山西省山西大学附属中学2017_2018学年高二数学下学期期中试题文2018060801100.wps

2017201720182018 学年高二第二学期期中考试 数 学 试 题（文科） 考查内容： 导数 选修 1-2，选修 4-4 一选择题（本题共 1212小题，每小题 3 3，共 3636在每小题给出的四个选项中 只有一个选项符合题目要求） 1已知点 P 的直角坐标2,2 3，则它的一个极坐标为（ ） 4 7 A. (4， ) B. (4， ) C. (-4， ) D. (4， ) 3 3 6 6 2函数 f x sinx cosx ，则 f ' 的值是（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 5i 3. i 是虚数单位，则复数 的虚部为（ ） 2 i A. 2i B.2 C. 2 D. 2i f x x2 2x 4ln x f x 4若 ，则 的单调递增区间为（ ） A1, 0B1, 02,C2, D0, 5.已知数列 中， ， 时， ，依次计算 ， a a n 2 1 1 a a 1 2n 1 a n n n 2 a a a ， 后，猜想 的表达式是（ ） 3 4 n A. 3n 1 B. 4n 3 C. n2 D. 3n1 6.设A ABC 的三边长分别为 a,b,c ,A ABC 的面积为 S ,内切圆半径为 r ,则 2S r S ABC ,类比这个结论可知：四面体 的四个面的面积分别为 a b c S S S S R S ABC V R 1, 2 , 3, 4 ，内切球半径为 ,四面体 的体积为 ,则 等于 （ ） V A B S S S S 1 2 3 4 2V S S S S 1 2 3 4 3V C D S S S S 4V S S S S 1 2 3 4 1 2 3 4 7.已知函数 y x3 3x c 的图像与 x 轴恰有两个公共点，则 c （ ） A 2 或 2 B 9或 3 C. 1或 1 D 3或 1 x 2x 8圆 x2 y2 1经过伸缩变换 后所得图形的焦距是（ ） y 3y A. 4 B. 2 13 C. 2 5 D. 6 1 9 曲 线 y ex 在 点 处 的 切 线 与 坐 标 轴 所 围 三 角 形 的 面 积 为 2,e 2 （ ） e 2e 2 2 A e2 B C 2e D 2 2 3 x 3 cos, 10.已知 M 为曲线C ： （ 为参数）上的动点设O 为原点， y sin 则 OM 的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11若 x 3 是函数 f x x ax e 的极值点，则 f x的极大值为 2 1 x （ ） A. 2e B. 2e3 C. 2e3 D. 6e 1 x e x e x x 1 2 12.若对于 ，且 ，都有 ，则 的最 x x m x x 2 1 1 m 1, 2 , 1 2 e e x x 2 1 大值是（ ） A 2e B e C. 0 D-1 二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题 4 4，共 1616分 1 1 13. “无理数是无限小数，而 ( 0.16666)是无限小数，所以 是无理 6 6 ”数。 这个推理是 _“推理（在 归纳”“、类比”“”、 演绎 中选择填空） 14. 已知直线 l 的极坐标方程为 2 sin( ) 2 ，点 A 的极坐标为 4 7 A 2 2, 4 ，则点 到直线 的距离为 A l 15. 如果函数 f (x) ln x ax2 2x 有两个不同的极值点，那么实数 a 的范 围是 16 已 知 定 义 在 R 上 的 可 导 函 数 y f x的 导 函 数 为 f x， 满 足 f x f x y f (x 2) f (4) 1 f x e ，且 为偶函数， ，则不等式 x 的解集为_ 三、解答题（本大题共 5 5 题，共 4848分） 17. （本小题满分 8 8 分） 4 若函数 f (x) ax3 bx 4 当 x 2 时，函数 f (x) 取得极值 3 2 （1）求函数的解析式； （2）求函数 f (x)在区间3,3上的最值 18( (本小题满分 1010分) ) 王府井百货分店今年春节期间，消费达到一定标准 的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人 数越来越多，该分店经理对春节前 7 天参加抽奖活动的人数进行统计， y 表 示第 x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下： x 1 2 3 4 5 6 7 y 5 8 8 10 14 15 17 经过进一步统计分析，发现 y 与 x 具有线性相关关系 （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y bx a ； （2）判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关； （3）若该活动只持续 10 天，估计共有多少名顾客参加抽奖 n x y nxy 7 i i 参与公式： b i1 ， a y bx ， x y 364 n i i i x2 nx 2 i1 i1 19（本小题满分 1010分）某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生 产情况，随机在这两条流水线上各抽取40 件产品作为样本称出它们的质量(单 位：克)，质量值落在495,510的产品为合格品，否则为不合格品.