1、复数复数基础知识一、复数的基本概念（1）形如a + bi的数叫做复数（其中）；复数的单位为i，它的平方等于1，即.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部实数：当b = 0时复数a + bi为实数虚数：当时的复数a + bi为虚数；纯虚数：当a = 0且时的复数a + bi为纯虚数（2）两个复数相等的定义：（3）共轭复数：的共轭记作； （4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；，对应点坐标为（5）复数的模：对于复数，把叫做复数z的模；二、复数的基本运算设，（1） 加法：；（2） 减法：；（3） 乘法： 特别。（4）幂运算：三、复数的化简（是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将
2、分母化为实数：对于，当时z为实数；当z为纯虚数是z可设为进一步建立方程求解一、知识梳理1、复数的有关概念（1）复数的概念：形如的数叫做复数，其中分别是它的 。若 ，则为实数，若 ，则为虚数，若 ，则为纯虚数。（2）复数相等： 。（3）共轭复数：与共轭 。（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，轴叫做 ，轴叫做 。实轴上的点都表示 ；除原点外，虚轴上的点都表示 ；各象限内的点都表示 。（5）复数的模：向量的模叫做复数的模，记作： ，即 。一一对应2、复数的几何意义一一对应（1）复数 复平面上的点。（2）复数 复平面上的向量。3、复数的运算（1）复数的四则运算设，则加法： ；减法
3、 ；乘法： = ；除法： = = （）。（注：分母实数化）（2）复数的运算定律： ； ； ； ；= ； ；= 。4、几个重要的结论（1）；（2）；（3）若z为虚数，则。复数最重要的一点就是：记住例1：已知，求（1） 当为何值时z为实数（2） 当为何值时z为纯虚数（3） 当为何值时z为虚数（4） 当满足什么条件时z对应的点在复平面内的第二象限。例2：已知；，求当为何值时例3：已知，求，；变式：1是虚数单位,等于 ( )Ai B-i C1 D-1变式2：已知是虚数单位， （ ） 变式3：已知是虚数单位，复数= （ ） ABCD变式4：已知i是虚数单位，复数（ ）(A)1i (B)55i (C)-
4、5-5i (D)-1i变式5：已知是虚数单位，则 （ ）(A) (B)1 (C) (D)变式6：已知=2+i,则复数z=（）（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i变式7：i是虚数单位，若，则乘积的值是（A）15 （B）3 （C）3 （D）15真题实战：1（2005）若，其中a、bR，i是虚数单位，则=（ ）A0B2CD52（2005）已知向量则x= .3.（2007）若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b=A-2 B C. D24（2008）已知，复数（是虚数单位），则的取值范围是（ ）ABCD 5.（2009）下列n的取值中，使=1(i是虚
5、数单位）的是A. n=2 B. n=3 C. n=4 D. n=56（2011）设复数z满足iz=1，其中i为虚数单位，则A-i Bi C-1 D17.（2012）设i为虚数单位，则复数=（ ）A.3 B.1 C.-5 D.-68（2013）若，则复数的模是 A2 B3 C4 D5二、例题分析类型一：复数的有关概念及复数的几何意义【例1】当实数为何值时，（1）为纯虚数；（2）为实数；（3）对应的点在复平面内的第二象限内。类型二：复数相等【例2】已知集合，集合同时满足，求整数的值。【例3】已知为共轭复数，且，求。练习：已知复数的共轭复数为，且满足，求。类型三：复数的代数运算【例4】计算：（1）；
6、 （2）； （3）；（4）。类型四：复数加减法的几何意义【例5】如图，平行四边形，顶点分别表示，试求：（1）、表示的复数；（2）对角线所表示的复数。练习：若为复数，且，求的最大值。类型五：复数综合【例6】求同时满足下列两个条件的所有复数。（1）；（2）的实部和虚部都是整数。练习：已知虚数使得和都为实数，求。三、巩固提高1、的值是 （ ）A i B -i C 1 D 12、当时，的值是 ( )A 1 B -1 C i D i3、等于 ( )A 0 B 1 C -1 D i4、设、，若为实数，则 ( )(A) (B) (C) (D) 5、 （ ）（A） （B） （C）1 （D）6、（ ）A B C
7、 D7、对于 ，下列结论成立的是 ( )A 是零 B 是纯虚数 C 是正实数 D 是负实数8、已知，那么复数在复平面内对应的点位于 （ ）A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限9、设非零复数满足，则代数式的值是（ ）A B 1 C 1 D 010、若，则|z|的最大值是 ( )A 3 B 7 C 9 D 511、复数z在复平面内对应的点为A，将点A绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向左平移一个单位，向下平移一个单位，得到点B，此时点B与点A恰好关于坐标原点对称，则复数z为 ( )A 1 B 1 C i Di12、设复数：为实数，则 （ ）A2 B1 C1 D2 13、若复数z满足方程，则 .14、设复数则复数的虚部等于 .15、已知.求的值 .16、已知复数，复数满足，则复数 。17、知，求使的最小正整数 .18、计算：19、设，试求满足的最小正整的值。20、是否存在复数，使其满足，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由21、设等比数列其中(，且)（1）求的值；（2）试求使 的最小自然数n（3）对（2）中的自然数，求的值。22、已知，且复数的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数的模；23、已知复数当，求实数的取值范围。24、在复数范围内解方程(i为虚数单位)
