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【原创精品】新课标(人教版A)高中数学必修5教案第一章解三角形第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 从容说课 本章内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系，与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系(教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?在引入余弦定理内容时，提出探究性问题如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题(这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构( 教学重点1.正弦定理的概念; 2.正弦定理的证明及其基本应用( 教学难点1.正弦定理的探索和证明; 2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数( 教具准备直角三角板一个 三维目标 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法; 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题( 2.二、过程与方法 1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系; 2.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理; 3.进行定理基本应用的实践操作( 三、情感态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; 2.培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一( 教学过程 导入新课 师如右图，固定?ABC的边CB及?B，使边AC绕着顶点C转动( 师思考:?C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系, 1 生显然，边AB的长度随着其对角?C的大小的增大而增大( 师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来, 师在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系(如右图，在Rt?ABC中，设BC =A,AC =B,AB =C,根据锐角三角函数中正弦函数abccab的定义，有=sinA， =sinB，又sinC=1=,则.从而在直角,ccccsinAsinBsimC三角形ABC中， abc,. sinAsinBsimC推进新课 合作探究 师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立,(由学生讨论、分析) 生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如右图，当?ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，abcb,有CD=AsinB=BsinA,则，同理，可得.从而sinAsinBsinCsinBabc,. sinAsinBsinC(当?ABC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成) 正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 abc,. sinAsinBsinC师是否可以用其他方法证明这一等式, 生可以作?ABC的外接圆，在?ABC中,令BC=A,AC=B,AB=C,根据直径所对的圆周角是直abc,角以及同弧所对的圆周角相等，来证明这一关系( sinAsinBsinC师很好这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法. 在?ABC中,已知BC=A,AC=B,AB=C,作?ABC的外接圆,O为圆心,连结BO并延长交圆于B,2 设BB=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ?BAB=90?，?C =?B， c,?sinC=sinB=sinC,sinB,. 2Rc?. ,2RsinCab同理,可得. ,2R,2RsinAsinBabc?. ,2RsinAsinBsinC这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式 abc,. sinAsinBsinC点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的向量方法证明正弦定理是唯一途径这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫. 知识拓展 从定理内容可以看出,定理师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢? 向量的数量积的定义式A?B=|A|B|Cos,其中为两向量的夹角. 生师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢? 生 可以通过三角函数的诱导公式sin=Cos(90?-)进行转化. 师这一转化产生了新角90?-,这就为辅助向量j的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90?-这一形式,这是作辅助向量j垂直于三角形一边的原因. 师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得 AC，CB,AB ACCBACAB而添加垂直于的单位向量j是关键,为了产生j与 、的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,也就在情理之中了. 师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中3 所用到的向量知识点. 点评: (1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用. (2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用. 向量法证明过程: ACAB(1)?ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于,则j与的夹角为90? -A,jCB的夹角为90?-C. 与由向量的加法原则可得 AC，CB,AB, 为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到 j,(AC，CB),j,AB 由分配律可得 AC，j,CB,j,AB. ACCBAB?|j|Cos90?+|j|Cos(90?-C)=|j|Cos(90?