1、第第6章章 矩阵的矩阵的Kroneker积和积和Hadamard积积The Kroneker Product and Hadamard Product 概述概述：内容：内容：介绍介绍Kronecker积和积和Hadamard积积讨论讨论K-K-积，积，积，积，H-H-积的运算性质、之间的关系积的运算性质、之间的关系积的运算性质、之间的关系积的运算性质、之间的关系K-K-积与矩阵乘积的关系积与矩阵乘积的关系积与矩阵乘积的关系积与矩阵乘积的关系K-K-积，积，积，积，H-H-积的矩阵性质积的矩阵性质积的矩阵性质积的矩阵性质K-K-积的矩阵等价与相似关系积的矩阵等价与相似关系积的矩阵等价与相似关系积
2、的矩阵等价与相似关系介绍应用介绍应用向量化算子向量化算子向量化算子向量化算子重点：重点：K-积及其应用积及其应用 61 Kroneker积和积和Hadamard积的定义积的定义定义定义6.1（P.136）设矩阵设矩阵设矩阵设矩阵A=A=a aij ij mm n n和和和和B=B=b bij ij s s t t矩阵矩阵矩阵矩阵 ，则，则，则，则A,B A,B 的的的的KroneckerKronecker被定义为被定义为被定义为被定义为A AB B：A AB=B=a aij ijBBmm n n设设设设A=A=a aij ij mm n n和和和和B=B=b bij ij m m n n为同阶
3、矩阵，则为同阶矩阵，则为同阶矩阵，则为同阶矩阵，则A A和和和和B B的的的的HadamardHadamard被定义为被定义为被定义为被定义为A A B B：A AB=B=a aij ijb bij ij mm n n例题例题1 设设 ，计算，计算 AB，BA，IB，AB，IAK-积，积，H-积的基本结果：积的基本结果：A A和和和和B B中有一个为零矩阵，则中有一个为零矩阵，则中有一个为零矩阵，则中有一个为零矩阵，则A AB=0B=0，A AB=0B=0I I I=II=I，I II=II=I若若若若A A为对角矩阵，则为对角矩阵，则为对角矩阵，则为对角矩阵，则A AB B为分块对角矩阵，为
4、分块对角矩阵，为分块对角矩阵，为分块对角矩阵，A AB B为对角矩阵。为对角矩阵。为对角矩阵。为对角矩阵。K-积的基本性质积的基本性质定理定理定理定理6 6.1 1（P P.138 138）设以下矩阵使计算有意义，则设以下矩阵使计算有意义，则设以下矩阵使计算有意义，则设以下矩阵使计算有意义，则（kAkA）B=B=A A （k kB B）A A （B+CB+C）=A A B+AB+A C C（A A B B）C=C=A A （B B C C）（A A B B）HH=A=AHH B BHH A AB B B BA AH-积的基本性质：积的基本性质：设设A，B为同阶矩阵，则为同阶矩阵，则A AB=B
5、B=BA A（kAkA）B=B=A A（k kB B）A A（B+CB+C）=A=AB+B+A AC C（A AB B）C=C=A A（B BC C）（A AB B）HH=A=AHHB BHHKronecker和和Hadamard的关系：的关系：定理定理定理定理6 6.3.3（P P.139 139）K-积积与矩阵乘法与矩阵乘法定理定理6.2（P.138）设矩阵设矩阵A，B，C，D使得使得下列运算有意义，则有下列运算有意义，则有 (A B)(C B)=（AC）（BD）意义：意义：建立建立Kronecker积和矩阵乘法的相互积和矩阵乘法的相互转换。转换。特别情形：特别情形：设设A F m m，B
6、 F n n，则则 AB=(Im B)(A I n)=(A I n)(Im B)6.2Kronecker积和积和Hadamard积的性质积的性质Kronecker积的矩阵性质积的矩阵性质定理定理定理定理6 6.4.4 （P P.140 140）设矩阵使下列运算有意义，则设矩阵使下列运算有意义，则设矩阵使下列运算有意义，则设矩阵使下列运算有意义，则 当当当当A A，B B分别为可逆矩阵时，分别为可逆矩阵时，分别为可逆矩阵时，分别为可逆矩阵时，A A B为可逆矩阵，而且有为可逆矩阵，而且有为可逆矩阵，而且有为可逆矩阵，而且有(A B)1=A1 B 1 当方阵当方阵当方阵当方阵A A F F m m
7、 m m ，B B F F n n n n时，方阵时，方阵时，方阵时，方阵A A B F F mnmn mnmn的行列式为的行列式为的行列式为的行列式为|A A B|=|A|=|A|n n|B|B|mm 若若若若A A，B B 是是是是HermiteHermite矩阵，则矩阵，则矩阵，则矩阵，则A A B是是是是HermiteHermite矩阵矩阵矩阵矩阵 若若若若A A，B B 是酉是酉是酉是酉 矩阵，则矩阵，则矩阵，则矩阵，则A A B是酉矩阵。是酉矩阵。是酉矩阵。是酉矩阵。KroneckerKronecker与矩阵等价、相似关系与矩阵等价、相似关系与矩阵等价、相似关系与矩阵等价、相似关系
