北京市师大附中2017_2018学年高一数学下学期期中试题201806120128.wps

北京师大附中 2017-20182017-2018 学年下学期高一年级期中考试数学试卷 本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。 一、选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1. 在ABC 中，D 是边 BC的中点，则 AD AC 1 A. CB B. BC C. CB D. 2 1 2 BC 2. 在ABC 中，AB3，AC4，A150°，则ABC的面积为 A. 3 B. 3 3 C. 6 D. 6 3 3. 下图是 500 名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则这 500 名学生 中测试成绩在区间90，100）中的学生人数是 A. 60 B. 55 C. 45 D. 50 4. 已知点 A（1，2），B（3，7），向量 a (x,1), AB a，则 2 2 x AB x AB 5 5 A. ，且 与 a 方向相同 B. ，且 与 a 方向相同 2 2 C. ，且 与 a 方向相反 D. ，且 与 a 方向相反 x AB x AB 5 5 5. 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c 。若 (a2 c2 b2 ) tan B 3ac ，则角 B 的大小为 2 A. B. C. 或 D. 或 3 6 3 3 6 5 6 6. 已知在ABC中， AB 3, AC 4, BC 10 ，则 AB BC 3 3 3 A. B. C. D. 4 2 2 3 4 - 1 - 7. 抛掷两颗骰子，点数之积为大于 15 的偶数的概率是 5 2 1 A. B. C. D. 18 9 6 11 36 8. 从高一年级随机选取 100名学生，对他们的期末考试的数学和语文成绩进行分析，成绩 如图所示。 2 2 若用 分别表示这 100名学生语文，数学成绩的及格率，用 分别表示这 100 p1, p 1 ,s s 2 2 名学生语文、数学成绩的方差，则下列结论正确的是 A. B. p 2 2 2 p 2 1 p ,s s 1 p ,s s 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 p ,s s 1 p ,s s 2 1 2 2 1 2 C. D. p p 2 二、填空题：共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 2 9. 在ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a,b,c ，且 a 3c, A ，则 C_。 3 10. 下侧茎叶图记录了在某项体育比赛中，九位裁判为一名选手打出的分数情况，则去掉一 个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值为_，方差为_。 11. 已知正方形 ABCD 的边长为 1，设 AB a, BC b, AC c ，则| a b c |_。 - 2 - 12. 袋中有大小相同的黑球和白球各 1 个，每次从袋中抽取 1 个，有放回的随机抽取 3 次， 则至少抽到 1 个黑球的概率是_。 13. 设向量 a ( 3 ,1) ，则满足 a、b 的夹角为 的一个向量 b 的坐标可以是_。 6 14. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴正半轴上， BAO ,| OB | 2，设 4 3 4 AOB , ( , )， 则 OA _（ 用 表 示 ）； 若 tan ， 则 OAOB 2 4 3 _。 三、解答题：共 6 个小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15. 在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a,b,c ，设 A , sin B 3sin C 。 3 （ ）若 a 7 ，求 b 的值； （ ）求 tanC 的值。 16. 已知向量 a (1,2),b (3,4)。 （ ）若 a (a tb) ，求实数 t 的值； （ ）若向量 c a b ，且 2 ，求| c |的最小值。 17. 某中学从高三男生中随机抽取 100 名学生，将他们的身高数据进行整理，得到下侧的频 率分布表。 组号 分组 频率 第 1 组 160，165） 0.05 第 2 组 165,170) 0.35 第 3 组 170,175) 0.3 第 4 组 175,180) 0.2 第 5 组 180,185 0.1 合计 1.00 - 3 - （ ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第 3，4，5 组中用分层抽样的方法 抽取 6 名学生进行体能测试，问第 3，4，5 组每组各应抽取多少名学生进行测试； （ ）在（ ）的前提下，学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生进行引体向上测试， 求第 3 组中至少有一名学生被抽中的概率； （）试估计该中学高三年级男生身高的中位数位于第几组中，并说明理由。 18. 已知在锐角ABC中， 3c 2bsin(A B) （ ）求角 B； （ ）若b 4 ，求ABC面积的最大值。 19. 设向量 a ( 3 sin x, sin x),b (cos x, sin x), x 0, 2 （ ）若| a | b | ，求 x 的值； （ ）设函数 f (x) a b ，求 f (x) 的最值。 20. 已知集合 X | ( , , ， n ， n(n 2) ，对于 Sn X x ), x 0,1,i 1, 2, x1 x 2 i A(a1 a ) , , n S ， ，B（ ， ，定义 A 与 B 的差为 a b , , 1 b b ) 2 n 2 n n A B a |,| | |) i b | (| 1 b a b |, ，A 与 B 之间的距离为 。 