-A). ?AsinC=CsinA. ac,?. sinAsinCACCBAB另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90?+C,j与的夹角为cb,90?+B,可得. sinCsinBAC(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与的夹角为90?-C,jAB与的夹角为90?-B) abc,?. sinAsinBsinCACAB(2)?ABC为钝角三角形,不妨设A,90?,过点A作与垂直的单位向量j,则j与 CB的夹角为A-90?,j与的夹角为90?-C. 4 ACCB由,得j? +j?=j?AB, AC，CB,AB即A?Cos(90?-C)=C?Cos(A-90?), ?AsinC=CsinA. ac?, sinAsinCCBACAB另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90?+C,j与夹角为90?+B. bc同理,可得,. sinBsinCabc,?(形式1). simAsinBsinC综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立. 师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用. 教师精讲 (1)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使A=ksinA，B=ksinB，C=ksinC; abc,(2) sinAsinBsinCabcbac,等价于 (形式2). sinAsinBsinCsinBsinAsinC我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题. bsinAa,?已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边，如.这类问题由于两角已sinB知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本P的例1就属于此类问题. 4a?已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如(此sinA,sinBb类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件( 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形( 师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结. ,例题剖析, 【例1】在?ABC中，已知A=32.0?,B=81.8?,A=42.9 cm,解三角形. 分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B,若求边C,再利用正弦定理即可. 解:根据三角形内角和定理， C=180?-(A+B)=180?-(32.0?+81.8?)=66.2?; 根据正弦定理， 5 oasinB42.9sin81.8,b=?80.1(cm); osinAsin32.0oasinC42.9sin66.2,c=?74.1(cm). oAsinsin32.0方法引导 如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角 (1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,和180?求出第三角,再利用正弦定理. (2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器. 【例2】在?ABC中，已知A=20cm，B=28cm，A=40?，解三角形(角度精确到1?，边长cm)( 精确到1 分析:此例题属于BsinA,a,b的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性. 解:根据正弦定理， obsinA28sin40,sinB =?0.899 9. a20因为0?,B,180?，所以B?64?或B?116?. (1)当B?64?时， C =180?-(A+B)=180?-(40?+64?)=76?， oasinC20sin76,C =?30(cm). osinAsin40(2)当B?116?时， =180?-(40?+116?)=24?， C=180?-(A+B)oasinC20sin24,C=?13(cm). osinAsin40方法引导 通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这一点,我们通过下面的例题来体会. 变式一:在?ABC中,已知A,60,B,50,A,38?,求B(精确到1?)和C(保留两个有效数字). 分析:此题属于A?B这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来排除B为钝角的情形. 解:已知B<A,所以B<A,因此B也是锐角. obsinA50sin38,?sinB=?0.513 1, a606 ?B?31?. ?C=180?-(A+B)=180?-(38?+31?)=111?. oasinC60sin111,?C=?91. osinAsin38方法引导 但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活性,对于同样是已知两边和一边对角,本题,如果没有考虑角B所受限制而求出角B的两个解,进而求出边C的两个解,也可利用三角形内两边之和大于第三边,两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符合题意的解. 变式二:在?ABC中,已知A,28,B,20,A,120?,求B(精确到1?)和C(保留两个有效数字). 分析:此题属于A为钝角且A>B的情形,有一解,可应用正弦定理求解角B后,利用三角形内角和为180?排除角B为钝角的情形. obsinA20sin120,解:?sinB=?0.618 6, a28?B?38?或B?142?(舍去). ?C =180?-(A+B)=22?. asinC28sin22:,? C =?12. sinAsin120:方法引导 (1)此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角B为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到. (2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形. (3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解. 为巩固本节我们所学内容,接下来进行课堂练习: 师1.在?ABC中(结果保留两个有效数字)， (1)已知C =,A =45?,B=60?，求B; 3(2)已知B,12,A,30?,B,120?,求A. 解:(1)?C=180?-(A+B)=180?-(45?+60?)=75?， bc,， sinBsinCcsinB3sin60:,?B =?1.6. sinCsin75:ab,(2)?