8、定理定理定理定理6 6.5.5（P P.141 141）设矩阵设矩阵设矩阵设矩阵A A，B B，为同阶的等价矩阵，则为同阶的等价矩阵，则为同阶的等价矩阵，则为同阶的等价矩阵，则(A I)等价于等价于(I B)设方阵设方阵设方阵设方阵A A相似与相似与相似与相似与J JA A，方阵方阵方阵方阵B B相似于相似于相似于相似于J JB B，则则则则(A B)相似于相似于(JA A JB B)K-K-积特征值和特征向量积特征值和特征向量积特征值和特征向量积特征值和特征向量定理定理定理定理6 6.6.6（P P.142 142）设设设设A A F F m m m m 的特征值特征向量分别是的特征值特征向
9、量分别是的特征值特征向量分别是的特征值特征向量分别是 i i，x xi i，B B F F n n n n的特征值、特征向量分别是的特征值、特征向量分别是的特征值、特征向量分别是的特征值、特征向量分别是 j j ，y yj j，则则则则(A B)的特征值是的特征值是 i i j j 。特征向量是。特征向量是(xi i yj j)。(A I)+(I B)的特征值是的特征值是 i i+j j ，特征向量是，特征向量是(xi i yj j)更一般的结果：更一般的结果：更一般的结果：更一般的结果：定理定理定理定理6 6.7.7（P P.142 142）的特征值为的特征值为的特征值为的特征值为Krone
10、cker的函数性质的函数性质定理定理6.8（P.143）设是设是f(z)解析函数，解析函数，f(A)有意义，则有意义，则f f(I A)=I f(A)f(A I)=f(A)I特例：特例：例题例题1 设设 A F m n，B F s t，证明证明rank（A B）=rank（A）rank（B）例题例题2（P P.144 144），设设 ，求求求求(A B)的特征值和特征向量的特征值和特征向量的特征值和特征向量的特征值和特征向量求求求求(A I)+(I B)的特征值和特征向的特征值和特征向的特征值和特征向的特征值和特征向量量量量 例题例题例题例题3 3：证明对任何方阵，有证明对任何方阵，有证明对任
11、何方阵，有证明对任何方阵，有6.3 矩阵的向量化算子和矩阵的向量化算子和K-积积向量化算子向量化算子Vec定义定义定义定义（P P.143 143）设设设设 A=aijm n 则则则则VecVec(A A)=(a11 a21 am1；a12 a22 am2；a1n a2n amj)T T 性质：性质：性质：性质：（P P.146 146）VecVec是线性算子：是线性算子：是线性算子：是线性算子：VecVec（k k1A+kA+k2B B）=k=k 1Vec Vec(A A)+k+k2 VecVec (B B)2 2 定理定理定理定理6.106.10（P P.146 146）VecVec(AB
12、C)=(CABC)=(CT T A)VecBVecB 3 3 VecVec(AX)=(IAX)=(I A)VecXVecX 4 4 VecVec(XC)=(CXC)=(CT T I)VecXVecX 用向量化算子求解矩阵方程组用向量化算子求解矩阵方程组思想思想：用：用Vec算子，结合算子，结合Kronecker积将矩阵方程积将矩阵方程化为线性方程组求解。化为线性方程组求解。1、A A F F m m m m，B B F F n n n n，D D F F m m n n，AX+XB=D分析：分析：AX+XB=D（I A+BT I）VecX=VecDG=（I A+BT I），），方程有惟一解的充
13、要条件是方程有惟一解的充要条件是G为可逆矩阵，即为可逆矩阵，即A和和-B没有共同的特征值。没有共同的特征值。例题例题1（P.147）用向量化算子求解矩阵方程组用向量化算子求解矩阵方程组2、A，X F n n，AX-XA=kX分析：分析：AX-XA=AX-XA=kXkX（I I AA AT T I）VecXVecX=kVecXVecXH=（I I A A AT T I)，方程方程(kI-H)y=0 有非零解的充要条件是有非零解的充要条件是k为为H的特征值，的特征值，k=i j。例题例题2 求解矩阵方程求解矩阵方程AX XA=2X 用向量化算子求解矩阵方程组用向量化算子求解矩阵方程组3 A，B，D，X F n n，AXB=D分析：分析：AXB=D AXB=D（B BT T A）VecXVecX=VecDVecDL=BT A，方程有惟一解的充要条件是方程有惟一解的充要条件是L为可逆矩阵为可逆矩阵.例题例题3 求解方程求解方程A1XB1+A2XB2=D例题例题4 设设A C m m，B C n n，D F m n，证明谱半径证明谱半径 (A)(B)1 时方程：时方程：X=AXB+D 的解为的解为