a n b d(A, B) | a 1 2 2 n i i1 （ ）若 A (1,0,1), B ( 0 ,1,1) ，求 A B,d(A, B) ； （ ）证明：对任意 ，有 A, B,C S n （i） ，且 ； A B S d(A C, B C) d(A, B) n （ii） d(A, B),d(A,C),d(B,C) 三个数中至少有一个是偶数； （）对于 A ( , ,an ), ( , , b ) ，再定义一种 A 与 B 之间的运算， a1 a B b1 b , n S 2 2 n 并写出两条该运算满足的性质（不需证明）。 - 4 - 【试题答案】 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D D C B A C 二、填空题 9. ； 10. 91，4.7； 11. 2 6 7 12 12. ； 13. 14. ； 。 ( 3,0) OA 2(sin cos) 8 25 三、解答题 a b c 15.（ ）解：因为sin B 3sin C ，由正弦定理 ， sin A sin B sin C 得b 3c 。 由余弦定理 a2 b2 c2 2bccos A及 A ,a 7 ， 3 2 b b 2 得 7 b2 c2 bc ，所以b ( ) 7 ， 2 3 3 解得b 3。 2 （ ）解：由 ，得 ， A B C 3 3 2 3 所以 C) 3sin C ， sin( 3 1 即 cosC sin C 3sin C ， 2 2 3 5 3 所以 cosC sin C ，所以 tanC 。 2 2 5 16.（ ）1；（ ） 2 5 。 17. 解：（ ）因为第 3，4，5 组共有 60 名学生，所以利用分层抽样在 60名学生中抽取 6 名学生，每组学生人数分别为： 30 20 6 10 6 第 3 组： 6 3 人；第 4 组： 2 人；第 5 组： 1 人。 60 60 60 所以第 3，4，5 组分别抽取 3 人，2 人，1 人。 （ ）设第 3 组 3 位同学为 A1，A2，A3，第 4 组 2 位同学为 B1，B2，第 5 组 1 位同学为 - 5 - C1， 则从 6 位同学中抽两位同学的情况分别为： （A1，A2），（A1，A3）， （A1，B1），（A1，B2）， （A1，C1），（A2，A3）， （A2，B1），（A2，B2）， （A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）。共有 15 种。 其中第 4 组的两位同学至少有一位同学被选中的情况分别为： （A1，A2），（A1，A3）， （A1，B1），（A1，B2）， （A1，C1），（A2，A3）， （A2，B1），（A2，B2）， （A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），共有 12 种可能。 所以，第 4 组中至少有一名学生被抽中的概率为 0.8。 答：第 4 组中至少有一名学生被抽中的概率为 0.8。 （）第 3 组 18.（ ） （ ） 。 4 3 3 19. （ ）因为| a | b | ，所以| a |2 | b |2 ，所以 ( 3 sin x)2 sin2 x cos2 x sin2 x ， 1 所以 ，又因为 ，所以 sin x x 0, 2 2 x 6 （ ） f 3 1 (x) a b 3 sin x cos x sin2 x sin 2x cos 2x 2 2 1 2 x sin 2 6 1 2 5 当 时 ， ， 所 以 当 时 ， 即 时 ， x 2x 0, , 2x x 2 6 6 6 6 2 3 3 sin2x f (x) 取最大值 1， 的最大值为 。 6 2 当 时，即 时， 的最小值为 0。 2x x 0 f (x) 6 6 20. 解：（ ）因为 A (1,0,1), B ( 0 ,1,1) ，所以 A B (1,1,0),d(A, B) 2 。 （ ）（i）设 ( , , c1 c ， A ,a ), B ( , , n S a 1 a n b1 b , ), ( , , ,c ) bn C 2 2 2 n 因为 a , 0,1，故| 1 b |0,1, (i 1,2 ，n）， i b a i i 即 A B (| a |,| |, 。 1 b a b ,| an b |) S 1 2 2 n n 又 a ,b ,c (0,1),i 1, 2, ，n。 i i i 当 c 0 时，有| i c | | b c | | a b |； a i i i i i i 当 c 1时，有| i c | | b c | | (1 a ) (1 b ) | | a b |； a i i i i i i i i - 6 - n 故 d(A C, B C) | i1 ai b | d(A, B) i （ii）设 ( , ,， ， n S ， A 1 a a ), ( , , a n B b ), ( , , 1 b b n C c 1 c ,c ) 2 2 2 n 记 d(A, B) k,d(A,C) l,d(B,C) h 记O (0,0,0) S ，由（i）可知： n d(A, B) d(A A, B A) d(O, B A) k ， d(A,C) d(A A,C A) d(O,C A) l ， d(B,C) d(B A,C A) h ， 即| i a |中 1 的个数为 k， 中 1 的个数为 ， b | i a | c l,(i 1,2 ,n) i i 设 t 是使| i a | c a |1成立的 i 的个数，则有 ， b h k l 2t i i i 由此可知， k,l,h 不可能全为奇数，即 d(A, B),d(A,C),d(B,C) 三个数中至少有一个是 偶数。 （）如可定义 A·B ， ，则 A·BB·A，（A·B）·C (a b a b , nb S 1 , , a ) 1 2 2 n n A·（B·C）。 - 7 -