2017_2018学年高中数学第一章常用逻辑用语2充分条件与必要条件学案北师大版选修1_120180.wps

§2§2 充分条件与必要条件 对应学生用书P5 充分条件与必要条件 古时候有个卖油郎叫洛孝，一天他在卖油回家的路上捡到 30两银子，回家后其母亲叫洛 孝把银子还给失主当洛孝把银子还给失主时，失主却说自己丢了 50两银子，叫洛孝拿出自 己私留的 20 两银子两人为此争执不休，告到县衙，县官听了两人的供述后，把银子判给洛 孝，失主含羞离去 设： A：洛孝主动归还所拾银两 B：洛孝无赖银之情 C：洛孝拾到 30两银子，失主丢失 50 两银子 D：洛孝所拾银子不是失主所丢 问题 1：县官得到结论 B 的依据是什么？它是 B 的什么条件？ 提示：A，充分条件 问题 2：县官由 C 得出什么结论？它是 C 的什么条件？ 提示：D，必要条件 充分条件和必要条件 “如果 若 p，则 q”形式的命题为真命题，即 pq，称 p是 q的充分条件，同时称 q是 p 的必要条件. 充要条件 已知：p：前年在伦敦举行第 30届夏季奥运会 q：前年是 2012年 问题 1“： 若 p，则 q”为真命题吗？p是 q的什么条件？ 提示：是真命题，充分条件 问题 2“： 若 q，则 p”是真命题吗？p是 q的什么条件？ 提示：是真命题，必要条件 问题 3：p是 q的什么条件？q是 p的什么条件？ 1 提示：充要条件，充要条件 充要条件 (1)如果既有 p q，又有 q p，通常记作 p q，则称 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条 件 (2)p 是 q 的充要条件也可以说成：p 成立当且仅当 q 成立 (3)如果 p，q 分别表示两个命题，且它们互为充要条件，我们称命题 p 和命题 q 是两个相 互等价的命题 (4)若 pq，但 q/ p，则 p 是 q 的充分不必要条件，q 是 p 的必要不充分条件 (5)若 p/ q，且 q/ p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 充分条件与必要条件的判断，即对命题“若 p，则 q”与“若 q，则 p”进行真假判断，若 是一真一假则 p 是 q 的充分不必要条件或必要不充分条件；若是两真则 p 是 q 的充要条件；若 是两假则 p 是 q 的即不充分又不必要条件 对应学生用书P6 充分条件、必要条件的判断 例 1 下列各题中，p 是 q 的什么条件？ (1)p：a，b，c 三数成等比数列，q：b ac； (2)p：yx4，q：x1，y3； (3)p：ab，q：2a2b； (4)p：ABC是直角三角形，q：ABC为等腰三角形 思路点拨 可先看 p 成立时，q 是否成立，再反过来若 q 成立时，p 是否成立，从而判 定 p，q 间的关系 精解详析 (1)若 a，b，c 成等比数列，则 b2ac，b± ac，则 p/ q；若 b ac， 当 a0，b0 时，a，b，c 不成等比数列，即 q/ p，故 p 是 q 的既不充分也不必要条件 (2)yx4不能得出 x1，y3，即 p/ q，而 x1，y3 可得 xy4，即 qp，故 p 是 q 的必要不充分条件 (3)当 ab 时，有 2a2b，即 pq，当 2a2b时，可得 ab，即 qp，故 p 是 q 的充要条件 (4)法一：若ABC 是直角三角形不能得出ABC为等腰三角形，即 p/ q；若ABC为等 腰三角形也不能得出ABC为直角三角形，即 q/ p，故 p 是 q 的既不充分也不必要条件 法二：如图所示：p，q 对应集合间无包含关系，故 p 是 q 的既不充分也不必要条件 2 一点通 充分必要条件判断的常用方法： (1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断 (2)等价法：将不易判断的命题转化为它的逆否命题判断 (3)集合法： 设 Ax|p(x)，Bx|q(x)，若 x 具有性质 p，则 xA；若 x 具有性质 q，则 xB. 