， sinAsinB7 bsinA12sin30:?A =,?6.9. sinBsin120:点评:此题为正弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩较弱的学生进行在黑板上解答,以增强其自信心. 2.根据下列条件解三角形(角度精确到1?,边长精确到1): (1)B=11,A=20,B=30?;(2)A=28,B=20,A=45?; (3)C =54,B=39,C=115?;(4)A=20,B=28,A=120?. ab解: (1) ?,. sinAsinBasinB20sin30:?sinA =,?0.909 1. b11?A?65?，A?115?. 12当A?65?时，C=180?-(B+A)=180?-(30?+65?)=85?， 111bsinC11sin85:1,?C=?22. 1sinsinBsin30:当A?115?时，C=180?-(B+A)=180?-(30?+115?)=35?, 222bsinC11sin35:2,?C=?13. 2sinBsin30:bsinA20sin45:,(2)?sinB=?0.505 1, a28?B?30?，B?150?. 12由于A+B=45?+150?,180?,故B?150?应舍去(或者由B,A知B,A,故B应为锐角). 22C=180?-(45?+30?)=105?. ?asinC28sin105:,?C=?38. sinAsin45:bc,(3)?, sinBsinCbsinC39sin115:,?sinB=?0.654 6. c54?B?41?,B?139?. 12由于B,C,故B,C,?B?139?应舍去. 2?当B=41?时，A=180?-(41?+115?)=24?, csinA54sin24:,A=?24. sinCsin115:bsinA28sin120:,(4) sinB= =1.212,1. a20?本题无解. 点评:此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体情况进行正确取舍. 8 课堂小结 通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两边和其中一边的对角解三角形. 布置作业 (一)课本第10页习题1.1 第1、2题. (二)预习内容:课本P,P余弦定理 5 8预习提纲 (1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识. (2)余弦定理如何与向量产生联系. (3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题. 板书设计 正弦定理 1.正弦定理: 2.证明方法: 3.利用正弦定理,能够解决两类问题: abc, (1)平面几何法 (1)已知两角和一边 sinAsinBsinC(2)向量法 (2)已知两边和其中一边的对角 9 1.1.2 余弦定理 从容说课 课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题(这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，使学生能够形成良好的知识结构(设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学(比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力( 在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系,并进而指出，从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角;如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广(还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的. 启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系. 教学重点 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用. 与向量知识的联系过程; 教学难点 1.向量知识在证明余弦定理时的应用,2.余弦定理在解三角形时的应用思路; 3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用( 教具准备 投影仪、幻灯片两张 第一张:课题引入图片(记作1.1.2 A ) 222如图(1),在Rt?ABC中,有A+B=C 问题:在图(2)、(3)中,能否用b、c、A求解a? 第二张:余弦定理(记作1.1.2B) 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 222222222形式一: a=b+c-2bccosA，b=c+a-2cacosB,c=a+b-2abcosC, 10 222222222bcacababc，,，,，,形式二:cosA=,cosB=,cosC=. 2bc2ca2ab三维目标 一、知识与技能 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法; 会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题; 2.3.能利用计算器进行运算. 二、过程与方法 1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论; 2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 三、情感态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; 2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一( 教学过程 导入新课 师 上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在三角形已知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决,下面我们来看幻灯片1.1.2A,如图(1)，在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题. 在?ABC中,设BC=A,AC=B,AB=C,试根据B、C、A来表示A. 师 由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt?BDC中，边A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt?ADC中利用边角关系表示,DB可利用AB-AD转化为AD,进而在Rt?ADC内求解. 解:过C作CD?AB,垂足为D,则在Rt?CDB中,根据勾股定理可得 222A=CD+BD. 222?在Rt?ADC中,CD=B-AD, 2222又?BD=(C-AD)=C-2C?AD+AD, 2222222?A=B-AD+C-2C?AD+AD=B+C-2C?AD. 又?