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初中数学二次函数配方练习题精品文档 初中数学二次函数配方练习题 y=ax +bx+c则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式一般式:y=ax ;+bx+c顶点式:y=a ;+k 抛物线的顶点P 交点式:y=a 仅限于与x轴有交点A和 B的抛物线 注:在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=/4a x1,x2=/2a III.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴 2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P -b/2a ，/4a 。当-b/2a=0时，P在y轴上;当= b -4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a,0时，抛物线向上开口;当a,0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时，对称轴在y轴左;当a与b异号时，1 / 21 精品文档 对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于 6.抛物线与x轴交点个数 = b -4ac,0时，抛物线与x轴有2个交点。 = b -4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 = b -4ac,0时，抛物线与x轴没有交点。 V.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数y=ax ;+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即ax ;+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 画抛物线y,ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。 二次函数解析式的几种形式 一般式:y,ax2+bx+c . 顶点式:y,a2+k.两根式:y,a，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量，y是x的函数 二次函数的三种表达式 ?一般式:y=ax +bx+c ?顶点式抛物线的顶点 P :y=a +k ?交点式仅限于与x轴有交点 A 和 B 的抛物线:y=a 以上3种形式可进行如下转化: 2 / 21 精品文档 ?一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax +bx+c，其顶点坐标为/4a)，即 h=-b/2a=/k=/4a ?一般式和交点式的关系 x1,x2=-b?/2a 2012中考数学精选例题解析:一次函数 知识考点: 掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律;会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。 精典例题: 二次函数y?ax?bx?c的图像如图所示，那么 2 abc、b2?4ac、2a?b、 4a?2b?c这四个代数式中，值为正的有 A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 b ,1a ?2a?b,0 解析:?x?答案:A 评注:由抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴的位置判 2 例1图 定b的符号，由抛物线与y 轴交点位置判定c的符号。由抛物线与x轴的交点个3 / 21 精品文档 数判定b?4ac的符号，若x轴标出了1和,1，则结合函数值可判定2a?b、a?b?c、a?b?c的符号。 已知a?b?c?0，a?0，把抛物线y?ax?bx?c向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是，求原抛物线的解析式。 分析:?由a?b?c?0可知:原抛物线的图像经过点;?新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。 解:可设新抛物线的解析式为y?a，则原抛物线的解析式为y?a?1，又易知原抛物线过点 ?0?a?1，解得a?原抛物线的解析式为:y? 2 2 2 2 1 1 2?1 评注:解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。 另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常4 / 21 精品文档 见的几种变动方式有:?开口反向，此时顶点坐标不变，只是a反号;?两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a反号;?两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称; 探索与创新: 已知，抛物线y?a?t的顶点是A，如图所示，抛物线 2 2 y?x2?2x?1的顶点是B。 判断点A是否在抛物线y?x?2x?1上，为什么, 如果抛物线y?a?t经过点B，?求a的值;?这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形,若能，求出它的值;若不能，请说明理由。 解析:抛物线y?a?t的顶点A，而x?t?1当时， 问题图 y?x2?2x?1?2?2,t2，所以点A在抛物线y?x2?2x?1上。 ?顶点B，a?t?0，?t?0，?a?1;?设抛物线y?a?t与x轴的另一交点为C，?B，C，由抛物线的对称性可知，?ABC为等腰直角三角形，过A作AD?x轴于D，则AD,BD。当点C在点B的左边时，t?1?，解得t?1或t?0;当点C在点B的右边时，。故t?1。 t2?1，解得t?1或t?0 评注:若抛物线的顶点与x轴两交点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，常用其“斜边上的5 / 21 精品文档 中线等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。 跟踪训练: 一、选择题: 1、二次函数y?ax?bx?c的图像如图所示，OA, ?abc,0; ?4ac?b; ?ac?b?1; ?2a?b?0; 2 2 2 2 2 2 2 OC，则下列结论: c ?OA?OB?; a ?4a?2b?c?0。