1、空间向量及其运算空间向量及其运算 定义定义表示法表示法向量向量向量的模向量的模零向量零向量单位向量单位向量相等向量相等向量相反向量相反向量平行向量平行向量(共共线线向量向量)具有大小和方向的量具有大小和方向的量向量的大小向量的大小长度为零的向量长度为零的向量模为模为 1 的向量的向量长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量方向方向相同相同或或相反相反的非零向量的非零向量常用常用 e 表示表示与任一向量共线.1.1.空间向量的有关概念及表示法空间向量的有关概念及表示法平面向量平面向量空间向量空间向量概念概念加法加法减法减法数乘数乘运算运算运
2、运算算律律具有大小和方向的量减法减法:三角形法则加法加法:三角形法则或平行四边形法则数乘数乘:ka,k为正数,负数,零加法交换律加法结合律数乘分配律加法交换律加法结合律数乘分配律1.1.空间向量的有关概念及表示法空间向量的有关概念及表示法具有大小和方向的量具有大小和方向的量 共线向量共线向量共面向量共面向量定定义义 向量所在直线互相平向量所在直线互相平行或重合行或重合 平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫叫做共面向量做共面向量.定定理理推推论论运运用用A,P,B三点三点共线共线P,A,B,C四点四点共面共面(A,B,C三点不共线三点不共线)判断三点共线判断三点共线,或两直线平行或两直线
3、平行 判断四点共面判断四点共面,或直线平行于平面或直线平行于平面2.2.空间向量的有关定理及推论空间向量的有关定理及推论1.1.数量积的定义：数量积的定义：2.2.向量的夹角定义：向量的夹角定义：3.3.向量的垂直：向量的垂直：4.4.投影：投影：5.数量积的几何意义：数量积的几何意义：的方向上的投影的方向上的投影 的乘积的乘积.数量积数量积 等于等于 的长度的长度 与与 在在 6.数量积的运算律：数量积的运算律：7.7.数量积的主要性质数量积的主要性质:(判断两个向量是否垂直判断两个向量是否垂直)(求两个向量的夹角求两个向量的夹角)(向量不等式向量不等式)(求向量的长度求向量的长度(模模)的
4、依据的依据)8.8.向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算.一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.设设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则则M=(x,y,z),若若M是线段是线段AB的中点，的中点，8.8.向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算.平面向量平面向量空间向量空间向量9.9.空间向量的坐标计算空间向量的坐标计算空间向量的线性运算空间向量的线性运算空间向量的线性运算空间向量的线性运算 共线、共面向量定理的应用共线、共面向量定理的应用共线、共面向量定理的应用共线、共面向量定理的应用 空间向量性质的应用空间向量性质的应用空间向量性质的应用空间向量性质的应用考点4 用向量证明平行与垂直问题例3：如图 1363，已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且 ABAA1，D，E，F 分别为B1A，C1C，BC的中点求证：(1)DE平面 ABC；(2)B1F平面AEF.图 1363故DE平面 ABC.