如表是 甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图. 产品质量/克 频数 (490，495 6 (495，500 8 3 (500，505 14 (505，510 8 (510，515 4 甲流水线样本频数分布表 甲流水线 乙流水线 总计 合格品 a b 不合格品 c d 总计 n （1）若以频率作为概率，试估计从乙流水线任取1 件产品，该产品恰好是合 格品的概率； （2）由以上统计数据完成下面 22列联表，能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关？ 附表： P K 2 k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 n ad bc （参考公式： ） K 2 ,n a b c d a ba cb d c d 4 3 x 5 t 2 l : t 20.20.（本小题满分 1010分）已知直线 （ 为参数），以坐标原点 1 y 3 t 2 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 cos . (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点 M 的直角坐标为 5, 3，直线 l 与曲线 C 的交点为 A ， B ，求 MA | | MB | 的值. 21.21.（本小题满分 1010分）在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 1 x y 3 cos ( ) 为参数 ，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建 sin C 的极坐标方程为 sin 2 2 立极坐标系，曲线 2 4 . （1）写出 C1 的普通方程和C2 的直角坐标方程； （2）设点 P 在 C1 上，点Q 在C 上，求 PQ 的最小值及此时 P 的直角坐标. 2 5 山西大学附中 20172018学年高二第二学期期中考试 数 学 试 题（文科） 考查内容： 导数 选修 1-2，选修 4-4 一选择题（本题共 1212小题，每小题 3 3，共 3636在每小题给出的四个选项中 只有一个选项符合题目要求） 1已知点 P 的直角坐标2,2 3，则它的一个极坐标为（ B ） 4 7 A. (4， ) B. (4， ) C. (-4， ) D. (4， ) 3 3 6 6 2函数 f x sinx cosx ，则 f ' 的值是（ A ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 5i 3. i 是虚数单位，则复数 的虚部为（ C ） 2 i A. 2i B.2 C. 2 D. 2i 4若 f x x2 2x 4ln x，则 f x的单调递增区间为（ C ） A1, 0B1, 02, C2, D0, 5.已知数列 中， a1 1， n 2 时， a a n ，依次计算 ， a 1 2 1 a n n n 2 a a a ， 后，猜想 的表达式是（ C ） 3 4 n A. 3n 1 B. 4n 3 C. n2 D. 3n1 6.设A ABC 的三边长分别为 a,b,c ,A ABC 的面积为 S ,内切圆半径为 r ,则 2S r S ABC ,类比这个结论可知：四面体 的四个面的面积分别为 a b c S S S S R S ABC V R 1, 2 , 3, 4 ，内切球半径为 ,四面体 的体积为 ,则 等于 （ C ） V 2V A B S S S S S S S S 1 2 3 4 1 2 3 4 3V 4V C D S S S S S S S S 1 2 3 4 1 2 3 4 7.已 知 函 数 y x3 3x c 的 图 像 与 x 轴 恰 有 两 个 公 共 点 ， 则 c （ A ） 6 A 2 或 2 B 9或 3 C. 1或 1 D 3或 1 x 2x 8圆 x2 y2 1经过伸缩变换 后所得图形的焦距是（ C ） y 3y A. 4 B. 2 13 C. 2 5 D. 6 9 曲 线 y ex 在 点 处 的 切 线 与 坐 标 轴 所 围 三 角 形 的 面 积 为 2,e 2 （ B ） e 2e A e2 B C 2e D 2 3 2 2 2 x 3 cos, 10.已知 M 为曲线C ： （ 为参数）上的动点设O 为原点， y sin 则 OM 的最大值是（ D ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11若 x 3 是函数 f x x ax e 的极值点，则 f x的极大值为 2 1 x （ D ） A. 2e B. 2e3 C. 2e3 D. 6e 1 x e x e x x 1 2 12.