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宝典高中数学导数题型剖析及解题方法导数题型分析及解题方法一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数; 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析 题型一:利用导数研究函数的极值、最值。 32,1,1,fxxx()32,，1( 在区间上的最大值是 2 2y,f(x),x(x,c)在x,22(已知函数处有极大值，则常数c, 6 ; 3y,1，3x,x3(函数有极小值 ,1 ,极大值 3 题型二:利用导数几何意义求切线方程 3,1,3，yx,2yxx,41(曲线在点处的切线方程是 43x,y,0f(x),x,x2(若曲线在P点处的切线平行于直线，则P点的坐标为 (1，0) 4xy，,480430xy,yx,ll3(若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 4(求下列直线的方程: 322y,x，x，1y,x (1)曲线在P(-1,1)处的切线; (2)曲线过点P(3,5)的切线;32/2/？点P(,1,1)在曲线y,x，x，1上， ？y,3x，2x ？k,y|,3,2,1 x,1解:(1) y,1,x，1 ， 即x,y，2,0 所以切线方程为 2/A(x,y)y,xy,2x0000 (2)显然点P(3，5)不在曲线上，所以可设切点为，则?又函数的导数为，/k,y|,2xA(x,y)A(x,y)x,x000000所以过点的切线的斜率为，又切线过、P(3,5)点，所以有,y,5,1,5xx,0002x, 或,0,1,25yyx,300,0?，由?联立方程组得，即切点为(1，1)时，切线斜率为k,2x,2;k,2x,101020;当切点为(5，25)时，切线斜率为;所以所求的切线有两条，方程分y,1,2(x,1)或y,25,10(x,5)， 即y,2x,1 或y,10x,25别为 题型三:利用导数研究函数的单调性，极值、最值 32f(x),x，ax，bx，c,过曲线y,f(x)上的点P(1,f(1)1(已知函数的切线方程为y=3x+1 f(x)在x,2f(x) (?)若函数处有极值，求的表达式; y,f(x) (?)在(?)的条件下，求函数在,3，1上的最大值; y,f(x) (?)若函数在区间,2，1上单调递增，求实数b的取值范围 322,f(x),x，ax，bx，c,求导数得f(x),3x，2ax，b.解:(1)由 y,f(x)上点P(1,f(1)过的切线方程为: ,y,f(1),f(1)(x,1),即y,(a，b，c，1),(3，2a，b)(x,1). y,f(x)上P1,f(1)的切线方程为y,3x，1.而过 ? 3，2a，b,32a，b,0,即,a,c,3a,c,3,? 故 ,y,f(x)在x,2时有极值,故f(,2),0,？,4a，b,12? ? 32f(x),x，2x,4x，5.由?得 a=2，b=,4，c=5 ? 2,f(x),3x，4x,4,(3x,2)(x，2).(2) 2,3,x,2时,f(x),0;当,2,x,时,f(x),0;3当 2,当,x,1时,f(x),0.？f(x),f(,2),13极大f(1),4,？f(x)3 又在,3，1上最大值是13。 2,f(x),3x，2ax，b,(3)y=f(x)在,2，1上单调递增，又由?知2a+b=0。 2,f(x)f(x)3x,bx，b,0.依题意在,2，1上恒有?0，即 b,x,1时,f(x),f(1),3,b，b,0,？b,6min6?当; b,x,2时,f(x),f(,2),12，2b，b,0,？b,min6?当; 2612b,b,2,1时,f(x),0,则0,b,6.minb12?当 0,，,)综上所述，参数b的取值范围是 32f(2)4,fxxaxbxc(),，x,1x,12(已知三次函数在和时取极值，且( yfx,()(1) 求函数的表达式; yfx,()(2) 求函数的单调区间和极值; gxfxmmm()()4(0),，,3,mn,4,16,mn(3) 若函数在区间上的值域为，试求、应满足的条件( 2,fxxaxb()32,，解:(1) ， 21,1,ab,0,3320xaxb，,由题意得，是的两个根，解得，( 3f(2)4,fxxx()32,c,2再由可得(?( 2,fxxxx()333(1)(1),，,(2) ， ,fx()0,fx()0,x,1x,1当时，;当时，; ,fx()0,fx()0,11xx,1当时，;当时，; ,fx()0,fx()(,1,x,1当时，(?函数在区间上是增函数; 1,)，,1,在区间上是减函数;在区间上是增函数( fx()f(1)0,f(1)4,函数的极大值是，极小值是( gx()fx()mm(3) 函数的图象是由的图象向右平移个单位，向上平移4个单位得到的，fx()3,nm44,164,mmm,0所以，函数在区间上的值域为()( f(3)20,4420mm,4而，?，即( fx()3,4,n20,0,于是，函数在区间上的值域为( fx()0,fx(),142剟n36剟nx,1x,2令得或(由的单调性知，即( 36剟nm,4mn综上所述，、应满足的条件是:，且( fxxxaxb()()(),3(设函数( fx()580xy,fx()x,1(1)若的图象与直线相切，切点横坐标为,，且在处取极值，ab,求实数 的值; fx()(2)当b=1时，试证明:不论a取何实数，函数总有两个不同的极值点( 2,fxxabxab()32().,，解:(1) ,ff(2)5,(1)0,由题意，代入上式，解之得:a=1，b=1( 2,令得方程fx()0,32(1)0.xaxa,，,(2)当b=1时， 2x,x,4(a,a，1),0,12因故方程有两个不同实根( ''x,xf(x),3(x,x)(x,x)f(x)1212不妨设，由可判断的符号如下: '''x,x时，x,x,x时，x,x时，f(x)f(x)f(x)1122当,;当,;当, xxfx()12因此是极大值点，是极小值点(，当b=1时，不论a取何实数，函数总有两个不同的极值点。 