1、第三讲p-SN曲线，疲劳统计学前节回顾基本SN曲线，三个区域S- N曲线的数学表达疲劳极限Sf的近似估计S = kSb等寿命疲劳Gerber抛物线模型，Goodman直线模型，Soderberg直线模型等寿命疲劳曲线图影响疲劳性能的若干因素荷载形式、尺寸效应、表面光洁度的影响、温度和环境的影响 应力集中的影响，缺口系数：理论弹性应力集中系数、疲劳缺口系 数、缺口敏感系数1. 疲劳数据的分散性S-N曲线为中值曲线，一般对同一应力水平实验点有分散性, 其分散性与材料、应力水平、环境等相关。某铝合金构件的疲劳实验应力水平（MPa）件数寿命士 207572X06仆108士 240297X05 4X06
2、士 27534仆 105 8X05士 310294X04 仆 105士 430251.5X04 2X04i应力水平低则寿命 长，分散性也大，在同 样应力水平下，疲劳寿 命可以相差几十到几百 倍。2. p-S-N 曲线p-S-N曲线是组成不同成活率 p下的SN曲线集，这一曲线集 给出了： 1）在给定应力水平下失效循环次数 N的分布数据；2）在 给定的有限寿命下疲劳强度 S的分布数据；3）无限寿命或N Nl的疲劳强度-疲劳极限的分布数据。p-S-N曲线由成组实验获得。p-S-N曲线在有限寿命段（103 N 106）在双对数坐表系上近似为直线。3. 疲劳寿命与疲劳强度 概率分布之间的关系疲劳破坏是疲
3、劳损伤 逐渐累积的结果，材料中 宏观或微观的不可逆变形 是疲劳损伤的主要形式。疲劳寿命概率分布：在给定疲劳强度下构件的疲劳寿命概率分布形式。一般可由疲劳实验获得。疲劳强度概率分布：在给定疲劳寿命下构件的疲劳强度概率分布形式。设在一疲劳荷载作用下，构件在给定疲劳强度S*下的疲劳寿命N的概率分布密度为f(nS*),而在给定疲劳寿命 N*下的疲劳强度S的概率分布密度为g(sN*)，则可以证明N*S*N*NNp = f (n S)dnJf (n S* )dn = Jg(s N * )ds00即在给定的疲劳强度 s下 疲劳寿命N小于或等于N*的 概率与在给定的疲劳寿命N* 下疲劳强度S小于或等于S* 的
4、概率相等。S令： p 二 g(sN)ds，则有：对S求偏导，有：g(S N) f (n S)dn0鋁上式即为由给定疲劳强度 S下的寿命分布求给定寿命 N下疲劳强度分布的表达式4. 疲劳数据处理常用分布函数分布函数的确定对于给定循环应力水平的一组试样所得到的疲劳寿命，如将实 验数据在某种概率纸上的分布基本呈线性，则构件的疲劳寿命服从 该分布。概率统计名词随机变量：取值随偶然因素变化但遵从一定概率分布规律的变量 母体：所有可能观测结果的总和样本：从母体中提取的一部分样品样本特征数:样本均值：x 1JxXkn k吕样本方差：4ns(Xk -x)n 1心样本标准差：1)正态分布(Gaussian分布)
5、密度函数和分布函数正态分布的密度函数为：f(x)f(x) =exp.|一策I卩：母体均值&母体标准差f(x)表示随机变量X取值为x的频繁程度。密度函数是1关于x = 的对称函数f (丄)=J2n：母体标准差越小，则在X =卩附近取值的可能性越大。一般，概率密度函数具有以下性质a) f(x) 0-bob) f(x)dx=1a正态分布函数为:F(x)f(x)dx 二 1 exp(x J仝、2 :225#分布函数F(x)表示随机变量X取值小于等于x的概率。随机变 量X取值大于x的概率为1-F(x)2) 标准正态分布令： U =(X -)；得到u的密度函数为(u)=f (x)乎=打二du 2 二1 2
6、exp _uI 2(-： =即：u服从均值(1= 0,标准差(r= 1的正态分布 标准正态分布函数逸/、 I 1(12、屏 X-叮Q(u) = J-=exp -一u 尸|42兀I 2丿I 丿 (u)标准正态分布特性(0) = 0.5; 0(-u) = 1-(u)p(a u Xp =X UpSUp:与破坏概率为pf对应的标准正态偏量则破坏概率pf = Pr（X - x）=（Up），存活概率为1-pf例：在某给定应力水平下测得一组（10件）试样的疲劳寿命为：160, 181, 134, 140, 135, 138, 147, 154, 166, 124 千周，试确 定存活率为99.9%的安全寿命。
