1、课时作业12抛物线的几何性质时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1若抛物线y22px(p0)上横坐标为6的点P到焦点F的距离为10，则焦点到准线的距离是()A4B8C16 D32【答案】B【解析】由于P到F的距离等于P到准线的距离，且等于10，所以y轴与准线间的距离为1064，即4，故p8.2已知抛物线y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216相切，则p的值为()A. B1C2 D4【答案】C【解析】抛物线y22px(p0)的准线方程是x，由题意知，34，p2.3(2013全国卷新课标文)O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则P
2、OF的面积为()A2 B2C2 D4【答案】C【解析】设P点坐标为(x0，y0)则，由抛物线的焦半径公式得|PF|x04，x03代入抛物线的方程，得|y0|2，SPOF|y0|OF|2，选C，涉及到抛物线的焦点三角形问题，要考虑焦半径公式4设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A， B2,2C1,1 D4,4【答案】C【解析】由题意可知，y28x的准线为x2，所以Q点的坐标为(2,0)，设直线l的方程为yk(x2)(斜率显然存在)，联立得k2x24(k22)x4k20，所以k0时，直线与抛物线的交点为(0,0)时，k0，4(k22
3、)24(4k2)k201k1，且k0，综上可知1k1，应选C.5(2014全国新课标文)已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A1 B2C4 D8【答案】A【解析】由抛物线的定义知：|AF|x0x0，x01.6若抛物线y22px(p0)上三点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点的焦半径的关系是()A成等差数列B既成等差数列，又成等比数列C成等比数列D既不成等差数列，又不成等比数列【答案】A【解析】设三点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，由三点在抛物线上，则y2px1，y2px2，y2px3.由题意yyyy，三个焦半径x1，x
4、2，x3，满足(x2)(x1)(yy)，(x3)(x2)(yy)(x2)(x1)(x3)(x2)三个焦半径成等差数列由x1、x2、x3不全为0，不能成等比数列二、填空题(每小题10分，共30分)7抛物线y24x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点F到AB的距离为_【答案】2【解析】如图所示，由于|AB|4，yA2，代入抛物线的方程，得x3，即xM3.由抛物线的方程y24x，知F(1,0)焦点F到AB的距离为2.8一动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x20相切，则动圆必过定点_【答案】(2,0)【解析】直线x20即x2是抛物线y28x的准线，由题意知动圆的半径等于圆心到抛物线y2
5、8x的准线的距离，即动圆的半径等于圆心到抛物线y28x的焦点的距离故动圆必过抛物线的焦点(2,0)9探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径为60cm，灯深为40cm，则光源到反射镜顶点的距离是_【答案】5.625cm【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，灯口直径|AB|60，灯深|OC|40，点A的坐标为(40,30)设抛物线方程为y22px(p0)，则9002p40，解得p，焦点F与抛物线顶点，即光源与反射镜顶点的距离为5.625(cm)三、解答题(本题共3小题，共40分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10(13分)已知抛物线y24x，直线l过定点
6、P(2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线满足下列条件：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点【解析】由题意得直线l的方程为y1k(x2)，由消去x得ky24y4(2k1)0，当k0时，由方程得y1，把y1代入y24x，得x，此时，直线l与抛物线只有一个公共点(，1)当k0时，方程的判别式为16(2k2k1)当0，即2k2k10，解得k1或k，此时方程只有一解，方程组只有一个解，直线l与抛物线只有一个公共点当0，即2k2k10，解得1k，所以1k且k0时，直线l与抛物线有两个公共点当0，解得k或k1，此时，直线l与抛物线没有公共点综上所述可知当k0或k1或k时，直线l与抛物线只有一个
7、公共点；当1k且k0时，直线l与抛物线有两个公共点；当k时，直线l与抛物线没有公共点11(13分)过点Q(4,1)作抛物线y28x的弦AB，若弦AB恰被点Q平分. (1)求弦AB所在直线的方程；(2)求弦AB的长【解析】(1)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y8x1，y8x2，x1x28，y1y22.，得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)将代入得y1y24(x1x2)，即4，也即k4.故所求弦AB所在直线的方程为y14(x4)，即4xy150.(2)设弦AB所在直线的方程为yk(x4)1.由消去x，得ky28y32k80，由根与系数的关系得y1y2，y1y232.因此，|AB|.结合(1)可知k4.故|AB|.12(14分)已知抛物线y2x与直线yk(x1)相交于A，B两点(1)求证OAOB；(2)当AOB的面积等于时， 求k的值【解析】(1)证明：如图所示，由方程组消去x得ky2yk0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由根与系数的关系知y1y21.因为A，B在抛物线y2x上，所以yx1，yx2，yyx1x2，因为kOAkOB1，所以OAOB.(2)设直线AB与x轴交于点N，显然k0，所以点N的坐标为(1,0)，因为SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|，所以SOAB1，因为SOAB，所以，解得k.