若对于 1, 2 , ，且 x x ，都有 2 1 1，则 m 的最 x x m 1 2 x x e e 2 1 大值是（ C ） A 2e B e C. 0 D-1 二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题 4 4，共 1616分 1 1 13. “无理数是无限小数，而 ( 0.16666 )是无限小数，所以 是无理 6 6 ”数。 这个推理是 演绎 _“推理（在 归纳”、“类比”、“”演绎 中选择填 空） 14. 已知直线 l 的极坐标方程为 2 sin( ) 2 ，点 A 的极坐标为 4 7 A 2 2, 4 5 2 ，则点 到直线 的距离为 A l 2 15. 如果函数 f (x) ln x ax2 2x 有两个不同的极值点，那么实数 a 的范 1 0, 围是 2 7 16 已 知 定 义 在 R 上 的 可 导 函 数 y f x的 导 函 数 为 f x， 满 足 f x f x y f (x 2) f (4) 1 ，且 为偶函数， ，则不等式 f x e x 的解集为_0,_ 三、解答题（本大题共 5 5 题，共 4848分） 17. （本小题满分 8 8 分） 4 若函数 f (x) ax3 bx 4 当 x 2 时，函数 f (x) 取得极值 3 （1）求函数的解析式； （2）求函数 f (x)在区间3,3上的最值 4 f (2) 3 解：（1） f ' (x) 3ax2 b ， 由题知： f ' (2) 0且 ，则： 4 代入有： f '(2) 12a b 0 且 f ( 8a 2b 4 . 2) 3 1 解 得 ： a ,b 4 则 函 数 解 析 式 为 ： 3 1 f (x) x3 4x 4 .-4 分 3 （2）由（1）知： f '(x) x2 4 ， 令 f ' (x) 0解得 x 2或 x 2 当 x(3,2) 时， f ' (x) 0，则 f (x) 在 (3,2) 上单调递增. 当 x(2,2)时， f ' (x) 0 ，则 f (x) 在 (2,2)上单调递减. 当 x(2,3) 时， f ' (x) 0，则 f (x) 在 (2,3) 上单调递增. 则 f (x) 在 x 2 处取极大值，在 x 2处取极小值. 28 4 又 f (3) 7 ， f (3) 1， f (2) ， f (2) 3 3 28 f (x) 3,3 则 在 上 的 最 大 值 为 ， 最 小 值 为 3 4 3 .-10 分 18( (本小题满分 1010分) ) 王府井百货分店今年春节期间，消费达到一定标准 的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人 数越来越多，该分店经理对春节前 7 天参加抽奖活动的人数进行统计， y 表 示第 x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下： x 1 2 3 4 5 6 7 y 5 8 8 10 14 15 17 8 经过进一步统计分析，发现 y 与 x 具有线性相关关系 （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y bx a ； （2）判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关； （3）若该活动只持续 10 天，估计共有多少名顾客参加抽奖 n x y nxy 7 i i 参与公式： b i1 ， a y bx ， x y 364 n i i i x2 nx 2 i1 i1 【答案】（1） y 2x 3；（2）正相关；（3）140人. 【解析】试题分析：（1）利用b 和 a 的公式求解回归方程即可； （2）由散点的趋势可判断正相关； （3）用回归方程估计即可. 试题解析： 1 （1）依题意： ， x （1 2 3 4 5 6 7） 4 7 1 7 7 ， i i i y （58810 14 1517）11 x 140 x y 364 ， ， 2 7 i1 i1 b 7 x y 7xy 364 7411 i1 2， a y b x 11 24 3 7 2 2 i 140 716 x 7x i1 则 y 关于 x 的线性回归方程为 y 2x 3 （2）正相关 （3）预测 x 8时， y 19， x 9 时， y 21， x 10 时， y 23， 此 次 活 动 参 加 抽 奖 的 人 数 约 为 58810 14 1517 19 21 23 140 人 9 19（本小题满分 1010 分）某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生 产情况，随机在这两条流水线上各抽取40 件产品作为样本称出它们的质量(单 位：克)，质量值落在495,510的产品为合格品，否则为不合格品.如表是 甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图. 