1、相似三角形经典习题例1从下面这些三角形中，选出相似的三角形.例2已知：如图， OABCD中，AE:EB 1:2,求 AEF与 CDF的周长的比，如果 S AEF 6cm2,求SCDF CL/T例3如图，已知 ABDs ACE,求证:ABCs ADE .例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似.（2）所有的等腰三角形都相似.（3）所有的等腰直角三角形都相似.（4）所有的等边三角形都相似.例5如图，D点是 ABC的边AC上的一点，过D点画线段DE,使点E在 ABC的边上，并且点D、点E和 ABC 的一个顶点组成的小三角形与ABC相似.尽可能多地画出满足条件的图形，并
2、说明线段DE的画法.例6如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上名1 12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高.初三(下)相似三角形例7如图，小明为了测量一高楼 MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿 NA后退到C点，正好从 镜中看到楼顶 M点，若AC 1.5m,小明的眼睛离地面的高度为 1.6m,请你帮助小明计算一下楼房的高度(精确到0.1m).fi h例8格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由.例9根据下列各组条件，判定ABC和 ABC是否相似，并说明理由：(1) AB 3.5cm, BC
3、 2.5cm,CA 4cm, A B 24.5cm,BC17.5cm,CA 28cm.(2) A35 ,B 104 ,C 44 , A 35 .(3) AB3, BC 2.6, B48 , A B 1.5,BC1.3, B 48 .例10如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据.例11已知：如图，在 ABC中，AB AC, A 36 ,BD是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AD2 DC AC .初三（下）相似三角形例12已知 ABC的三边长分别为5、12、13,与其相似的ABC的最大边长为26,求 ABC的面积S.例13在一次数学活动
4、课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法.小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆 27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部 A与 竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得 C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高.你认 为这种测量方法是否可行？请说明理由.BC D例14.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A,再在河的这一边选点 B和C,使AB BC , 然后再选点 巳 使EC BC ,确定BC与AE的交点为D,测得BD 120米，DC 60米，EC 50米，你能求出 两岸之间AB的大致
5、距离吗？例15.如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE,标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆 DC退后123步的G处，可看到山峰 A和标杆顶端C在 一直线上，从标杆 FE退后127步的H处，可看到山峰 A和标杆顶端E在一直线上.求山峰的高度 AB及它和标杆CD 的水平距离BD各是多少？（古代问题）B D G F H例16 如图，已知 ABC的边AB=2，3, AC=2, BC边上的高AD = J3 .（1）求BC的长；（2）如果有一个正方形的边在 AB上，另外两个顶点分别在 AC, BC上，求这个正方形的面积.相
6、似三角形经典习题答案例1. 解、相似，、相似，、相似例 2. 解 ABCD 是平行四边形， AB/CD, AB CD,， AEF s cdf ,又 AE: EB 1:2, . AE:CD 1:3,AEF 与 CDF的周长的比是1: 3.AEFCDF1x22、(), S AEF 6(cm ) , S CDF354(cm2).例3分析由于 ABD s ACE ,则 BADCAE ,因此一BABAC DAE ,如果再进一步证明 ADCA 皿，则AE问题得证. 证明 又ABDs ACEBAD CAE .BACBACBADDAE .DAEDAC CAE,ABD sAB ACAD AE在ABC和ADE 中
7、 BACAB ADE,-ADAC,ABCs ADE AE例4.分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同.（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同.（3）正确.设有等腰直角三角形ABC 和 A B C ,其中 C C 90 ,则 A A 45 ,45 ，设ABC的三边为a、b、c,ABC的边为a、b、c ,b,cb , c .2 aABCs ABC .（4）也正确，如 ABC与 ABC都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例, 答：（1）、（2）不正确.（3）、（4）正确.因此ABCs例5.解:画法略.例6.分析 本