7、解：将试验结果从小到大列于下表中，并计算 Xi、Xi2、Pf值iNiXi = lg NiPf = i/（n+1）11242.09340.0909:21342.12710.181831352.13030.272741382.13990.363651402.14610.454561472.16730.545571542.18750.636481602.20410.727391662.22010.8182 101812.25770.9091艺21.67351）样本的均值和标准差X 丄 xk =2.1674n k吕2）确定标准正态偏量Up破坏概率：p = 1-0.999 = 0.001 = 0.1%由
8、表查出：up = - 3.093）估计破坏率为0.1%的寿命Xp =X UpS =2.1674 -3.09 0.05 =2.013Np =10Xp =103 （千周）2. 威布尔分布Waloddi Weibull于1951年提出，已得到广泛应用111) 威布尔分布的密度函数b*N NoNa -No(Na - Nof(N)-fexp -N - N0a -N。bNo、Na和b为描述威布尔分布的三个参数。No :寿命下限，或最小寿命参数。Na :尺度参数，即横坐标 的尺度大小，反映数据的 分散性。b:形状参数b = 1,指数分布；b = 2,瑞利分布；b =3.5 4,接近正态分布2) 威布尔分布函
9、数NF(N)二 f (N)dN =NoNoNa-NoN- NoNa No 丿exp -bN - NoiNa NodNJ-=1 _exp -(三参数威布尔分布函数)#N = No, F(No) = o,即疲劳寿命小于No的破坏概率为零N = Na, F(Na) = o.632,与其它参量无关，Na称为特征参数。、b或写为：1N No=exp1 -F(N)Z_N。丿贝心Iglg 1 F(N) =blg (N - N。) lglge blg(Na N。)变量lglg1- F(N) T与lg(N- No)为线性关系威布尔概率坐标纸以lg(N-N)作为横坐标，lglgl-F(N)r为纵坐标的坐标纸，如在
10、某一应力水平下的实验数据在该坐标纸上的分布接近线性，则服从威布尔分布。例：试判断下表中所列的两组疲劳寿命数据是否服从威布尔分布并估计其威布尔参数iA 组，N(105)B 组，N(105)F(Ni) = i/( n+1)12.04.00.1112r 3.75.00.222 35.06.00.33348.07.30.444511.58.00.556613.09.00.667720.010.60.778823.513.00.889解：1)将数据按Ni由小到大排序并计算F(Ni)2) 估计No，0 - N。空Ni, 般N。需多次取值在坐标纸上试描， 取最接近线性分布的No值。对于A组数据，试取No =
11、 0,将数据试描于威布尔概率坐标 纸上。对于B组数据，试取No = 2 105，将数据试描于威布 尔概率坐标纸上，两组数据基本服从威布尔分布。3) 分布参数的确定特征参数对应的破坏概率为63.2%，由图得到A组：Na- No = 11.5 105A 组 N- No = 23.5 105，则b = 1.17类似可求出B组b = 1.733. 线性回归分析问题：如何用直线拟合一组数据，如何判断一组数据可以用直线拟合来描述1）相关关系和回归方程变量间的两类关系确定关系：对应关系，般可以用函数式表达相关关系：对变量X，丫无确定值与其对应，而是某种形式的概率分布及特征数设随机变量X、丫存在相关关系，X取
12、值为x时，Y的数学期望是x 的函数15E(Y X = x) = f (x)母体的期望值一般通过样本数据求其估计值八 f(x)上式即为丫对X的回归方程，如回归方程是线性的，则八A Bx回归分析的目地：寻找可以描述随机变量之间关系的近似表达式考查随机变量间相关关系的密切程度检验回归方程的可用性2)最小二乘法拟合回归方程设由实验结果获得的n对数据(xi，yj)组成一个样本，在直角坐标系中有图示散点图，散点图 可直观反映随机变量 X、丫是 否可用线性拟合。回归方程中的系数由最小 二乘法确定。令回归方程给出的估计值%与样本实际观测值yj的偏差平方和最小nnQ =為(j yj)2 二為(A BXj yj)