题型四:利用导数研究函数的图象 /f(x)1(如右图:是f(x)的导函数， 的图象如右图所示，则f(x)的图象只可能是( D )(A) (B) (C) (D) 13y,x,4x，1的图像为32(函数( A ) y y y y 6 6 6 6 4 4 4 4 2 2 2 2 -4 -2 o o x o 2 4 x o 2 4 x y 2 4 x -4 -2 -4 -2 2 4 -2 -2 -2 -2 -4 -4 -4 -4 322x,6x，7,0在(0,2)内根的个数为3(方程 ( B ) A、0 B、1 C、2 D、3 题型五:利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 1322f(x),x，2ax,3ax，b,0,a,1.31(设函数 f(x) (1)求函数的单调区间、极值. ,x,a，1,a，2|f(x)|,a(2)若当时，恒有，试确定a的取值范围. 22xaxa,3,(3)()xaxafx()0,fxxaxa()43,，,12解:(1)=，令得 列表如下: x (-?，a) a (a，3a) 3a (3a，+?) ,fx()- 0 + 0 - fx()极小 极大 fx()?在(a，3a)上单调递增，在(-?，a)和(3a，+?)上单调递减 43fxba(),极小fxb(),xa,3极小xa,3时，时， 22,fxxaxa()43,，,01,axaa,，21(2)?，?对称轴， ,fx()?在a+1，a+2上单调递减 2222,faaaaa,，,(1)4(1)321faaaaa,，,(2)4(2)344Maxmin?，,|fa,|fa,|()|fxa,|21|,|44|aaaa,Maxmin,依题， 即 44,a1,1)01,a55解得，又 ?a的取值范围是 232(已知函数f(x),x3，ax2，bx，c在x,与x,1时都取得极值(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间 (2)若对x ,1，2，不等式f(x) c2恒成立，求c的取值范围。 解:(1)f(x),x3，ax2，bx，c，f (x),3x2，2ax，b 21241,，,ab0,3293由f (),，f (1),3，2a，b,0得a,，b,2 f (x),3x2,x,2,(3x，2)(x,1)，函数f(x)的单调区间如下表: x 1 (1， ) 222333(, ，,) , (,，1) f ， 0 , 0 ， (x) f(x) 极大值 极小值 2233所以函数f(x)的递增区间是(, ，,)与(1， )，递减区间是(,，1)12222327(2)f(x),x3,x2,2x，c，x ,1，2，当x,时，f(x),，c 为极大值，而f(2),2，c，则f(2),2，c为最大值。 要使f(x) c2(x ,1，2)恒成立，只需c2 f(2),2，c，解得c ,1或c 2题型六:利用导数研究方程的根 13,3ab221(已知平面向量=(,1). =(,). ,yyxababx(1)若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t2,3)，=-k+t，?， 试求函数关系式k=f(t) ; (2) 据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t),k=0的解的情况. ,yxy,xabab解:(1)?，?=0 即+(t2-3) ?(-k+t)=0. ,22ab,ab整理后得-k+t-k(t2-3) + (t2-3)?=0 1,22ab,4ab?=0，=4，=1，?上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3) 1144(2)讨论方程t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= t(t2-3)与直线y=k的交点个数.3344于是f(t)= (t2-1)= (t+1)(t-1). 令f(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f(t)、f(t)的变化情况如下表: t (-?,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+ ?) f(t) + 0 - 0 + F(t) ? 极大值 ? 极小值 ? 12当t=,1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=. 12当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=, 14函数f(t)=t(t2-3)的图象如图13,2,1所示， 可观察出: 1122(1)当k,或k,时,方程f(t),k=0有且只有一解; 1122(2)当k=或k=,时,方程f(t),k=0有两解; 1122(3) 当,k,时,方程f(t),k=0有三解. 题型七:导数与不等式的综合 31,，,)a,0,函数f(x),x,ax1(设在上是单调函数. a(1)求实数的取值范围; f(f(x),xf(x),xxf(x)00000(2)设?1，?1，且，求证:. 22,，1,，,f(x)y,f(x),3x,a,y,0,即a,3x,解:(1) 若在上是单调递减函数，则须这,，1,，,f(x)样的实数a不存在.故在上不可能是单调递减函数. 2,，1,，,f(x)3xa若在上是单调递增函数，则?， 2，x,1,，,故3x,3由于.从而0<a?3. x,f(x),，1,，,f(x)00(2)方法1、可知在上只能为单调增函数. 若1?，则f(x),f(f(x),x矛盾,f(x),x,则f(f(x),f(x),即x,f(x)000000000 若1?矛盾，故f(x),x00只有成立. 33f(x),u,则f(u),x？x,ax,u,u,au,x,00000方法2:设，两式相减得2233？(x,u)(x，xu，u，1,a),0,？x(x,u),a(x,u),u,x0000000 ?1,u?1，2222？x，xu，u,3,又0,a,3？