在Rt?ADC中,AD=B?COsA, 222?a=b+c-2abcosA. 222类似地可以证明b=c+a-2cacosB. 11 222c=a+b-2abcosC. 222另外,当A为钝角时也可证得上述结论,当A为直角时，a+b=c也符合上述结论,这也正是我们这一节将要研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具体内容.(给出幻灯片1.1.2B) 推进新课 1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 在幻灯片1.1.2B中我们可以看到它的两种表示形式: 形式一: 222a=b+c-2bccosA, 22b=c+a-2cacosB, 222c=a+b-2abcosC. 形式二: 222bca，,cosA, ,2bc222cab，,cosB, ,2ca222abc，,cosC. ,2ab222,这时cosC=0,所以c师 在余弦定理中,令C =90?时=a+b,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用. 合作探究 2.向量法证明余弦定理 (1)证明思路分析 师 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题, 用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边C(由于余弦定理中涉及到的角是从而可以考虑用向量来研究这个问题(由于涉及边长问题，那么可以与哪以余弦形式出现,些向量知识产生联系呢? 生 向量数量积的定义式a?b=|a|b|cos,其中为A、B的夹角. 师 在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通12 过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含CB,CA有角C,则构造这一数量积以使出现COsC.同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提. (2)向量法证明余弦定理过程: 如图，在?ABC中,设AB、BC、CA的长分别是c、a、b. 由向量加法的三角形法则，可得, AC,AB，BC?2222AC,AC,(AB，BC),(AB，BC),AB，2AB,BC，BC,AB，2ABBCcos(180:,B)，BC22,c,2accosB，a,222即B=C+A-2AC COs B. BC,AC,AB由向量减法的三角形法则，可得, ?2222BC,BC,(AC,AB),(AC,AB),AC,2AC,AB，AB,AC,2AC,ABcosA，AB22,b,2bccosA，c222即a=b+c-2bccosA. AB,AC，CB,AC,BC由向量加法的三角形法则,可得, ?2222AB,AB,(AC,BC),(AC,BC),AC,2AC,BC，BC,AC,2AC,BCcosC，BC22,b,2bacosC，a,222即c=a+b-2abcosC. 方法引导 (1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则. ACAB(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,与属于同起点向量,则BCBCAC夹角为A;与是首尾相接,则夹角为角B的补角180?-B;与是同终点,则AB夹角仍是角C. 13 合作探究 师 思考:这个式子中有几个量,从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角, 生(留点时间让学生自己动手推出)从余弦定理，又可得到以下推论: 222222222bcaacbbac，,，,，,cosA,cosB,cosC. ,2bc2ac2ba师 思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系, 222生(学生思考片刻后会总结出)若?ABC中，C =90?，则cosC=0，这时c=a+b.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例( 师 从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角;如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角(从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广(现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成可定量计算的公式了( 师 在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片1.1.2B) 通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到,利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知三边,求三个角. 这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本P例4属这类情况. 8(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题. 接下来,我们通过例题来进一步体会一下. ,例题剖析, 【例1】在?ABC中，已知B=60 cm，C=34 cm，A=41?，解三角形(角度精确到1?，边长cm). 精确到1 解:根据余弦定理， 22222a=b+c-2bccosA=60+34-2?60?34cos41?3 600+1 156-4 080×0.754 7?1 676.82 ,所以A?41 cm. csinA34，sin41:34，0.656,由正弦定理得sinC=?0.544 0, a4141因为C不是三角形中最大的边，所以C是锐角.利用计数器可得C?33?, B=180?-A-C=180?-41?-33?=106?. 【例2】在?ABC中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形. 解:由余弦定理的推论,得 222222b，c,a87.8，161.7,134.6,cosA=?0.554 3,A?56?20; 2bc2，87.8，161.714 222222c，a,b134.6，161.7,87.8,cosB=?0.839 8,B?32?53; 2ca2，134.6，161.7C =180?-(A+B)=180?-(56?20+32?53)=90?47. 知识拓展 补充例题: ABC中,已知a=7,b=10,c=6,求A、B和C.(精确到1?) 【例1】在?分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的形式二. 222222b，c,a10，6,7解:?cosA,0.725, 2bc2，10，6?A?44?. 2222227106113a，b,c，,?cosC=?0.807 1, 22710140ab，?C?36?. ?B=180?-(A+C)=180?-(44?+36?)=100?. 