1、7.1 点到直线的距离公式点到直线的距离公式若M(x0y0)是平面上一定点,它到直线l:Ax+By+C=0的距离d为试用向量方法给出简单的证明证明 如图,M(x0,y0)是直线外一定点,P(x,y)是直线上任意一点,由直线l:Ax+By+C=0,可以取它的方向向量v v=(B,-A).P P(x,y)M(x0y0)nlO Oxy设n n=(A,B),因为nvnv=(A,B)(B,-Aa)=AB-BA=0所以n v,故称n为直线l的法向量.与n同向的单位向量所以,点M(x0y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离等于向量 在n n0 0方向上射影的长度.又因为P(x,y)为l上任意一点,所以c=
2、Ax+By)故例1 求点P(1,2)到直线l：2x+y+1=0的距离。解 由点到直线的距离公式，得所以点P(1,2)到直线l的距离为 分析分析：以A为原点建立直角坐标系，应该有四个解.例2 若向量 =(2,3),=(1,k),k R，ABC为直角三角形，求k的值.yx A CByx A CB分析分析：在所求直线上任取一点：在所求直线上任取一点P,则则 a,利用向量平行的条利用向量平行的条件写出方程件写出方程.解:设点P(x,y)是所求直线上的任意一点,则 =(x+1,y-2).例3 求过点A(-1,2),且平行于向量a=(3,1)的直线方程.a所求直线的方程为解:设点Q(x,y)是所求直线上的任意一点,则 =(x-1,y+1).练习 求过点P(1,-1),且与向量n=(4,-3)垂直的直线方程.所求直线的方程为小结：小结：（1）点点M(x0,y0)到直线到直线l:ax+by+c=0的距离等于向的距离等于向量量 在在l的单位向量的单位向量n0上射影的长度上射影的长度,；（2）利用直线的法向量）利用直线的法向量,用两向量垂直的充要条用两向量垂直的充要条件可求直线方程件可求直线方程.