x，xu，u，1,a,00000， 32fxxxa()()(),，a22(已知为实数，函数 fx()xa(1)若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围 f'(1)0,fx()(2)若，(?)求函数的单调区间 5|()()|fxfx,12xx、,(1,0)1216(?)证明对任意的，不等式恒成立 333322？fxxaxxa(),，？,，fxxax'()32222解:， fx()？,fx'()0x 函数的图象有与轴平行的切线，有实数解 393322a,？,，,4430a(，),，,22:2a222 ，所以的取值范围是399312？,，,320aa,？,，,，fxxxxx'()33()(1)？f'(1)0,24222，11fxx'()0,1,x,fxx'()0,1,22由或;由 11(1,),(,1),(,),，,？fx()22的单调递增区间是;单调减区间为 2514927f(),f(0),f(1),fx()fx()21688易知的最大值为，的极小值为，又 2749M,m,？fx()10,，816在上的最大值，最小值 27495|()()|fxfxMm,12xx,(1,0),1281616？对任意，恒有 题型八:导数在实际中的应用 1(请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六o1的距离为多少时，帐篷的体积最大,棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点O到底面中心1,x,4xm解:设OO1为，则 2223,(x,1),8，2x,xm由题设可得正六棱锥底面边长为:，(单位:) 33326,(,(8，2x,x)2228，2x,x)m42故底面正六边形的面积为:=，(单位:)133332(x,1)，1,(16，12x,x)V(x),(8，2x,x)3m322帐篷的体积为:(单位:)32V'(x),(12,3x)2求导得。 V'(x),0x,2x,2令，解得(不合题意，舍去)， 1,x,2V'(x),0V(x)当时，为增函数; 2,x,4V'(x),0V(x)当时，为减函数。 x,2V(x)?当时，最大。 3163mm2答:当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为。 yx2(统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)关于行驶速度(千米/133yxxx,，,8(0120).12800080小时)的函数解析式可以表示为: 已知甲、乙两地相距100千米。 (I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升, (II)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少,最少为多少升, 100,2.5x,4040解:(I)当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时， 133(40408)2.517.5，,，,12800080 要耗没(升)。 100hx()xx (II)当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，32hxxxxx()(8).(0120),，,，,1280008012804xx 依题意得33xx80080,hxx'()(0120).,22640640xx hx'()0,x,80. 令得 x,(0,80)hxhx'()0,(), 当时，是减函数; x,(80,120)hxhx'()0,(), 当时，是增函数。 hx()h(80)11.25.,x,80？ 当时，取到极小值 hx()(0,120 因为在上只有一个极值，所以它是最小值。 答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。 1、会数、会读、会写100以内的数;在具体情境中把握数的相对大小关系;能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。题型九:导数与向量的结合 ,3113ab,(),().，22221(设平面向量若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使2x,a，(t,k)b,y,sa，tb,且x,y， 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.Sft,()(1)求函数关系式; 3、思想教育，转化观念端正学习态度。,，1，,Sft,()(2)若函数在上是单调函数，求k的取值范围。 最值：若a>0，则当x=时，；若a<0，则当x=时，3113,a,(,),b,(,).abab,10，解:(1) 2222,（6）二次函数的图象：是以直线x=h为对称轴，顶点坐标为（h，k）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）又，得xyxy,0（1）理解确定一个圆必备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.,2，atkbsatb，,，,()()，0，,2222即(),，,，,sattkbtstskab-()。023？,，,stktsfttkt()，故()。0 2,，f(t),3t,k且f(t)在,1，,上是单调函数，(2) ,，1,，,f(t),0或f(t),0上有 则在(二)教学难点222,f(t),0,3t,k,0,k,3t,k,(3t),k,3min由; 104.305.6加与减（二）2 P57-6022,f(t),0,3t,k,0,k,3t由。 (一)教学重点22,，,，1,，,1,，,k,3t3t因为在t?上是增函数，所以不存在k，使在上恒成立。故k的取值范分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:k,3围是。