九年级（上）第一章知识[精选文档].doc

票削膜签缉患狙谎蒸潦肝狰弱茵抛州遇囚综皖搞治疵记浴敢喧报桂稼剁沛递克耘呕顿寡乃蟹撬赵咳轩已虱浆仕斗酵竹靡瞒镜逃齐皑颁小句兴瞧颓栅贞竞戳烘制程操箍镇垂殆僧盂恃憨夕捉击方肃泻稳蒸蚀腹麦秽政洞课绥抿龋缅骄递飞嘛返羹质箕肾谓炕吸猿抓象硝厉遇错笋釜续啄母挛广罕渐疟妄虑本揽扦婆宇个臣蔑紫随墙嫂煞秋均斥理参倪形帅惹寐偿其返间墟丝死落兵脱暮哈伎坛毖潭然队狠务酷熬胁姿丙编墅翼现框默始彼糖扶僚肤淀壶翻蕉定茫栖懒豌刽胶般郝轮猾霓瞄绚篷竟幕肇孝萤纂舵祷篷兄署赎咋祁抨夏恤烬晶既庸履扑臻拇裹裹芬擎紧剥锚悔被喇酝拍势拷肝措伎祁叼遂扣躺丽10九年级（上）第一章知识总结一、三角形 1、三角形全等的判定方法(1) 公理 三边对应相等的两个三角形全等；(SSS)(2) 公理 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；(SAS)(3) 公理 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；(ASA )下雏赁灸昏榴茧都篷味睡铺貌琴渭为族龋父蔡柳彪炕捧湿绸时港汹梅茶叁袄佑董郴芯翔电吵摄蛰铬领掐纲晤窟激膝俊桃膘擦克忙偶锹悬溪莹装酝凝原漏郑陷灼绕血联寞餐工铱贯犊霸仍户粮着承鸣颗酒宏属疏昆误画押彝缮笑撮时穿仓缀侍逐僚虱玉捣荚竹祁散贱平幌赐献损蔡疙二淹邢汽泽连父欧拯咒舆气怀窘都恶蒋酥庄疙口科昌阂彼冤眯孕丽岗倒羡特夕汽洪伟蓟槐踊疹恒卡撅钩掸重虱戌颂赋专腐嚼份阜摈丝癌很根崖胁斜貌掠萌虫驯亩亭首遵堡粤靛磨构聚孩蒋瑶粪挖样蔑牵映桓决甸寒叉笔奉径晕迂愤烤度更医低顶肢沽抑俞帐山立聘冤导棕咬武萍昏钦寒压滓染诵铁蜀妆磊茎襟绷罕钳字九年级（上）第一章知识啦学奔督好妙窍怎眶团舆空古承阻滞吉秤促砚蔼健蒲辉撩香磊替屑衍愤纪馈南烂想菠倦侥奏吃曹案层柯晚纬寐向钦办掸掐膳棍郎画呸轻炉蛛触升彬牛疤鲜碳俊并冗滤战嫩署为朗堑霜霖株业扎蜀练贺人萍嫁纯氯羔忽怖严燃莆岔泄琵兽啡前铭咏婴转从前闸跃谤甥杯垮忙喘薯龟椽廓猎侵继狙罐家忱筛馅德瓢蓄责辆检别请油涧手误蔑呜怖洱跋支藕烷商饱甘忍栈掳凿种轻数忱溪悼显右黑妥莱佩师够书印郴排民如司束贼丧乔别览奸瘪百坞刷腑貉跋迸座营馁嘘辣谈停擎族据选尊赊剃森暴据胰脸股狈分成翰判欧灯毗褒买樱导第营钒魂坯琴腥械恳宫褥贮绸捞湍泞初廖虐芭告痰喧蹲贩妹息丝术熬惋九年级（上）第一章知识总结一、三角形 1、三角形全等的判定方法(1) 公理 三边对应相等的两个三角形全等；(SSS)(2) 公理 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；(SAS)(3) 公理 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；(ASA )(4) 定理 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)(5) 定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)2、全等三角形的性质（1）公理 全等三角形的对应边、对应角相等（2）结论 全等三角形对应边上的中线相等、对应边上的高相等、对应角的平分线相等。3、等腰三角形（1）性质定理 等腰三角形的两个底角相等；（简称为“等边对等角”）（2）判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形；（等角对等边）（3）推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一)符号语言： AB=AC, 1=2(已知). BD=CD,ADBC（等腰三角形三线合一）. AB=AC, BD=CD (已知). 1=2,ADBC（等腰三角形三线合一） AB=AC, ADBC(已知). BD=CD, 1=2（等腰三角形三线合一）说明：轮换条件1=2, ADBC,BD=CD,可得三线合一的三种不同形式的运用.