13、2j =1j d卫=0.:A汨#令： Xxj ， Yyjnn#Lxx =為 X； - 7 Xi ： nLyy = Yi2 - 、 y 2 . nLxy =為 XiYi -：、Xi Yin可求出A、B值为B 二 Lxy ,Lxx , A 二9 BX3）相关系数，相关关系检验相关系数定义为:xyLxxLyy相关系数| r| 1o |r|= 1完全相关,| r|=0完全不相关-X完全相关-X完全不相关相关系数反映了变量 X、Y间相关的密切程度，|r|越接近1, 相关性越好。一般，相关系数应满足|r| -r a：相关系数的起码值，与显著水平 a （接受回归方程而出现错误的概率）有关n-2an-2an-
14、2a5%1%5%1%5%1%10.997r 1.000110.5530.684210.325 :0.418 :20.9500.990120.5320.661220.3040.39330.8780.959130.5140.641230.2880.37240.811r 0.917140.4970.632240.273 :0.354 :50.7540.874150.4820.606250.250 :0.325 :60.7070.834160.4680.590260.2320.30270.6660.798170.4560.575270.2170.28380.6320.765180.4440.56128
15、0.205 :0.267 :90.6020.735190.4330.549290.195 :0.254 :100.5760.708200.4230.537300.1380.1814）用回归方程进行统计推断回归分析的基本方法如下样本数据散匚 点二*回归方程 形式y = A Bx用最小二乘 n 法确定系数A、B统计分析相关系数检验例：用最小二乘法对上例中B组数据进行回归分析，并估算N =3 105时的破坏概率。解：相应数据列于下表iN(105)i/(n +1)正态分布威布尔分布YXYX14.00.1110.6021-1.220-1.29120.301025.00.2220.6990-0.765-0
16、96200.477136.00.3330.7782-0.431-0.75430.602147.30.4440.8633-0.140-0.59310.724358.00.5560.90310.140-0.45320.778269.00.6670.95420.431-0.32130.8451710.60.7781.02530.765-0.18490.9345813.00.8891.11391.220-0.02031.04141）设寿命N服从对数正态分布，x = lgN贝y： x =x us与回归方程Y二A+BX对比有Y=x， X=u， A=x， B=s求出：Lxx =4.5580，Lyy =0.
17、2012，=0.9554回归系数:B =Lxy/Lxx = 0.2096 =s， A =Y BX = 0.8674 = x相关系数:r =0.9976N = 3 105时的破坏概率x -：(-1.862) =3.1% s 丿2)设寿命服从威布尔分布lglg1 -F(N)=blg (N - N。)Tg Ige-blg(Na - N。)与回归方程Y二A+BX对比有Y =lglg1-F(N)，X =Ig(N -N)A =lglge - bIg(Na -N)， B = b设 No = 2 105，则Lxx =0.4164， Lyy =1.2342， Lx 0.7161回归系数：B = Lxy. Lxx =1.7196 二 b， A =Y - BX 二 1.7985贝心 Na =lg(IglgeA) b N。=8.84 105相关系数：r =0.9988N = 3 105时的破坏概率19#F(N) =1 -exp8.84= 3.6%#