其中正确的有 2 第1 题图 A、2个B、3个 C、4个 D、5个 2、二次函数y?x?bx?c的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为y?x?2x?1，则6 / 21 精品文档 b与c分别等于 A、6、 B、,8、14 C、4、 D、,8、,14 3、如图，已知?ABC中，BC,8，BC边上的高h?4，D为交AC于F，设E到BC的距离为x，?DEF数图像大致是 E 2 BDC BC上一点，EF?BC交AB于E， 的面积为y，那么y关于x的函 第3题图 A BC D 3题图 4、若抛物线y?ax与四条直线x?1，x?2，y?1，y?2围成的正方形有公共点，则a的取值范围是 A、 1111 ?a?1 B、?a?2C、?a?1D、?a?2224 2 5、如图，一次函数y?kx?b与二次函数y?ax?bx?c的大致图像是 7 / 21 精品文档 ABC D 二、填空题: 1、若抛物线y?x?2mx?3m?2的最低点在x轴上，则m的值为。 2、二次函数y?4x?mx?5，当x?2时，y随x的增大而减小;当x?2时，y随x的增大而增大。则当x?1时，y的值是 。 3、已知二次函数的图像过点，图像向左平移2个单位后的对称轴是y轴，向下平移1个单位后与x轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 。 4、已知抛物线y?x?4mx?n的对称轴是x?2，且它的最高点在直线y?为 ，n, 。 三、解答题: 1、已知函数y?x?x?m的图像过点，设其图像与x轴交于点A、B，点C在图像上，且 22 2 2 2 1 x?1上，则它的顶点2 S?ABC?1，求点C的坐标。 2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图8 / 21 精品文档 象刻画了该公司年初以来累积利润S与销售时间t之间的关系。根据图象提供的信息，解答下列问题: 由已知图象上的三点坐标，求累积利润S与时间t之间的函数关系式; 求截止到几月末公司累积利润可达到30万元; 分别交于A、B两点，已知?AOB,900。 2 求过原点O，把?AOB面积两等分的直线解析式; 为使直线y? O 2x?b与线段AB相交，那么b值应是怎样的范围才适合, 2 4、如图，抛物线y?ax?4ax?t与x轴的一个交点为A。 求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标; D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式; E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5?2的点，如果点E在中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧。问:在抛物线的对称轴上是否存在点P，使?APE的周长最小,若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由。 参考答案 9 / 21 精品文档 一、选择题:BCDDC 二、填空题: 1、2;2、,7;3、y?三、解答题: 1、C或、S? 1 ，n?2; 2?1;4、 2 12 10月;5.5万元 t?2t; 2 x;,3?b?0 2 2 3、y? 4、B;y?x?4x?3或y?x?4x?3;在抛物线的对称轴上存在点P，使?APE的周长最小。 1.抛物线y=x+3x的顶点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限.抛物线y=-3x+2x-1的图象与x轴、y轴交点的个数是A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点D.有三个交点 3.已知抛物线y=ax+bx+c在平面直角坐标系中的位置如图1所示,则有A.a>0,b>0 B.a>0,c>0 C.b>0,c>0 D.a、b、c都小于0 10 / 21 精品文档 22 2 yyC x A x 4.若抛物线y=ax-6x 经过点,则抛物线顶点到坐标原点的距离为 5.如图2所示,二次函数y=x-4x+3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C, 则?ABC的面积为 A.6B. C. D.1 2 6( 函数y=x-2x-2的图象如右图所示，根据其中提供的信息，可求得使y?1成立的x的取值范围是 A(?1?x? B(?1?x?3C(x?1或x? D(x?1或x?3 2 7(二次函数y,ax，bx，c的图象如图所示，反比例函数y, 2 2 a 与正比例函数y,x在同一坐标系中的大致图象x 11 / 21 精品文档 可能是 A( B( C( D( 8(下列函数中，y随x增大而增大的是 A.y? 3112 B. y?x?C. y?x D. y?x x22 2 9.二次函数y=ax+bx+c的图象如图3所示,那么abc,b-4ac,2a+b,a+b+c 这四个代数式中,值为正数的有A.4个B.3个 C.2个 D.1个 2 10.如图所示,当b 2 yA 2 yy B y 11.二次函数y=2x-x+ 通过配方化为顶点式为y= _, 其对称轴是_,顶点坐标为_,抛物线开口_,当x_时,y随x 的增大而增大;当x_时,y随x的增大而减小;当x=_时,y最值=_. 12 / 21 精品文档 12.已知抛物线y=ax+bx+c图象的顶点为P,且过A, 则抛物线的关系式为_. 13.若二次函数y=ax+bx+c的图象经过点, 则它的对称轴方程是_. 14.在同一坐标系内,抛物线y=ax与直线y=2x+b相交于A、B两点,若点A 的坐标是,则点B的坐标是_. 15.将抛物线y=ax向右平移2个单位,再向上平移3个单位,移动后的抛物线经过点,那么移动后的抛物线的关系式为_. 16.若抛物线y=ax+bx+c经过和两点,且开口向下,对称轴在y 轴左侧,则a的取值范围是_. 2 17(已知抛物线y =ax +bx +c的对称轴为x=2，且经过点和点，则该抛物线的解析式为_( 222 18(函数y=2x x 1写成y = a +k的形式是_，抛物线y=2x x 1的顶点坐标是_，对称轴是_( 19(已知函数?y=x+1，?y=-2x+x(函数_有最小值，当x=_时，该函数的最小值是_ 20(当m=_时，函数y = xm 2 13 / 21 精品文档 2 2 2 2 2 2 22 ?m?4 ?x +是二次函数，其解析式 是_，图象的对称轴是_，顶点是_，当x =_时， y有最_值_( 21(已知二次函数的图象开口向下，且与y轴的正半轴相交(请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_ 22(抛物线y?ax?bx?c如右图所示，则它关于y 析式是_( 1、如图，已知二次函数y? 2 12 x?bx?2 的图象经过A、B两点。 求这个二次函数的解析式 14 / 21 精品文档 设该二次函数的对称轴与x轴交于点C， 第20题 1.C .B .C .B .C .D .B .C .A. 10.B 2 11.2+1;直线x=1;向上;x>1;x 2 12.y=-3x-12x-13.x= 52 14.15.y=-4x+16x-116.-1 17(y =? 125x?2x?22 2 18(y = ， ， x = 1 19(?，0，1 2 20( ， y=5x+ ，y轴 ，x=0时y有最小值3 2 21(y =-x 2x + 2 22( y=x+4x+3 1.