8、题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即DF 60厘米0.6米，GF 12 厘米 0.12 米,CE解30米，求 BC.由于 ADF s AEC,-DF 公F，又EC ACACFsABC,DFECGF,从而可以求出BCBC的长.AE EC, DF/EC , . ADF AEC, DAFEAC , ADF sAEC.DFECAFAC又 GF EC, BC EC , GF / BC, AFGACB, AGFAGF sABC,AFACGFDF GFBCEC BC初三(下)相似三角形又DF 60厘米 0.6米，GF 12厘米 0.12米，EC 30米，BC 6米.即电线杆的高为 6米.例7.分析
9、 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA与 MNA的相似关系就明确了.解因为 BC CA,MN AN, BAC MAN ,所以 BCAs MNA.所以 MN:BC AN: AC,即 MN :1.6 20:1.5 .所以 MN 1.6 20 1.5 21.3 (m).说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦.例8.分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的.实际上格点无形中给图形增添了条件一一长度和角度.解 在格点中DE EF, AB BC,所以 E B 90 ,DEF s ABC，又EF 1,DE 2, BC 2, AB 4 .所以三
10、空 1.所以AB BC 2说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏.例9.解(1)因为AB因为AB1803.5cm1 BC2.5cm1 CA24.5cm 7 , BC17.5cm 7, C AA B 41 ,两个三角形中只有A4cm 1,所以 ABC s ABC；28cm 7A ,另外两个角都不相等，所以 ABC与ABC不相似；(3)因为 B B,西-BC- 2 ,所以AB BC 1例10.解 (1) ADEs ABC 两角相等；(3) CDEs CAB 两角相等；(5) ABDs ACB 两边成比例夹角相等；ABC相似于 ABC . ADEs ACB(4) EABs ECD
11、6) ABDs ACB两角相等；两边成比例夹角相等;两边成比例夹角相等.例11.分析 有一个角是65。的等腰三角形，它的底角是72 ,而BD是底角的平分线,CBD 36 ,则可推出ABCs BCD,进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系.证明A 36 , AB AC ,ABCC 72又 BD 平分 ABC, . ABDCBD 36AD BDBC,且 ABCs BCD, BC:AB CD :BC , BC2 AB CD,. .AD2AC CD .说明(1)有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边.ad
12、ba(2)要说明线段的乘积式 ab cd,或平方式a2 bc , 一般都是证明比例式， 一 一，或一 一，再根据c ba c比例的基本性质推出乘积式或平方式.例12分析 由 ABC的三边长可以判断出 ABC为直角三角形，又因为 ABCs A B C ,所以 ABC也是直角 三角形，那么由 ABC的最大边长为26,可以求出相似比，从而求出 AB C的两条直角边长，再求得 ABC的 面积.解设ABC的三边依次为,BC 5, AC 12, AB 13,则 AB2 BC2 AC、， C 90又 ABCs ABC ,又 BC 5, AC 12, BC10, AC 24.BC ACBC AC1S AC2A
13、B 13 1A B 2621BC - 24 10 1202例13.分析判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高.按这种测量方法，过 作FG AB于G,交CE于H,可知 AGF s EHF ,且GF、HF、EH可求，这样可求得 AG,故旗杆AB可求.解 这种测量方法可行.理由如下：设旗杆高AB x .过F作FG AB于G,交CE于H (如图).所以 AGF s EHF .因为 FD 1.5,GF 27 3 30,HF 3,所以 EH 3.5 1.5 2,AG x 1.5.AG GF x 1 5 30由 AGF s EHF,得 CG GF,即.5 30,所以 x 1.
14、5 20 ,解得 x 21.5 （米） EH HF 23所以旗杆的高为21.5米.说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行.例 14.解： ADB EDC, ABC ECD 90 , ABDs ECD, 也 D,AB BD EC 120 50 100 （米），答：两岸间 AB 大致相距 100 米. EC CDCD 60例 15.答案：AB 1506米，BD 30750步，（注意：KC -DG AK ,KE 里 AK .） CDFE例16.分析：要求BC的长，需画图来解，因 AB、AC都大于高AD,那么有两种情况存在，即点 D在BC上或点D在BC的延长线上，所以求 BC的长时要分两种情况讨论.
15、求正方形的面积，关键是求正方形的边长.解：（1）如上图，由 AD BC,由勾股定理得 BD=3, DC = 1,所以BC=BD+ DC = 3+1 = 4.如下图，同理可求 BD = 3, DC = 1,所以BC=BD-CD=3-1=2.（2）如下图，由题目中的图知 BC=4,且AB2 AC2 （2J3）2 2216 , BC216 , AB2 AC2 BC2 .所以4ABC是直角三角形.由AEGF是正方形，设BGF = x,贝U FC = 2-x,GF. GF/AB, ABS正方形AEGF(3 . 3)2如下图，当BC=2,AC =2, ABC是等腰三角形，作CPXAB 于 P,AP= 1AB2在RtA APC中，由勾股定理得 CP = 1,156 48 3121. GH/AB,CGHACBA,2 3.u/ 2 3 27=Se方形GEH ( 广)1 231 2*3因此，正方形的面积为 12 63或156121