若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件； 若 BA，则 p 是 q 的必要不充分条件； 若 AB，则 p 是 q 的充要条件； 若 AB 且 BA，则 p 是 q 的既不充分又不必要条件 x 1设集合 Ax| 0，集合 Bx|x2|1，那么“mA”是“mB”的( ) x3 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 解析：集合 Ax|0x3，集合 Bx|1x3，则由“mA”得不到“mB”，反之 由“mB”也得不到“mA”，故选 D. 答案：D 2对任意实数 a，b，c 给出下列命题： “ab”是“acbc”的充要条件； “a5 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； “ab”是“a2b2”的充分条件； “ab”不能得出 a2b2，如 a1，b2，为假命题；“由 a0的解集为 R R 的充要条件是_ 解析：若 x2ax10 的解集为 R R，则 a240 的解集为 R R，故不等式 x2ax10 的解集 为 R R 的充要条件是2a2. 4 答案：2a2 5等差数列an的首项为 a，公差为 d，其前 n项和为 Sn，则数列Sn为递增数列的充要 条件是_ nn1 nn1 解析：由 Sn1Sn(nN N) (n1)a dna d(nN N)dna 2 2 0(nN N)d0 且 da0.因此数列Sn为递增数列的充要条件是 d0 且 da0. 答案：d0 且 da0 6求证：关于 x的方程 ax2bxc0 有一个根为 1 的充要条件是 abc0. 证明：先证必要性：方程 ax2bxc0 有一个根为 1， x1 满足方程 ax2bxc0. a×12b×1c0，即 abc0. 必要性成立 再证充分性：abc0，cab. 代入方程 ax2bxc0 中可得： ax2bxab0，即(x1)(axba)0. 故方程 ax2bxc0 有一个根为 1. 故关于 x的方程 ax2bxc0 有一个根为 1 的充要条件是 abc0. 充分条件、必要条件的应用 3m 3m 例 3 已知 p：关于 x的不等式 x ，q：x(x3)0，若 p是 q的充分不必 2 2 要条件，求实数 m的取值范围 思路点拨 求出 q对应的集合，然后把问题转化为集合间的包含关系求解 3m 3m 精解详析 记 Ax| x ，B 2 2 x|x(x3)0x|0x3， 若 p是 q的充分不必要条件，则 AB. 注意到 Bx|0x3，分两种情况讨论： 3m 3m (1)若 A，即 ，解得 m0，此时 AB，符合题意； 2 2 3m 3m (2)若 A，即 ，解得 m0， 2 2 要使 AB，应有Error! 综上可得，实数 m的取值范围是( ，3) 一点通 将充分、必要条件转化为集合的包含关系，是解决该类问题的一种有效的方法，关键是准 确把 p，q用集合表示，借助数轴，利用数形结合的方法建立方程或不等式，求参数的范围 5 7已知条件 p：x2x60，条件 q：mx10(m0)，且 q 是 p 的充分不必要条件， 求 m 的值 解：解 x2x60 得 x2 或 x3， 1 令 A2，3，B ， m q 是 p 的充分不必要条件，B A. 1 1 1 1 当 2 时，m ；当 3 时，m . m 2 m 3 1 1 所以 m 或 m . 2 3 8已知 Mx|(xa)21，Nx|x25x240，若 xM 是 xN 的充分条件，求 a 的 取值范围 解：由(xa)21 得 x22ax(a1)(a1)0， a1xa1，Mx|a1xa1 又由 x25x240 得3x8，Nx|3x8 xM 是 xN 的充分条件，MN， Error!解得2a7. 故 a 的取值范围是2,7 1充分必要条件与四种命题之间的对应关系； (1)若 p 是 q 的充分条件，则原命题“若 p，则 q”及它的逆否命题都是真命题； (2)若 p 是 q 的必要条件，则逆命题及否命题为真命题； (3)若 p 是 q 的充要条件，则四种命题均为真命题 2涉及利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，常利用命题的等价性 进行转化，从集合的包含、相等关系上来考虑制约关系 二对应课时跟踪训练二 1“1x2”是“x2”成立的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析：当 1x2 时，必有 x2；而 x2 时，如 x0，推不出 1x2，所以“1x 6 2”“是x2”的充分不必要条件 答案：A 2函数 f(x)x2mx1 的图像关于直线 x1 对称的充要条件是( ) Am2 Bm2 Cm1 Dm1 m 解析：函数 f(x)x2mx1 的图像关于 x1 对称 1m2. 