产品质量/克 频数 (490，495 6 (495，500 8 (500，505 14 (505，510 8 (510，515 4 甲流水线样本频数分布表 甲流水线 乙流水线 总计 合格品 a b 不合格品 c d 总计 n （1）若以频率作为概率，试估计从乙流水线任取1 件产品，该产品恰好是合 格品的概率； （2）由以上统计数据完成下面 22列联表，能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关？ 附表： 10 P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 n ad bc （参考公式： ） K 2 ,n a b c d a ba cb d c d 【答案】（1）直方图见解析；（2） 0.9 ；（3）能. 【解析】试题分析：（1）根据所给的每一组的频数和样本容量做出每一组的 频率，可在平面直角坐标系中做出频率分步直方图；（2）根据直方图的性质， 可得直方图中中间三个矩形的面积之和即为产品恰好是合格品的概率；（3） 2 2 n ad bc 2 利用公式 求得 ，与邻界值比较，即 K K a b a c b d c d 可得到结论； 试题解析：（1）根据所给的每一组的频数和样本容量做出每一组的频率，在 平面直角坐标系中做出频率分步直方图，甲流水线样本的频率分布直方图如 下： （2）由图 1 知，乙样本中合格品数为（0.06+0.09+0.03）×5×40=36，故合 格品的频率为 36/40=0.9 据此可估计从乙流水线上任取一件产品该产品为合 格品的概率 P=0.9. （3） 甲流水线 乙流水线 总计 合格品 a 30 b 36 66 不合格品 c 10 d 4 14 总计 40 40 n 80 11 k 2 3.117 2.706 , 能在犯错误的概率不超过 0.1的前提下认为产品的 包装质量与两条自动包装流水线的选择有关. 【方法点睛】本题主要考查频率分布直方图以及独立性检验的实际应用，属 于中档题. 独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成 22列联表；（2）根据公 2 2 n ad bc 式 计算 的值；(3) 查表比较 与临 K K 2 K 2 a ba d a cb d 界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也 仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.） 3 x 5 t 2 l : t 20.20.（本小题满分 1010分）已知直线 （ 为参数），以坐标原点 1 y 3 t 2 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 cos . (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点 M 的直角坐标为 5, 3，直线 l 与曲线 C 的交点为 A ， B ，求 MA MB i 2 cos 2 cos | | | 2 的 解析 . ( ) 等价于 . 将 2 x2 y 2 ， cos x 代入式即得曲线C 的直角坐标方程是 x2 y2 2x 0 . 12 3 x 5 t, 2 (ii ) 将 代入，得 . t 2 5 3t 18 0 1 y 3 t. 2 t1, t 设 这个方程的两个实根分别为 ， 2 则由参数t 的几何意义即知| MA | | MB | | 18. 1t t 2 21.21.（本小题满分 1010分）在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 1 x y 3 cos ( ) 为参数 ，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建 sin C 的极坐标方程为 sin 2 2 立极坐标系，曲线 2 4 . （1）写出 C1 的普通方程和C2 的直角坐标方程； （2）设点 P 在 C1 上，点Q 在C 上，求 PQ 的最小值及此时 P 的直角坐标. 2 21. 分析 （1）利用同角三角函数基本关系中的平方关系曲线 C 的参数方程 1 普通方程，利用公式 cos x 与 sin y 代入曲线C 的极坐标方程 1 即可；（2）利用参数方程表示出点 P 的坐标，然后利用点到直线的距离公 式建立 PQ d 的三角函数表达式，然后求出最值与相应的点 P 坐标即 可. 解 析 （ 1）C 的 普 通 方 程 为 1 x 2 3 y2 1， C 的 直 角 坐 标 方 程 为 2 x y 4 0 . （2）由题意，可设点 P 的直角坐标为 3 cos,sin，因为 C 是直线，所 2 以 PQ 的 最 小 值 ， 即 为 P 到C 的 距 离 d的 最 小 值 ， 2 13 d 3 cos sin 4 2 sin 2 2 3 . 当且仅当 Z时， d 取得最小值，最小值为 2 ，此时 P 2k k 6 3 1 , 的直角坐标为 2 2 . 14