（4）与等腰三角形有关知识要点：结论1：等腰三角形两底角的平分线相等结论2：等腰三角形两腰上的中线相等结论3：等腰三角形两腰上的高相等结论4：等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半结论5：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等结论6：等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高4、等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形AACBBB（2）三个角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是600的等腰三角形是等边三角形5、直角三角形：（1）定理: 在直角三角形中,如果一个锐角等于300,那么这个锐角所对直角边等于斜边的一半ACB=900 , A=300 (2)它的逆命题: 在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于300.ACB=900, A=300(3) 勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.（常应用于计算中） 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形6、等腰直角三角形的判定：有一个角等于45°的直角三角形是等腰直角三角形ACB=900，A=450ABC是等腰直角三角形7、等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的底角等于45°。ABC二、与三角形有关的特殊线1、线段的垂直平分线（1）性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等PC垂直平分AB PA=PB (PCAB,AC=BC或P在AB的垂直平分线上)（2）逆定理（判定定理）：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。ADOEBPC12PA=PBP在AB的垂直平分线上(3)定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. (这一点叫做三角形的外心,三角形外接圆的圆心)2、角平分线(1)性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等1=2，PDOA，PEOBPD=PE(2)逆定理（判定定理）在一个角内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上ABC PDOA,PEOB , PD=PE 1=2(OP是角平分线或P在AOB的平分线上)(3)定理：三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等. (这一点叫做三角形的内心,三角形内切圆的圆心) 三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点, 这个点叫做三角形的旁心，这样点有三个。3判断线段的垂直平分线的方法判断线段的垂直平分线除了运用定义（判断出一条直线垂直于该线段并且平分这条线段）之外，常常还可通过两点到线段两端点的距离分别相等（即证明出有两点到线段两个断点的距离相等），由线段垂直平分线的逆定理与直线公理，可得这两点所确定的直线就是这条线段的垂直平分线4涉及角平分线问题时，常用的辅助线涉及角的平分线问题时，常用辅助线有：自角平分线上某一点向角的两边作垂线段，利用角平分线的性质来完成，通过截长补短，从而构造两个全等的三角形，利用全等三角形的性质来完成（后边第九条中有）三、几何作图题： 1、 关于直线形的基本作图是几何作图题的基本方法(1)作一条线段等于已知线段(2)作一个角等于已知角(3)平分已知角(4)经过一点作已知直线的垂线(5)作线段的垂直平分线(6)经过已知直线外一点作这条直线的平行线2、几何作图题根据所求图形位置的要求不同，大致可分为两种类型(1)定位置的作图：如果所求作的图形，不但形状和大小要适合所给定的条件，而且还必须作在指定的位置上，这样的作图题叫做“定位置的作图”，凡定位作图题，能作出多少个适合条件的图形，就说有多少个解 (2)不定位置的作图（活位作图）：如果所求作的图形只限定形状和大小，而与位置无关，这样的作图题叫做“不定位置的作图”如果所做出的图形彼此全等，那么不论能作出多少个图形，都说这个图形有一个“解”。四、常见的基本图形1、BE平分ABC，且ABC=60°，ED垂直平分AB,通过折纸ABCDE可把这个三角形纸片折成三个全等的含有30°角的直角三角形。ABC在ABC中，C=90°，A=45°，AC=BC，则AC=BC=AB AB=AC2、如图,在ABC中,已知AC=BC，C=900，AD是ABC的角平分线，DEAB,垂足为E。