在一个平面内的正射影正射影的的距离叫做这一距离叫做这一点到这个平面的距离点到这个平面的距离练习：1已知线段已知线段AB不在平面内，不在平面内，A、B两点到平面两点到平面的距离分别是的距离分别是1和和3，那么线段，那么线段AB的中点到的中点到平面的距离是平面的距离是 。2或2.已知四面体已知四面体ABCD，ABACAD6，BC3，CD4，BD5，求点，求点A到平面到平面BCD的距离。的距离。练练 习习O3.如图，如图，AB是是 O的直径，的直径，PA平面平面 O，C为圆周上为圆周上一点，若一点，若AB5，AC2，求，求B到平
2、面到平面PAC的距离。的距离。4.如图，已知如图，已知P为为ABC外一点，外一点，PA、PB、PC两两垂直，且两两垂直，且PAPBPC3，求，求P点点到平面到平面ABC的距离。的距离。2.直线到与它平行平面的距离一条直线上一条直线上任一点任一点到与它平行的到与它平行的平面平面的距离，叫做这条的距离，叫做这条直线到平面的距离。直线到平面的距离。例例1 如图，已知正三角形的边长为如图，已知正三角形的边长为6cm，点到，点到 各顶点的距离都是各顶点的距离都是4cm，求点到这个三角形所在平面的，求点到这个三角形所在平面的距离。距离。解：解：设设H为点为点O在平面在平面ABC内的射影，延内的射影，延长长
3、AH，交，交BC于于E，则，则即即H是是ABC的外心。在的外心。在Rt ABC中，中，即点即点O到这个三角形所在平面的距离为到这个三角形所在平面的距离为2 cm.PADOECBPADOECBABEFDCPXYZBEPAFDCGHCPABEFDGHO方法总结：（空间距离转化为点面距离）1、找出或作出垂线段、2、证明其符合定义、3、归结为几何计算或解三角形。4.利用空间向量方法求点面距离。先确定平面的法向量，再求点与平面上一点连结线段在平面的法向量上的射影长。5.如图，已知在长方体如图，已知在长方体ABCDABCD中，棱中，棱AA=5，AB=12，求直线，求直线BC到平到平面面ABCD的距离。的距
4、离。练练 习习3.3.两个平行平面的距离两个平行平面的距离和两个平面和两个平面同时垂直同时垂直的直线，叫做这的直线，叫做这两个平两个平面的公垂线面的公垂线。公垂线夹在平行平面之间的部分，。公垂线夹在平行平面之间的部分，叫做这叫做这两个平面的公垂线段两个平面的公垂线段。两个平行平面两个平行平面的的公垂线段公垂线段的长的长度，叫做度，叫做两个平两个平行平面的距离行平面的距离。ABCA1思考思考：任意两条异面直线都有公垂线吗？任意两条异面直线都有公垂线吗？有多少条公垂线？有多少条公垂线？已知异面直线已知异面直线AA1和和BC，直线直线AB与异面直线与异面直线AA1，BC都垂都垂直相交。直相交。和两条
5、异面直线都和两条异面直线都垂直相交垂直相交的直线叫做两条异面直线的的直线叫做两条异面直线的公垂线公垂线，公垂线夹在异面直，公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异线间的部分，叫做这两条异面直线的面直线的公垂线段公垂线段。4.异面直线的距离异面直线的距离定理一定理一：任意两条异面直线：任意两条异面直线有且只有一条有且只有一条公垂线。公垂线。存在性：存在性：abPaQMcBA直线直线ABAB就是异面直线就是异面直线a,ba,b的公垂线的公垂线唯一性：唯一性：假如还有直线假如还有直线A AB B也是也是a,b的公垂线，则的公垂线，则 ABa ABb a/a ABa所以所以 AB 平面平面 又又AB
6、平面平面 AB/AB 则则 a,b共面共面 矛盾！矛盾！AB定理二定理二：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中两条异面直线上两点的线段中最短最短的一条。的一条。abABCD两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离两条异面直线的距离aabAAdEFlmn例例4 已知两条异面直线所成的角为，在直线、上已知两条异面直线所成的角为，在直线、上分别取、，已知，求公垂线分别取、，已知，求公垂线段的长度。段的长度。解：解：异面直线的距离公式：异面直线的距离公式：6.已知正方体已知正方体 ,说出下列各对棱所在说
7、出下列各对棱所在直线的公垂线，并求它们之间的距离：直线的公垂线，并求它们之间的距离：AB与与BC；AB与与CC；AD与与BB；CD与与BC；AB与与CD。练练 习习7.如图，已知空间四边形如图，已知空间四边形OABC各边及对角各边及对角线长都是线长都是1，D,E分别是分别是OA,BC的中点，连结的中点，连结DE。（1）求证：求证：DE是是OA和和BC的公垂线。的公垂线。（2）求）求OA和和BC间的距离。间的距离。8.正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中，P为为AB中点，中点，Q为为BC中点，中点，AA1=a,O为正方形为正方形ABCD的中心，求的中心，求PQ与与C1O间的距离。间的距离。
8、例例5：已知二面角已知二面角-l-l-的大小是的大小是1200，A,C 且且ABl,CDll,CDl，AB=CD=a,AC=2a,求（求（1）BD的长；的长；（2）BD和和AC所成角的余弦值；所成角的余弦值；（3）BD和和AC的距离。的距离。ABCDl思考：思考：已知正方体的棱长为已知正方体的棱长为1 1，求异面直线与的距离。求异面直线与的距离。求异面直线的距离的常用方法：求异面直线的距离的常用方法：（1 1）找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。ab（2 2）转化为求线面间的距离。转化为求线面间的距离。a/平面平面ab（3 3）转化为求平行平面间
9、的距离。转化为求平行平面间的距离。a/平面平面,b/,b/平面平面注意：（注意：（2 2）3 3）可进一步转化为点到平面的距离。）可进一步转化为点到平面的距离。课堂小结：课堂小结：（4 4）用模型公式）用模型公式（5 5）向量方法：先求两异面直线的公垂线方向的向量，）向量方法：先求两异面直线的公垂线方向的向量，再求两异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影再求两异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长长abEFn空间距离补充例题空间距离补充例题1.有关点到直线、点到平面距离的求法有关点到直线、点到平面距离的求法M OA C B A1B1C1转化思想转化思想A D C B A1D1B1C1空空 间间 距距 离离2.给出公垂线的两条异面直线距离的求法给出公垂线的两条异面直线距离的求法HOA D C B A1D1B1C1O转化思想转化思想空空 间间 距距 离离3.直线和平面间的距离与两平行平面间的距离直线和平面间的距离与两平行平面间的距离A D C B A1D1B1C1OO1HMMOD
