1、第三节 逆矩阵与矩阵的初等变换则矩阵则矩阵 称为称为 的可逆矩阵或逆阵的可逆矩阵或逆阵.一、概念的引入在数的运算中，在数的运算中，当数当数 时，时，有有其中其中 为为 的倒数，的倒数，（或称（或称 的逆）；的逆）；在矩阵的运算中，在矩阵的运算中，单位阵单位阵 相当于数的乘法运算中相当于数的乘法运算中 的的1，那么，对于矩阵那么，对于矩阵 ，如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵 ,使得使得二、逆矩阵的概念和性质 定义定义 对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果有一个，如果有一个 阶矩阵阶矩阵 则说矩阵则说矩阵 是是可逆可逆的，并把矩阵的，并把矩阵 称为称为 的的逆矩阵逆矩阵.,使得使得例例 设设说明说明 若
2、若 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 的逆矩阵是的逆矩阵是唯一唯一的的.若设若设 和和 是是 的可逆矩阵，的可逆矩阵，则有则有可得可得所以所以 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的,即即例例 设设解解设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵,则则利用待定系数法利用待定系数法又又因为因为所以所以定理定理1 1 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且，且 证明证明若若 可逆，可逆，按逆矩阵的定义得按逆矩阵的定义得证毕证毕奇异矩阵与非奇异矩阵的定义奇异矩阵与非奇异矩阵的定义推论推论证明证明逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质证明证明证明证明例例1 1 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵.解解三、逆矩阵的求法同理可得同
3、理可得故故例例3 3 设设解解于是于是设线性方程组设线性方程组则称此方程组为则称此方程组为非非 齐次线性方程组齐次线性方程组;此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.非齐次与齐次线性方程组的概念一、克拉默法则如果线性方程组如果线性方程组的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为证明：A X=b比较等式两端得：例：例：用克
4、拉默法则解方程组用克拉默法则解方程组解解定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:矩阵的初等变换定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称统称为为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类且变换类型相同型相同 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换对n阶单位矩阵E分别施行上述三种初等变换后，所得之矩阵称为初等矩阵相应的三种初等矩阵分别是（1）互换互换E的的 i，j 两行两行(两列两列)所得之矩阵所得之矩阵（2）（3）引理：对矩阵 施行某一初等行（列）变换，其结果等于对A左（右）乘一个相应的m阶（n阶）初等矩阵。这里把矩阵的初等变换归纳为用某些初等矩阵左乘或右乘该矩阵，这对于简化矩阵乘法运算及研讨矩阵的某些性质都很有用 下面介绍用矩阵的初等行变换求逆矩阵的方法不难证明，若A是一个n阶可逆矩阵，则必可经一系列初等行 变换将A化成单位矩阵。这就相当于用一系列初等矩阵F1,F2,左乘A后得到单位矩阵En。即定理：可逆矩阵必可表为若干个初等矩阵的乘积