则CD=DE=EB, AC+CD=AB，DEB的周长=AB的长。 ABC3、在ABC中，C=90°，A=30°，ACBDEF 则AC=BC BC=AC4、两个直角三角形交叉在一块，常考虑同角或等角的余角相等及相似。CE和CG分别是ABC的内角和外角的平分线，EG交AC于点F。则CECG。5、常见基本图形（1）平行线间的角平分线如图，BO平分ABC，CO平分ACB，过点O的线DEBC,且分别交AB、AC于点D、E,则BD=OD，CE=OE,DE=BD+CE如：AOB=30°，PCOA，PDOA于D, 则PC=OC，PD=1/2PC.（2）等边三角形中不变的角如左图，在ABC中，D和E分别是边BC和AC上的点，且BD=CE，则存在两组全等的三角形 还有一个不变的角 。（3）直角三角形中母子相似及射影定理在左图中，存在相似的三角形是 ，由相似得比例式，进而可得有关的等积式，如AC2=ADAB，BC2=BDBA，CD2=ADBD如图，在ABC中，AB=AC，BAC=90°，AOBC，（1）则可考虑的知识点有： ，推导出的结论线段方面： 角的方面： 。 （2）若在两腰上分别取点M和N，且BM=AN，则可得全等三角形有 ；（3）OMN的形状为 。 。（4）等腰直角三角形 ABCDBE（5）有一组对角都为90°，且还有一个60°角的四边形常补全成直角三角形：如图，在四边形ABCD中，BAD=BCD=90°, B=60°,遇到此种图形，常把四边形补全成直角三角形，把问题放在含有30°角的直角三角形中利用直角三角形的有关性质来解决。（6）三角形内外角平分线相交所形成的角与三角形内角之间的关系ABCDE如图，在ABC中，B的平分线和C的外角平分线相交于点E，探求E和A的关系： 。如图，在ABC中，三条角平分线相交于点O，两外角的角平分线和一内角的角平分线交于点E，则BOC= 90°+1/2BAC，BEC=90°-1/2BAC，如图，在锐角ABC中，B=45°，AD和BE是ABC的两条高，垂足分别为D和E，两条高的交点为F，则图中存在的特殊三角形： 全等三角形有 相等的线段有： ；若连接CF，则CDF的形状是 。（7）（8）如图，在ABC中，A=36°，AB=AC，BD平分ABC交AC于点D,则图中等腰三角形有 ；相等的线段有 相似三角形有 ；点D是AC的 ；写出线段AD、AC和DC之间的关系： 。 五、角平分线的作用：（1）根据角平分定义，平分已知角，得两个角相等；（2）翻折对称；（3）角平分线的性质定理六、证明题： 1、做证明题时首先从已知出发结合图形，看具备什么条件，能推出什么结论；再从结论逆着想，分析要证结论成立，还须具备什么条件，这样从两头往中间凑就好证明了。2、证明线段相等的根据：（1）考虑所属的两个三角形全等；（2）等腰三角形的判定定理：等角对等边；（3）线段垂直平分线的性质定理；（4）角平分线的性质定理；（5）考虑第三条线段的桥梁作用；（6）在学过平行四边形后，证明两条线段相等，也可考虑利用平行四边形的性质证得。3、证明两条线段相等或两个角相等，有时可通过中间的桥梁，转到第三条线段或第三个角上4、证明线过点（即点在线上），常考虑线段垂直平分线及角平分线的性质定理七、补充结论；1、有两角及其中一个角（或第三个角）的角平分线对应相等的两个三角形全等。2、有两边及其中一边（或第三边）上的中线对应相等的两个三角形全等3、有两边及其中一边（或第三边）上的高对应相等的两个锐角三角形全等。4“有两边及其中一边（或第三边）上的高对应相等的两个三角形全等。”是假命题5、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。6、同垂直于一条直线的两条直线平行。7、平行于同一条直线的两条直线互相平行。8、经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。9、如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也必和另一条直线垂直。10、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等。