教师精讲 (1)为保证求解结果符合三角形内角和定理,即三角形内角和为180?,可用余弦定理求出两角,第三角用三角形内角和定理求出. (2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算. ,已知a=2.730,b=3.696,c=82?28,解这个三角形(边长保留四个有效数字,【例2】在?ABC中角度精确到1). 分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在二是第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角,利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据1.1.1斜三角形求解经验,若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍,而在0?,180?之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好. 22222解:由c=a+b-2abcosC=2.730+3.696-2×2.730×3.696×cos82?28, 得c?4.297. 222222b，c,a3.696，4.297,2.730,?cosA=?0.776 7, 2bc2，3.696，4.297?A?39?2. ?B=180?-(A+C)=180?-(39?2+82?28)=58?30. 教师精讲 通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边用两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦. 【例3】在?ABC中,已知A=8,B=7,B=60?,求C及S. ?ABC15 分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角A,再结合三角形内角和定理求出角C,再利用1正弦定理求出边C,而三角形面积由公式S=acsinB可以求出. ?ABC2222若用余弦定理求C,表面上缺少C,但可利用余弦定理b=c+a-2cacosB建立关于C的方程,亦能达到求C的目的. 下面给出两种解法. 87解法一:由正弦定理得, sinAsin60:?A=81.8?,A=98.2?, 12?C=38.2?,C=21.8?. 127c由,得c=3,c=5, 12sin60:sinC11?S=或S=. acsinB,63acsinB,103?ABCABC122222解法二:由余弦定理得b=c+a-2cacosB, 22?7=c+8-2×8×ccos60?, 2整理得c-8c+15=0, 11解之,得c=3,c=5.?S=或S= . acsinB,63acsinB,103?12ABCABC1222教师精讲 在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决,故解法二应引起学生的注意.综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之. 课堂练习 1.在?ABC中: (1)已知c=8,b=3,b=60?,求A; (2)已知a=20,bB=29,c=21，求B; (3)已知a=33,c=2,b=150?,求B; (4)已知a=2,b=2，c=3+1,求A. 222222解: (1)由a=b+c-2bccosA，得a=8+3-2×8×3cos60?=49.?A=7. 222222cab20，21,29，,cosBcosB,0(2)由,得.?B=90?. 2ca2，20，21222222(3)由b=c+a-2cacosB,得b=(33)+2-2×33×2cos150?=49.?b=7. 222222(2)(31)22bca，,，,cosAcos,(4)由,得.?A=45?. A,2bc222(31)，16 评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题效率. 2.根据下列条件解三角形(角度精确到1?). (1)a=31,b=42,c=27; (2)a=9,b=10,c=15. 222222bca42，27,31，,cosAcosA,解:(1)由,得?0.675 5,?A?48?. ,2bc2，42，27222222c，a,b31，27,42cosB,由?-0.044 2,?B?93?. 2ca2，31，27C=180?-(A+B)=180?-(48?+93?)?39?. ?222222b，c,a10，15,9cosA,(2)由得?0.813 3, bc2，10，152?A?36?. 222222c，a,b15，9,10cosB,由?0.763 0, 2ca2，9，15?B?40?. ?C=180?-(A+B)=180?-(36?+40?)?104?. 评述:此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外,还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时,增强解斜三角形的能力. 课堂小结 通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步了解了向量的工具并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题: 性作用,(1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例;(2)余弦定理的应用范围:?已知三边求三角;?已知两边、一角解三角形( 布置作业 课本第8页练习第1(1)、2(1)题. 板书设计 余弦定理 1.余弦定理 2.证明方法: 3.余弦定理所能解决的两类问题: (1)平面几何法; (1)已知三边求任意角; (2)向量法 (2)已知两边、一角解三角形 4.学生练习 17 1.1.3 解三角形的进一步讨论 从容说课 本节课中，应先通过分析典型例题，帮助学生理解并掌握正弦定理和余弦定理;应指出正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然(但解题的时候，应有最佳选择(教学过程中，我们应指导学生对利用正弦定理和余弦定理解斜三角形的问题进行归类，列表如下: 解斜三角形时可用的定理和适用类型 备注 公式 余弦定理 (1)已知三边 类型(1)(2)有解时只有一222a=b+c-2bccosA (2)已知两边及其夹角 解 222b=a+c-2accosB 222c=b+a-2bacosC 正弦定理 (3)已知两角和一边 类型(3)在有解时只有一解，abc(4)已知两边及其中一边的类型(4)可有两解、一解或 ,2R对角 无解 sinAsinBsinC三角形面积公式 (5)已知两边及其夹角 1 S,bcsinA,21 acsinB,21 absinC2同时应指出，在解斜三角形问题时，经常要利用正弦、余弦定理实施边角转换，转化的主要途径有两条:(1)化边为角，然后通过三角变换找出角与角之间的关系，进而解决问题;(2)化角为边，将三角问题转化为代数问题加以解决(一般地，当已知三角形三边或三边数量关系时，常用余弦定理;若既有角的条件，又有边的条件，通常利用正弦定理或余弦定理，将边化为角的关系，利用三角函数公式求解较为简便(总之，关键在于灵活运用定理及公式( 教学