最新‖二次函数‖知识点总结优秀名师资料.doc

二次函数知识点总结二次函数知识点 一、二次函数概念: 2a,01(二次函数的概念:一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数。 这abcyaxbxc,，a,0里需要强调:和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零(二次函数的定义域是全体实bc数( 22. 二次函数的结构特征: yaxbxc,，? 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2( xxb? 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项( abcac二、二次函数的基本形式 21. 二次函数基本形式:的性质: yax,a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a x,0x,0时，随的增大而增大;时，随xyy 轴 y00 a,0， 向上 x,00的增大而减小;时，有最小值( xy x,0x,0时，随的增大而减小;时，随xyy00 轴 y，a,0 向下 x,00的增大而增大;时，有最大值( xy 22. 的性质: yaxc,，上加下减。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a x,0x,0时，随的增大而增大;时，随xyy 0c 轴 y，a,0 向上 x,0的增大而减小;时，有最小值( xcy x,0x,0时，随x的增大而减小;时，随yy轴 y0c a,0， 向下 x,0x的增大而增大;时，有最大值c( y23. yaxh,的性质: ，左加右减。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 xh,xh,x时，随的增大而增大;时，随yyh0 a,0， 向上 X=h xh,0x的增大而减小;时，有最小值( y时，随的增大而减小;时，随xh,xh,xyy h0 向下 X=h a,0，的增大而增大;xh,时，有最大值0( xy24. 的性质: yaxhk,，的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 axh,xh,时，随的增大而增大;时，随xyy hka,0 向上 X=h ，xh,k的增大而减小;时，有最小值( xyxh,xh,时，随的增大而减小;时，随xyy hk，a,0 向下 X=h xh,k的增大而增大;时，有最大值( xy三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 2方法一:? 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标;hkyaxhk,，2? 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到hk处，具体平移方法如下:yax,，向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位22y=axy=ax+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位22y=a(x-h)+ky=a(x-h)向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位2. 平移规律 hk 在原有函数的基础上“值正右移，负左移;值正上移，负下移”( 概括成八个字“左加右减，上加下减”( 方法二: 22y?沿轴平移:向上(下)平移个单位，变成 my,ax，bx，cy,ax，bx，c22(或) y,ax，bx，c，my,ax，bx，c,m22?沿轴平移:向左(右)平移m个单位，变成y,ax，bx，cy,ax，bx，c22(或) y,a(x，m)，b(x，m)，cy,a(x,m)，b(x,m)，c22yaxbxc,，yaxhk,，四、二次函数与的比较 ，22yaxbxc,，yaxhk,，从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前，222bacb4,bacb4,者，即，其中( yax,，hk,24aa24aa,2五、二次函数图象的画法 yaxbxc,，22五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、yaxbxc,，yaxhk,，()对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与轴y的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，(若与轴0c0c2hc，x0x0xx，12没有交点，则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.xy 2六、二次函数的性质 yaxbxc,，2,bbacb4,a,0 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为(,x,24aa2a,bbb当时，随的增大而减小;当时，随的增大而增大;当时，有最小xxx,x,x,yyy2a2a2a24acb,值( 4a2,bbbacb4,a,0时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为(当时，随 2. 当,x,x,y,24aa2a2a,2bb4acb,的增大而增大;当时，随的增大而减小;当时，有最大值(xxx,x,yy2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法 2ba,01. 一般式:(，为常数，); yaxbxc,，ac2hka,02. 顶点式:(，为常数，); yaxhk,，()aa,03. 两根式:(，是抛物线与轴两交点的横坐标).xyaxxxx,()()xx1212 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只2bac,40有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示(二次函数解析式x的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a2a,0二次函数yaxbxc,，中，a作为二次项系数，显然( a,0 ? 当时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大;a,0aa ? 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大(aaa总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小(b2. 一次项系数 ba 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴( ? 在的前提下， a,0b当b,0时，即抛物线的对称轴在轴左侧; y,02ab当b,0时，即抛物线的对称轴就是轴; y,02abb,0当时，即抛物线对称轴在轴的右侧( y,02aa,0? 在的前提下，结论刚好与上述相反，即 bb,0当时，即抛物线的对称轴在轴右侧; y,02abb,0当时，即抛物线的对称轴就是轴; ,0y2abb,0当时，即抛物线对称轴在轴的左侧( y,02ab总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置( ababab,0ab,0的符号的判定:对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是x,yy2a“左同右异” 总结: 3. 常数项 cc,0 ? 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正;xyyc,00时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为; ? 当yyc,0 ? 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负(xyy总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置( cy总之，只要abc都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的( 二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法(用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便(一般来说，有如下几种情况: 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式; x4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式( 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称 22yaxbxc,，xyaxbxc, 关于轴对称后，得到的解析式是; 22xyaxhk,，关于轴对称后，得到的解析式是yaxhk,; ，2. 关于轴对称 y22yaxbxc,，yaxbxc,， 关于轴对称后，得到的解析式是; y22关于轴对称后，得到的解析式是; yaxhk,，yaxhk,，y，3. 关于原点对称 22 关于原点对称后，得到的解析式是; yaxbxc,，yaxbxc,，,22 关于原点对称后，得到的解析式是; yaxhk,，yaxhk,，,，4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180?) 2b22 关于顶点对称后，得到的解析式是; yaxbxc,，yaxbxc,，,2a22关于顶点对称后，得到的解析式是( yaxhk,，yaxhk,，5. 关于点对称 mn，22关于点对称后，得到的解析式是mnyaxhk,，yaxhmnk,，,，,22，根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变(求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式( 十、二次函数与一元二次方程: 1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况): x22axbxc，,0一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.y,0yaxbxc,， 图象与轴的交点个数: x2,bac40AxBx，00? 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次x()xx,xx，1212122bac,42方程axbxca，,00的两根(这两点间的距离. ABxx,，21a,0? 当时，图象与轴只有一个交点; x,0? 当时，图象与轴没有交点. xa,0y,0 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有; xx1'a,0y,0当时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有( 2'2(0c)2. 抛物线yaxbxc,，的图象与轴一定相交，交点坐标为，; y3. 二次函数常用解题方法总结: x? 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程; ? 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;2bbyaxbxc,，acac? 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合; x? 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 2? 