2 答案：A a c 3已知命题 p：“a，b，c 成等差数列”，命题 q：“ 2”，则命题 p 是命题 q 的( ) b b A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 a c 解析：若 2，则 ac2b，由此可得 a，b，c 成等差数列；当 a，b，c 成等差数列 b b a c 时，可得 ac2b，但不一定得出 2，如 a1，b0，c1.所以命题 p 是命题 q 的 b b 必要不充分条件，故选 A. 答案：A 4“a3”“是 函数 f(x)ax2 在区间1,2”上存在零点 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：当 a3 时，f(1)f(2)(a2)(2a2)0，即函数 f(x)ax2 在区间 1,2上存在零点；但当函数 f(x)ax2 在区间1,2上存在零点；不一定是 a3，如当 a 3 时，函数 f(x)ax23x2 在区间1,2上存在零点所以“a3”是“函数 f(x) ax2 在区间1,2”上存在零点 的充分不必要条件，故选 A. 答案：A 5直线 l：xym0 与圆 C：(x1)2y22 有公共点的充要条件是_ |1m| 解析：直线 l 与圆 C 有公共点 |m1|2 1m3. 2 2 答案：m1,3 6在下列各项中选择一项填空： 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 (1)记集合 A1，p,2，B2,3“，则p3”“是ABB”的_； 7 1 (2)“a1”“是 函数 f(x)|2xa|在区间 ，)”上为增函数 的_ 2 解析：(1)当 p3 时，A1,2,3，此时 ABB；若 ABB，则必有 p3.“因此p 1 3”是“ABB”的充要条件(2)当 a1 时，f(x)|2xa|2x1|在 ，)上是增 2 1 函数；但由 f(x)|2xa|在区间 ， )上是增函数不能得到 a1，如当 a0 时，函数 f(x) 2 1 |2xa|2x|在区间 ，)上是增函数因此“a1”是“函数 f(x)|2xa|在区间 2 1 ， )”上为增函数 的充分不必要条件 2 答案：(1) (2) 7指出下列各组命题中，p 是 q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条 件，既不充分也不必要条件)? (1)p：ABC 中，b2a2c2，q：ABC 为钝角三角形； (2)p：ABC 有两个角相等，q：ABC 是正三角形； (3)若 a，bR R，p：a2b20，q：ab0； 1 (4)p：ABC 中，A30°，q：sin A . 2 a2c2b2 解：(1)ABC 中，b2a2c2，cos B 0， 2ac B 为钝角，即ABC 为钝角三角形，反之若ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时 b2 a2c2. pq，q/ p，故 p 是 q 的充分不必要条件 (2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立， p/ q，qp，故 p 是 q 的必要不充分条件 (3)若 a2b20，则 ab0，故 pq；若 ab0，则 a2b20，即 qp，所以 p 是 q 的充要条件 1 (4)转化为ABC 中 sin A 是 A30°的什么条件 2 1 1 A30°sin A ，但是 sin A / A30°， 2 2 1 ABC 中 sin A 是 A30°的必要不充分条件 2 即 p 是 q 的必要不充分条件 8求方程 ax22x10 有两个不相等的负实根的充要条件 1 解：当 a0 时，方程为一元一次方程，其根为 x ，不符合要求； 2 8 当 a0 时，方程 ax22x10 为一元二次方程，有两个不相等的负实根的充要条件 为 Error!解得 0a1. 所以 ax22x10 有两个不相等的负实根的充要条件是 0a1. 9