1、 你的首选资源互助社区福州一中2011年高三模拟考试数学（理科）试卷（完卷时间：120分钟 满分：150分）第I 卷（选择题 共50分）本试卷分第卷（选择题）和第卷(非选择题)，第卷第21题为选考题，其他题为必考题.本试卷共5页.满分150分.考试时间120分钟.参考公式：样本数据的标准差锥体体积公式其中为样本平均数其中为底面面积，为高柱体体积公式球的表面积、体积公式其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则图中的阴影部分表示的集合为( )A BC D2.“”是“”的（ ）
2、 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.人们对声音的感觉程度可以用强度来表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平(分贝)表示，它们满足以下公式：.已知沙沙的树叶声的声音强度是，则求它的强度水平是( ) A. 0分贝 B. 10分贝 C.12分贝 D. 24分贝4.设（其中为自然对数的底数），则的值为 ( ) A B. C. D. 5.设等差数列的前项和为，若则使的最小正整数的值是（ ） 6某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每 天做作业的时间为分钟.有1000名小学生参加了此项调查，调查所得 数据用程序框图处理（如图），若输出
3、的结果是680，则平均每天做作业的时间在060分钟内的学生的频率是( ) A. 680 B. 320 C. 0.68 D. 0.327.已知直线与圆相交于两点，且 则的值是（ ） A B. C. D. 0 8.设点满足不等式，则下列叙述正确的是（ ） A.有最大值 B.有最小值C.有最大值 D.有最小值9.已知函数，正实数满足且若在区间上的最大值为2，则、的值分别为（ ） A B. C. D. 10. 如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法： 水的部分始终呈棱柱状； 水面四边形的面积不改变； 棱始终与水面平行；
4、当时，是定值.其中所有正确的命题的序号是（ ） 第卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11.已知是纯虚数，是实数，则等于 ；12.一船自西向东匀速航行，上午时到达一座灯塔的南偏西距塔海里的处，下午时到达这座灯塔的东南方向的处，则这只船的航行速度为_ _ _海里/小时13椭圆的离心率为，若直线与其一个交点的横坐标为，则的值为 14若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 第1行第2行第3行第4行第5行第6行15. 如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个
5、实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点则第11行的实心圆点的个数是 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分13分）设函数，其中（I）若的周期为,求的单调增区间；（II）若函数的图象的一条对称轴为，求的值.17.（本小题满分13分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的以为圆心的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地指向任一位置（不指向各区域的边界）. 若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，
6、所获得的返券金额是两次金额之和.（）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为（元）.求随机变量的分布列和数学期望. 18.（本小题满分13分）如图，已知平行四边形中，四边形为正方形，平面平面分别是的中点.（）求证：平面（）记表示四棱锥的体积.()求的表达式；（）当取得最大值时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19.（本小题满分13分）已知抛物线被直线截得的弦长是（）求的值；（）设点为抛物线上的动点，问：在轴上是否存在一定点,使得以为直径的圆被直线截得的弦长恒为定值若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由2
7、0.（本小题满分14分）设函数.（）设，求函数的单调区间；（）已知使得试研究时函数的零点个数.21. 本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分. 作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为（）求矩阵；（）判断矩阵是否可逆，若可逆求出其逆矩阵.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（其中为参数）.（）将直线的极坐标方程
8、化为直角坐标方程；（）求圆上的点到直线的距离的最小值.（3）(本小题满分7分)选修45：不等式选讲设函数.（）若解不等式；（）如果关于的不等式有解,求的取值范围.福州一中2011年高三模拟考试数学（理科）答案（完卷时间：120分钟 满分：150分）题号12345678910答案BAACCDADCD一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11、 12、 13、 14、 15、三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.解：（） 2分 3分 4分
9、令5分得，6分所以，的单调增区间为：7分（）的一条对称轴方程为9分11分又，13分17. 解：()设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C. 则3分若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域.6分即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是.（）由题意得，该顾客可转动转盘2次.随机变量的可能值为0，30，60，90，120. 7分10分 所以，随机变量的分布列为： 030609012012分其数学期望 13分18.（）证法：, 且四边形EFBC是平行四边形H为FC的中点-2分又G是FD的中点-3分平面CDE，平面CDEGH平面CDE -4分证法：连结EA，ADEF是正方形G是AE
10、的中点 -1分在EAB中， -2分又ABCD，GHCD，-3分平面CDE，平面CDEGH平面CDE -4分（）平面ADEF平面ABCD，交线为AD且FAAD，FA平面ABCD.- -6分BDCD, ， FA=2,（） （）- -8分（）要使取得最大值，只须（）取得最大值，当且仅当即时取得最大值-9分解法：在平面DBC内过点D作于M，连结EM平面EMD是平面ECF与平面ABCD所成的二面角的平面角-12分当取得最大值时，,即平面ECF与平面ABCD所成的二面角的余弦值为.-13分解法：以点D为坐标原点，DC所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图示，-9分则,-10分
11、设平面ECF与平面ABCD所成的二面角为，平面ECF的法向量由得令得 -11分 又平面ABCD的法向量为.-13分19.解：()由，解得，.-3分（）设圆心，半径为，点圆过原点，圆的方程为：-4分，抛物线在点处的切线斜率为圆的圆心与点连线的斜率依题意，得，得， . -6分又，圆过点，所以， . -7分由联立得，所以，圆的标准方程为：-8分（）假设存在符合题意的定点，设以为直径的圆与直线交于、两点，设，则圆心则点到直线的距离圆的半径-9分 =-11分当时，恒为定值-12分即弦长恒为定值所以，存在这样的定点符合题意. -13分20.解：（）的定义域为-1分 当时，恒成立，的递增区间为-3分 当时，
12、的递减区间为递增区间为-6分（）时，由（）知，的递减区间为递增区间为-7分 当，即时，有恒成立， 为上的增函数，又使得，为上的增函数，为的唯一的零点. -9分 当时，由条件提供的命题：“使得” 为真命题，即，使得所以，使得在区间上为减函数，又使得在区间上为增函数，所以，的递增区间为和递减区间为-11分在上为递减函数，恒成立. -12分在区间上，函数有且只有一个零点. -13分综上，时，函数有且只有一个零点. -14分21.（1）选修4-2：矩阵与变换解：（），-1分，得， -2分，得， -3分由联立，解得，-4分（）矩阵可逆，-5分-7分（2）选修4-4：坐标系与参数方程（）以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系. -1分-2分所以，该直线的直角坐标方程为：-3分（）圆的普通方程为：-4分圆心到直线的距离-5分所以，圆上的点到直线的距离的最小值为-7分（3）选修45：不等式选讲（）当时， 由，得， 当时，不等式化为即 所以，原不等式的解为 -1分 当时，不等式化为即 所以，原不等式无解. -2分 当时，不等式化为即 所以，原不等式的解为 -3分综上，原不等式的解为 -4分（说明：若考生按其它解法解答正确，相应给分）（）因为关于的不等式有解，所以， -5分因为表示数轴上的点到与两点的距离之和，所以， -6分 解得，所以，的取值范围为 -7分