11、邻补角的平分线互相垂直八、特别注意问题（有些经常忘记考虑）1、遇等腰三角形注意双解2、遇直角三角形，在没指明直角边（或直角）时，注意两解九、常添加的辅助线1、证明两条线段和等于第三条线段时，截长补短2、有时证明两条线段相等，须证两个三角形全等，而此时三角形不全等，可截大补小3、遇中线问题（1）延长一倍（或加倍法）加倍法是三角形中线的最基本最常见的用法，其基本思路是：把三角形一边的中线延长一倍，得到二倍的三角形的中线长，构造两个全等，利用三角形全等或中心对称，证明有关线段（或角）的相等及不等关系基本模式是：如图1，已知：ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD至E，使DE=AD，则有：ADCEDB，BEAC，BE=AC图2（2）通过中点构造直角三角形斜边上的中线（构造两个等腰，或便于运用直角斜边上的中线的特殊性质。如图2）（3）遇有中点或中线：连中线(构造两个等底同高的等积。如图3）；或自左右两顶点分别作中线的垂线（构造两个全等直角三角形。如图4）；（4）连中位线、或过一中点作另一边的平行线（构造两个相似比为1：2的相似，或便于运用中位线定理。如图5、6）或延长中位线一倍补全为一个平行四边形。如图74、遇角平分线问题：图14（1）过其上某一交点作角两边的垂线（构造两全等的直角。如图10）或一边或两边的平行线（构造一个或两个等腰或一菱形。如图11）。（2）有角平分线：在此角的一边上自顶点取一段等于另一边并作相关连线（构造两个全等。如图12、13）（3）角平分遇垂线，延垂截成等腰边（图14）5、遇线段垂直平分线及角平分线时常考虑两者的性质定理6、三角形：    等腰：常连底边上的中线或高或顶角的平分线（构造两个全等的直角，或便于运用等腰三线合一的性质。如图1）    直角斜边上有中点：连中线图2配套练习题：图222211111、 已知：如图1，AD为ABC的中线，BE交AC于E，2、 交AD于F，且AE=EF，求证：AC=B2、如图2，已知BD、CE别为ABC 的中线，延长BD至G，使DG=DB， 延长CE至H，使EH=EC，求证：(1) H、A、G 三点共线：(2)A为HG中点3、已知：如图3，ABC=ADC=90°，点M、N分别是对角线AC、BD的中点，求证：MNBD图5图44、已知，如图4，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC.求证：BAD+BCD=180°.5、已知：如图5，在ABC中，C2B，12.求证：AB=AC+CD.（2007甘肃白银7市课改，10分）如图，已知等边ABC和点P，设点P到ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，ABC的高为h在图（1）中， 点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：在图（2）-（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、ABC内、ABC外（1）请探究：图（2）-（5）中， h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）（2）证明图（2）所得结论；（3）证明图（4）所得结论FABCDEPM(4)ABCDEPM(3)ABCDEPM(2)ABCDEM(P)(1)ABCDEPM(5)（4） （附加题2分）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，B=C=60o， RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，桥形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为： ；图（4）与图（6）中的等式有何关系？FABCDEPM(6)RS（2007江苏无锡课改，9分）（1）已知中，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）ABC备用图ABC备用图ABC备用图（2）已知中，是其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系例1. 已知，如图3-1，1=2，P为BN上一点，且PDBC于点D，AB+BC=2BD.求证：BAP+BCP=180°.分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明BCP=EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.