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数;axbxca，,(0)xa,0下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:,0 抛物线与轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根 x两个交点 可零、可负 ,0轴只二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 抛物线与x有一个交点 ,0轴无二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. 抛物线与x交点 图像参考: 2y=2x2y=x2xy=22xy= -22y= -x2y=-2x2+2y=2x2y=2x2y=2x-422y=2xy=2(x-4)2y=2(x-4)-32y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x 十一、函数的应用 刹车距离,二次函数应用 何时获得最大利润,最大面积是多少,二次函数考查重点与常见题型 1( 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如: 22已知以为自变量的二次函数的图像经过原点， 则的值是 xmy,(m,2)x，m,m,22( 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如: 2如图，如果函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的图像大致是( )y,kx，by,kx，bx,1y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3( 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如: 5已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。 x,34( 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如:32已知抛物线(a?0)与x轴的两个交点的横坐标是,1、3，与y轴交点的纵坐标是, yaxbxc,，2(1)确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5(考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】 由抛物线的位置确定系数的符号 c2例1 (1)二次函数的图像如图1，则点在( ) M(b,)yaxbxc,，aA(第一象限 B(第二象限 C(第三象限 D(第四象限 2 (2)已知二次函数y=ax+bx+c(a?0)的图象如图2所示，则下列结论:?a、b同号;?当x=1和x=3时，函数值相等;?4a+b=0;?当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是( ) A(1个 B(2个 C(3个 D(4个 (1) (2) 【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键( 2例2.已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x，0)，且1<x<2，与y轴的正半轴的交11点在点(O，2)的下方(下列结论:?a<b<0;?2a+c>O;?4a+c<O;?2a-b+1>O，其中正确结论的个数为( )A 1个 B. 2个 C. 3个 D(4个 答案:D 会用待定系数法求二次函数解析式 22例3.已知:关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2) 答案:C 例4、(2006年烟台市)如图(单位:m)，等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到2AB与CD重合(设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym( (1)写出y与x的关系式;(2)当x=2，3.5时，y分别是多少, (3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间,求抛物线顶点坐标、 对称轴. 152 例5、已知抛物线y=x+x-( 22(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴( (2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长( 【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查，第(2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系( 2例6.已知:二次函数y=ax-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于，两点，A(x,0)B(x,0)(x,x)1212交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB( (1)求二次函数的解析式;(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角?MCO>?ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围;若不存在，请你说明理由( (1)解:如图?抛物线交x轴于点A(x，0)，B(x2，O)， 1则x?x=3<0，又?x<x， 1212?x>O，x<O，?30A=OB，?x=-3x( 212122 ?x?x=-3x=-3(?x=1. 1211x<0，?x=-1(?(x=3( 112?点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3 2 ?(二次函数的解析式为y-2x-4x-6( (2)存在点M使?MC0<?ACO( (2)解:点A关于y轴的对称点A(1，O)， ?直线A，C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)( ?符合题意的x的范围为-1<x<0或O<x<5( 当点M的横坐标满足-1<x<O或O<x<5时，?MCO>?ACO( 12y,x，bx，c例7、 “已知函数的图象经过点A(c，,2)， 2求证:这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。(1)根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式,若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象;若不能，请说明理由。 (2)请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。点评: 对于第(1)小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A(c，,2)”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第(2)小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第(1)小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 12y,x，bx，c解答 (1)根据的图象经过点A(c，,2)，图象的对称轴是x=3，21,2，,2,cbcc,2,得 b,3,12,2,b,3,解得 ,c,2.,12y,x,3x，2.所以所求二次函数解析式为图象如图所示。 212(2)在解析式中令y=0，得，解得 x,3x，2,0x,3，5,x,3,5.122所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(3+”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是5,0)(3,5,0).5令x=3代入解析式，得 y,2152所以抛物线的顶点坐标为 y,x,3x，2(3,),225所以也可以填抛物线的顶点坐标为(3,)等等。 2函数主要关注:通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征;借助多种现实背景理解函数;将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型;渗透函数的思想;关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图)，其中AF=2，BF=1(试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积( 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力(同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间( 例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表: (2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.x(元) 15 20 30 (5）切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.y(件) 25 20 10 2. 图像性质：若日销售量y是销售价x的一次函数( (1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式; (2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元,此时每日销售利润是多少元, 1525,kb，, 【解析】(1)设此一次函数表达式为y=kx+b(则 解得k=-1，b=40，即一次函数表达,220kb，,式为y=-x+40( (2)设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 22 w=(x-10)(40-x)=-x+50x-400=-(x-25)+225( 经过同一直线上的三点不能作圆.产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元( 对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点:(1)设未知数在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数;(2)问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程( 例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线(如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2(5 m处(绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶(已知学生丙的身高是1(5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示) 说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：( ) (5)直角三角形的内切圆半径定义：在RtABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，A(1(5 m B(1(625 m C(1(66 m D(1(67 m (5)直角三角形的内切圆半径分析:本题考查二次函数的应用 (一)数与代数答案:B