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方案高一数学必修一知识点总结高一数学必修1各章知识点总结第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y (3) 元素的无序性: 如:a,b,c和a,c,b是表示同一个集合 3.集合的表示: 如:我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合:A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 , 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1) 列举法:a,b,c 2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。x R| x-3>2 ,x| x-3>2 语言描述法:例:不是直角三角形的三角形3) 4) Venn图: 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 2(3) 空集 不含任何元素的集合 例:x|x=,5, 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 A,B注意:有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。 ,反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB,或BA 2(“相等”关系:A=B (5?5，且5?5，则5=5) 2实例:设 A=x|x-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等” 即:? 任何一个集合是它本身的子集。A A ?真子集:如果A B,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ?如果 A B, B C ,那么 A C ? 如果A B 同时 B A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 nn-1, 有n个元素的集合，含有2个子集，2个真子集 三、集合的运算 运算交 集 并 集 补 集 类型 定 设S是一个集合，A是由所有属于A且属由所有属于集合A或义 S的一个子集，由S中于B的元素所组成属于集合B的元素所所有不属于A的元素组的集合,叫做A,B的组成的集合，叫做A,B成的集合，叫做S中子:交集(记作A(读BB的并集(记作:A集A的补集(或余集) 作A交B)，即(读作A并B)，即，即 记作CAS:AB=,x|xA，且AB =x|xA，或,S CA= x|x,S,且x,ASxB,( xB)( ,A 韦 S AAB恩 BA 图 图2图1示 :性 A A=A A=A A:A) (CB) (Cuu: A= A=A := C (AB) u: AB=BA AB=BA :(CA) (CB) uu: ABA AB, ,:= C(AB) u:质 AAB,B B,B :A (CA)=U u:A (CA)= ( u二、函数的有关概念 1(函数的概念:设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数(记作: y=f(x)，x?A(其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| x?A 叫做函数的值域( 2(值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3(区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示( 4(映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:AB为从集合A到,集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)B(象)”, 对于映射f:A?B来说，则应满足: (1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的; 中不同的元素，在集合中对应的象可以是同一个;(2)集合AB (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 5.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况( (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集( 二(函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x，x，当x<x时，都有f(x)<f(x)，那121212么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x，x，当x<x时，1212 都有f(x),f(x)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D12称为y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取x，x?D，且x<x; 1212?2 作差f(x),f(x); 12?3 变形(通常是因式分解和配方); ?4 定号(即判断差f(x),f(x)的正负); 12?5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)(? (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律:“同增异减” 8(函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(,x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数( (2)(奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(,x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数( (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称( 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;? 2确定f(,x)与f(x)的关系; ?3作出相应结论:若f(,x) = f(x) 或 f(,x),f(x) = 0，?则f(x)是偶函数;若f(,x) =,f(x) 或 f(,x)，f(x) = 0，则f(x)是奇函数( 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 n1(根式的概念:一般地，如果x,a，那么叫做的次方根，xan*N其中>1，且?( nnn0,0, 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。 a(a,0),nnnna,|a|,是奇数时，当是偶数时，当a,ann,a(a,0), 2(分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定: m*nmn，a,a(a,0,m,n,N,n,1)m,11*na,(a,0,m,n,N,n,1)mnmana , 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3(实数指数幂的运算性质 rrr，sa,aa(1)? ; (a,0,r,s,R)rsrs (a),a(2) ;(a,0,r,s,R)rrs(ab),aa(3) ( (a,0,r,s,R)(二)指数函数及其性质 x1、指数函数的概念:一般地，函数叫做指y,a(a,0,且a,1)数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R( 注意:指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1( 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 66554433221111-4-2246-4-224600-1-1 定义域 R 定义域 R 值域y,0 值域y,0 在R上单调递增 在R上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定函数图象都过定点(0，1) 点(0，1) 注意:利用函数的单调性，结合图象还可以看出: x(1)在a，b上，值域是或f(a),f(b)f(x),a(a,0且a,1); f(b),f(a)x,0x,R)若，则;取遍所有正数当且仅当; (2f(x),1f(x)x(3)对于指数函数，总有;f(1),af(x),a(a,0且a,1) 二、对数函数 (一)对数 xa,N1(对数的概念:一般地，如果，那么数叫x(a,0,a,1)NN做以为底的对数，记作:( 底数， 真x,logNaaa数，logN 对数式) aa,0a,1说明:1 注意底数的限制，且;? x2 ; a,N,logN,x?alogN3 注意对数的书写格式( ? a两个重要对数: 1 常用对数:以10为底的对数; lgN?e,2.71828？lnN2 自然对数:以无理数为底的对数的对数(? , 指数式与对数式的互化 幂值 真数 balogN, N, b ,a底数 指数 对数 (二)对数的运算性质 a,0a,1M,0N,0如果，且，那么: 1? ?，; log(MlogMlogNN),aaaM2? ,; log,logMlogNaaaNn3? ( logM,n(n,R)logMaa注意:换底公式 logbclogb,a,0a,1c,0c,1b,0 (，且;，且;)(alogac 利用换底公式推导下面的结论 1nn(1);(2)(logb,logb,logbmaaamlogab (二)对数函数 1、对数函数的概念:函数，且叫做对数y,logx(a,0a,1)a函数，其中是自变量，函数的定义域是(0，+?)(x 注意:1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意?x辨别。如:， 都不是对数函数，而只能称y,2logxlog2y,55其为对数型函数( 2 对数函数对底数的限制:，且(a,0a,1)? 2、对数函数的性质: a>1 0<a<1 332.52.5221.51.511110.50.5-1123480101-0.5-0.5-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5 定义域x,0 定义域x,0 值域为R 值域为R 在R上递增 在R上递减 函数图象都过函数图象都过定点定点(1，0) (1，0) (三)幂函数 (一)数与代数,1、幂函数定义:一般地，形如(a,R)的函数称为幂函数，y,x,其中为常数( 2、幂函数性质归纳( =0 <=> 抛物线与x轴有1个交点；(1)所有的幂函数在(0，+?)都有定义并且图象都过点(1，1); ,00,，,)(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是,10,1增函数(特别地，当时，幂函数的图象下凸;当时，幂函数的图象上凸; ,0(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数(在第一(0,，,)象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴yyx正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半xxx，,轴( 9.直角三角形变焦关系：第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数，把使y,f(x)(x,D)f(x),0成立的实数叫做函数的零点。xy,f(x)(x,D) 2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实y,f(x)f(x),0数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。xy,f(x) 锐角A的正弦、余弦和正切都是A的三角函数当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。即:方程有实数根函数的图象与轴有交xf(x),0y,f(x),1、20以内退位减法。点函数有零点( y,f(x),定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。3、函数零点的求法: tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对边与邻边的比；1 (代数法)求方程的实数根; f(x),0?10、做好培优扶差工作，提高数学及格率，力争使及格率达95%。2 (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数?的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点(y,f(x) 如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则4、二次函数的零点: 125.145.20加与减（三）4 P68-742二次函数( y,ax，bx，c(a,0)2ax，bx，c,0(1)?,，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点(x 2ax，bx，c,0(2)?,，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点(x 2ax，bx，c,0(3)?,，方程无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点(