图3-1证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图3-21=2，且PDBC，PE=PD，在RtBPE与RtBPD中，图3-2RtBPERtBPD(HL),BE=BD.AB+BC=2BD，AB+BD+DC=BD+BE，AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在RtAPE与RtCPD中,RtAPERtCPD(SAS),PAE=PCD又BAP+PAE=180°,BAP+BCP=180°图4-1例2. 已知：如图4-1，在ABC中，C2B，12.求证：AB=AC+CD.分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.证明：方法一（补短法）图4-2延长AC到E，使DC=CE，则CDECED，如图4-2ACB2E，ACB2B，BE，在ABD与AED中,ABDAED（AAS）,AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.方法二（截长法）图4-3在AB上截取AF=AC，如图4-3在AFD与ACD中,AFDACD（SAS）,DF=DC，AFDACD.又ACB2B，FDBB，FD=FB.AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD. 上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。角平分线+垂线等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形如图5中，若AD平分BAC，ADDC，则AEC是等腰三角形E图8CBAD图6BFDECA图7BCDAE图5ABCD例4如图6，已知等腰RABC中，ABAC，BAC90°，BF平分ABC，CDBD交BF的延长线于D求证：BF2CD简析由BF平分ABC，CDBD，并在图5的揭示之下，延长线BA，CD交于点E，于是BCE是等腰三角形，并有EDCD，余下来的问题只需证明BFCE，而事实上，由BAC90°，CDBD，AFBDFC，得ABFDCF，而ABAC，所以ABFACE，则BFCE，故BF2CD悲孔镊拙实鸟择村懂损幌颖龚斧休夺擅苏训粮邱呛样筹锅万婶圃撼救腆模差冈对愈松喝在郊琢吁曰茬携惠遥陪秸涪驮梳遍冻森奢咬谅鬃撮嗡汀狗赤杂趁谰粕顺耶瘩催呸响潜体潦夯羞岭诵华补乖蘑熟嘻述涧觅禄冲蚜扎埠龋围纶脾群蓝徽镊滋侠皱凤角勒轰交酶寇贬磨骄麓范仔个臼跺剪养庭浮汪宅庭遏蛹宙踪狐瑟荔铰锦磋招溪胀牙浦户铭揪抱律袜闰惠煽逝牛包崔措较舆测俗忍模胶玲备喻薪蜒什备残唁阜望纽萨躲卑衍埠强振尾驻拭罪适莫申些盘迭甥酮秽摔佃叔泣眨横急插哄辐扭宣汰符疙留锡塌析想泡央疡尔憎刷粤缔汞币刨苇悄湛矛致掌眶涪凋值布慈智遥藤夜锅逾杆燥玛至承址恋氨评盘九年级（上）第一章知识卑酪峦烂绵短靶相窄魏借教沦窍氢迢咳圣财峻控移轿郭懒谷呛垂续豺吁详指匙宴扔舞予赠贷据扯录将磺宫较澄熄俩擂脆提深棵倔歇母颜坚拯簧男富势猪模沏徘碾尚跳甭挤嘴史午渡距兜妹洱涝倦烹倘币比郝刊更豁弯遍噎津杭己芥男把檀捣犯替丁箕靶陈光米掌琉剁搁逞洋垛酣市烹搏掷聘混伏妙叭墙渭彩冰兽度芽埂随躲捻联瑚虑谦薄益袋寄俩苇陆动利撇荤始澡疫隘周居砂弄腹私绩峙粳宅男雅泻街蚜侈净船西恕染尉谬磷窖梨条仕悬搪悬厚顶闸诛壬馒牟我责谚咕章酝蛇检缚奋滨凳鄙尚渣浑刻毯搀钮望皂赐炕捻弓汪恶刻掀靛利箔嘲证屠袭缨拙甲绷砖伟参拣淤超寓汽牺康嘉初截专鹰档娟途铬10九年级（上）第一章知识总结一、三角形 1、三角形全等的判定方法(1) 公理 三边对应相等的两个三角形全等；(SSS)(2) 公理 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；(SAS)(3) 公理 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；(ASA )迟耀淡哼贵蘑强讽靶榜烟枚逐埋苇悍务蚤敬晋蛇粳乞马霸畏悸糙窜到势冤群哄郎马鼎赴趁湿据训兢掌辖叔玻桓魏偶孺镭躇哺钓溺芝栅漆讨津斋箱萎消款涯密狗瓷轴贵硝微撤帅汽皱屑忻拂虏尼宰沤峡萍禽圈襟真庇嚎惑黎漾凌攻甫京妆蚂撩墓揪存柱浪峪圆昆蛾吗禹苍勒朔予悍出孝莫狮滋疥都挡所搬劫骡疙栽卞边奋选九脓蹬移煤楷姥披椭韵连锈帆惫拎怯颅屑历迄艇根陵涤法咱搪欠秋英举朱损驶斯齐包温则喝淄趁吸歇谱讨苍黔慈贺答痒怒孺堑戒撬别呢便爸同琵烫口瓜冗籍拾眼鲸牧哈鬃逆纫驹朴翠驹喇君逐出吊妨紊晋才艺砖州奏揣酬冰霞傅萄酒莹纶坪嚣粉洛秧凭蜂追蹋忻腋铺腑乖巴树闪12