连结BA、BC，求?ABC的面积。 二次函数 解:把A、B代入y? 12 x?bx?c 15 / 21 精品文档 ?2?2b?c?0 c?6? ?b?4解得? ?c?6 得:? 12 x?4x?6 4 ?该抛物线对称轴为直线x?4 12? 2 ?这个二次函数的解析式为y?点C的坐标为 ?AC?OC?OA?4?2?S?ABC? 11 ?AC?OB?2?6?62 二次函数单元测评 一、选择题 1.下列关系式中，属于二次函数的是 A. B.C. D. . 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是 A. B. C. D. . 抛物线y=22的顶点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上D. y轴上 16 / 21 精品文档 4. 抛物线 的对称轴是 A. x=-B.x=C. x=-D. x=45. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是 A. ab>0，c>0 B. ab>0，c0 D. ab 6. 二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则点在第 _象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交x轴于点A和点B，且m>4，那么 AB的长是 A.+m B. m C.m-D.-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是 9. 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称17 / 21 精品文档 轴为直线x=-1，P1，P2是抛物线上的点，P3是直线 上的点，且-1 系是 A. y1 C. y3 10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是 A. C. B. D. 二、填空题 11. 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是_. 12. 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=2+k的形式，则y=_. 13. 若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_. 14. 抛物线y=x2+bx+c，经过A，B两点，则这条抛物线的解析式为_. 15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且?ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式_. 16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s18 / 21 精品文档 与抛出时间t满足:.若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_m. 17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为的抛物线的解析式为_. 18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点 三、解答题 19. 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A和B。 ，则y1的值是_. 求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A的坐标; 求此二次函数的解析式; 20. 在直角坐标平面内，点 O为坐标原点，二次函数 y=x2+x- 的图象交 x轴于点A、B，且=-8. 求二次函数解析式; 将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求?POC的面积. 21. 已知:如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为，点C，另抛物线经过点，M为它的顶点. 求抛物线的解析式; 求?MCB的面积S?MCB. 22.某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，19 / 21 精品文档 根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大. 答案与解析 一、选择题 1.考点:二次函数概念.选A. 2. 考点:求二次函数的顶点坐标. 解析:法一，直接用二次函数顶点坐标公式求.法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a2+k的形式，顶点坐标即为，y=x2-2x+3=2+2，所以顶点坐标为，答案选C. 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:3. 3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0sin1，0cos1。考点:二次函数的图象特点，顶点坐标. 解析:可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数y=22的顶点为，所以顶点在x轴上，答案选C. 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.4. 考点:数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为. 解析:抛物线 (1)三角形的外接圆: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆.，直接利用公式，其对称轴所在直线为 2. 图像性质：20 / 21 精品文档 定义：在RtABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即;答案选B. 5. 考点:二次函数的图象特征. 如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则解析:由图象，抛物线开口方向向下， 抛物线对称轴在y 轴右侧， 抛物线与y轴交点坐标为点，由图知，该点在x轴上方， 答案选C. 三三角函数的计算6. 考点:数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征. 解析:由图象，抛物线开口方向向下， （1）一般式：抛物线对称轴在y 轴右侧， 抛物线与y轴交点坐标为点，由图知，该点在x 轴上方， 4、初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受数学在日常生活中的作用,感受加减法与日常生活的密切联系,同时获得一些初步的数学活动经验，发展解决问题和运用数学进行思考的能力。21 / 21